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福建省达标校2014-2015学年高二暑期集训营(四)数学理试卷(Word版含答案)

福建省达标校

2014—2015 学年高二暑期集训营(四)

数学(理)试题

一、选择题本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中只有一个 选项是符合题意的,把正确选项的代号涂在答题卡上。
1.若 a ? b ? 0, c ? d ,则一定有

A. a ? c ? b ? d B. a ? c ? b ? d C. ac ? bd D.
2. 在△ ABC 中,已知 a=5, b=4, ∠C=60°,则 C 边长为

a? b cd

A. 21 `

B. 61

C. 41

D.5

3.抛物线 y =4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标为

A. 17 16

B. 15 16

C. 7 8

D.0

4.已知空间直角坐标系中点 A(1,0,0),B(2,0,1),C(0,1,2),则平面 的一

个法向量为

A.(-1,-3,2) B. (1,3,-1) C.(1,3,1) D.(-1,3,1)

5.设椭圆

x2 6

?

y2 2

? 1和双曲线 x2 3

?

y2

? 1有公共焦点为

F1、

F2,P 是两曲线的一

个公共点,则 cos∠F1PF2=

1

1

A.

B.

4

3

1
C.
9

1
D.
10

6.数列?an?

的通项公式是 an

?

2n ?1 2

,其前

n

项和

Sn

?

321 64

,则项数

n=

A.13

B.10

C.9

D.6

7.在△ ABC 中,若 acos B= c ,则△ ABC 的形状一定是

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

?x ? 0

8.若不等式组

??x ? 3 ??3x ?

y y

? ?

4, 4

所表示的平面区域被直线

y

?

kx

?

4 3

分为面积相等的两部分,则

k 的值是

4
A.
3

3
B.
4

7
C.
3

3
D.
7

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分. 把正确答案填入答题卡中相应的横线上)

9.命题“若 ab=0,则 a=0,或 b=0”的否命题是

.

10. 一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°,行驶4h

后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15°,这时船与灯塔的距离为

km.

11.焦点在 轴上且焦距为 10,一条渐近线方程为 y ? 3 x 的双曲线的标准方程为



4

12. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M,N 分别是棱 A1D1、C1C 中点,则异面直线 A1D 与

MN 所成角的余弦值为



13、设数列?an? 的前

n

项和为

Sn,,令 Tn

?

S1

?

S2

? n

? Sn

,称 Tn 为数列 a1,

a2,…,an 的“理想数”,已知数列 a1,a2,a3,…,a100 的“理想数”为 101,那么数列 2,

a1,a2,a3,…,a100

的“理想数”为___________.

三、解答题(本大题共 3 小题,满分 35 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

? ? 14.(本题满分 11 分)已知:等差数列 an 中,a4=14,前 10 项和 S10=185。

(1)求 an;
(2)?an? 中的第 2 项,第 4 项,…,第 2x 项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列

的前 n 项和 Gn。

15、(本题满分 12 分)已知命题 p:方程 x2 ? y2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 2m m ?1
命题 q :双曲线 y2 ? x2 ? 1的 离 心 率 e?(1,2),若 “p 或 q ”为真,且“ p 且 q ” 5m
为假。求实数 m 的取值范围.

16、(本题满分

12

分)在△

ABC

中,角

A,B

,C

的对边分别为

a

,b,

c,

?
B=



6

cos A ? 3 ,b ? 2 5

(1)求 sinC 的值;

(2)求△

的面积.

第二部分 能力测试(50 分) 四、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 17、(本题满分 13 分)如图,四边形 ABCD 与 A’ABB ‘都是边长为 a 的正方形,点 E 是
A’ A 的中点,A’ A⊥平面 (1) 求证: C A' //平面 BDE; (2) 求证:平面 A’AC ⊥平面 BDE

(3) 求平面 BDE 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值。

18. (本题满分 11 分)如图,某单位准备修建一个面积为 600 平方米的矩形场地(图中 ABCD)的围墙,且要求中间用围墙 EF 隔开,使得 ABEF 为矩形,EFDC 为正方形, 设 AB=x 米,已知围墙(包括 EF)的修建费用均为 800 元每平方米,设围墙(包括 EF) 的修建总费用为 y 元.
(1)求出 y 关于 x 的函数解析式; (2)当 x 为何值时,围墙(包括 EF)的修建总费用 y 最小?并求出 y 的最小值.

19. (本题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0)

的一个焦点是 F(1,0),且离心率为 1 . 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0,
y0),求 y0 的取值范围.

20.(本题满分 14 分)对于函数 f (x) ,若存在 x0 ? R 使 f (x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f (x)
的 不 动 点 . 如 果 函 数 f (x) ? x2 ? a (b, c ? N ) 有 且 只 有 两 个 不 动 点 0 , 2 , 且 bx ? c
f (?2) ? ? 1 2
(1)求函数 f (x) 的解析式;

(2)已知各项不为零的数列?an? 满足

4Sn

.

f

(

1 an

)

?

1(Sn



?an?

的前

n

项的和),求数列

通项 an;
(3)如果数列?an? 满足 a1 ? 4, an?1 ? f (an ) ,求证:当 n ? 2 时,恒有 an ? 3 成立


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