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2014-2015学年湖南省株洲二中高一(下)期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年湖南省株洲二中高一(下)期中数学试卷
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分,每小题只有一个正确答案) 1. (3 分) (2015 春?株洲校级期中) A. B. 的值为( C. ) D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由诱导公式及特殊角的三角函数值即可得解. 解答: 解: =cos(6π+ )=cos = .

故选:A. 点评: 本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用,属于基础题. 2. (3 分) (2015 春?株洲校级期中)若角 α 的终边经过点 ( ) A. B. C. ,则 sinα 等于多少 D.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据三角函数的定义进行求解即可. 解答: 解:若角 α 的终边经过点 则 r= 则 sinα= = , =3, ,

故选:C 点评: 本题主要考查三角函数的定义,比较基础.

3. (3 分) (2014?海城区校级模拟)已知 a 是第二象限角,sinα= ,则 tanα=( A. B. C. ﹣ D. ﹣



考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用同角三角函数的基本关系式求出 cosα,然后求解 tanα. 解答: 解:a 是第二象限角,sinα= ,

∴cosα=﹣

=



∴tanα=

=

=



故选:C. 点评: 本题考查同角三角函数的基本关系式,基本知识的考查. 4. (3 分) (2013 秋?桐城市校级期末)要得到函数 y=cos2x 的图象,只需把函数 的图象( A. 长度单位 C. 长度单位 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 规律型. 分析: 利用左加右减的平移原则可对 ABCD 四个选项逐一排查,如 A 选项中 =2x,即可得到答案. 向右平移 个长度单位 D. 向左平移 个 ) 向左平移 个长度单位 B. 向右平移 个

解答: 解:

=cos2x.

=cos(2x﹣

) ;

=﹣cos2x;

=cos(2x+

) ;

可排除 B、C、D; 故选 A. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,关键是掌握左加右减的平移原则及平移 单位,属于中档题. 5. (3 分) (2015 春?株洲校级期中)cos6°cos36°+cos84°cos54°的值等于( A. B. 0 C. ) D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由诱导公式和两角差的余弦公式可得原式=cos30° 解答: 解:由诱导公式可得 cos84°=cos(90°﹣6°)=sin6° 同理可得 cos54°=cos(90°﹣36°)=sin36°, ∴cos6°cos36°+cos84°cos54° =cos6°cos36°+sin6°sin36° =cos(36°﹣6°)=cos30°= .

故选:D. 点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及诱导公式,属基础题.

6. (3 分) (2015 春?株洲校级期中)若 =(2,3) , =(﹣4,7) ,则 在 上的投影为( A. B. C. 13 D.



考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据投影的定义以及平面向量的坐标运算,求值计算即可. 解答: 解:∵ =(2,3) , =(﹣4,7) , ∴ 在 上的投影为 | |cos< , >=| |×

=

=

=



故选:B. 点评: 本题考查了平面向量的应用问题,也考查了计算能力,是基础题目. 7. (3 分) (2015 春?株洲校级期中)在△ ABC 中,若 是( ) A. C. ,则△ ABC 的形状

等边三角形 B. 直角三角形 等腰直角三角形 D. 钝角三角形

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据正弦定理化简 ,利用两角差的正弦公式化简,利用内角的范

围好特殊角的正弦值判断出 A、B、C 的关系,即可判断出△ ABC 的形状. 解答: 解:由题意得, 则由正弦定理得, , ,

∴sinAcosB=cosAsinB,则 sin(A﹣B)=0, ∵A、B∈(0,π) ,∴A﹣B∈(﹣π,π) , 则 A﹣B=0,即 A=B,同理可证 B=C, 所以 A=B=C,则△ ABC 是等边三角形, 故选:D. 点评: 本题考查了正弦定理的灵活应用,注意三角形内角的范围,属于中档题.

8. (3 分) (2009?辽宁)平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1,则| +2 |=( A. B. C. 4 D. 12



考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 分析: 根据向量的坐标求出向量的模,最后结论要求模,一般要把模平方,知道夹角就可 以解决平方过程中的数量积问题,题目最后不要忘记开方. 解答: 解:由已知|a|=2, |a+2b| =a +4a?b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12, ∴|a+2b|= . 故选:B. 点评: 本题是对向量数量积的考查,根据两个向量的夹角和模之间的关系,根据和的模两 边平方,注意要求的结果非负,舍去不合题意的即可.两个向量的数量积是一个数量,它的值 是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积,结果可正、可负、可以为零,其符号由夹角的余弦 值确定. 9. (3 分) (2015 春?株洲校级期中)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c, sin(A+B)+sin(A﹣B)=2sin2B.若 A. 2 B. ,则 =( C. ) 或3 D. 2 或
2 2 2

考点: 两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值.

分析: 根据三角形内角和定理与诱导公式,可得 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代 入题中等式并利用三角恒等变换化简,整理得 cosB(sinA﹣3sinB)=0,可得 cosB=0 或 sinA=3sinB.再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算,可得 的值. 解答: 解:由题意可得 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 又∵sin(A﹣B)=sinAcosB﹣cosAsinB, 故所给的等式即 sinC+sin(A﹣B)=3sin2B, 即(sinAcosB+cosAsinB)+(sinAcosB﹣cosAsinB)=6sinBcosB, 化简得 2sinAcosB=6sinBcosB,即 cosB(sinA﹣3sinB)=0 解之得 cosB=0 或 sinA=3sinB. ①若 cosB=0,结合 B 为三角形的内角,可得 B= ∵C= ,∴A= = , = = . ,

②若 sinA=3sinB,由正弦定理得 a=3b,所以 =3. 综上所述, 的值为 或 3, 故选:C. 点评: 本题给出三角形角的三角函数关系式,求边之间的比值.着重考查了三角形内角和 定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识,属于中档题. 10. (3 分) (2015?郴州模拟)已知点(a,b)在圆 x +y =1 上,则函数 的最小正周期和最小值分别为( A. B. C. ) D.
2 2

考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求 法;正弦函数的定义域和值域. 专题: 三角函数的图像与性质. 2 2 2 2 分析: 由点(a,b)在圆 x +y =1 上,得到 a +b =1,然后利用倍角公式降幂后由两角和的 正弦化积,化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式后可求周期和最值. 解答: 解:∵点(a,b)在圆 x +y =1 上,∴a +b =1.
2 2 2 2

= =

=

=

﹣1, (tanθ= ) . ,

∴函数的最小正周期为

当 sin(2x+θ)=﹣1 时,函数有最小值﹣ . 故选:B. 点评: 本题考查了二倍角的正弦公式和余弦公式,考查了两角和的正弦公式,考查了形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的函数的周期和最值得求法,此类问题解决的方法是先降幂,后化积,是 中档题. 二、填空题(每题 4 分,共 20 分) 11. (4 分) (2015?菏泽二模)已知 =(1,0) , =(2,3) ,则(2 ﹣ )?( + )= ﹣9 . 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平面向量的数量积的坐标公式进行运算即可. 解答: 解:∵ =(1,0) , =(2,3) , ∴2 ﹣ =(0,﹣3) , + =(3,3) , 则 (2 ﹣ )?( + )=﹣3×3=﹣9, 故答案为:﹣9 点评: 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算,比较基础. 12. (4 分) (2015 春?株洲校级期中)在数列{an}中,a1=1,an+1﹣an=2,则 a20 的值为 39 . 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 通过 an+1﹣an=2 可得数列{an}是公差为 2 的等差数列,计算即得结论. 解答: 解:∵an+1﹣an=2, ∴数列{an}是公差为 2 的等差数列, 又∵a1=1, ∴an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1, ∴a20=39, 故答案为:39. 点评: 本题考查求等差数列通项,注意解题方法的积累,属于基础题.

13. (4 分) (2015 春?潍坊期中)函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的部分图象如下图所示,设 A>0, ω>0,|φ|< ,则 = 3 .

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 求出函数的周期,求出 ω,利用图象求出 A,b,然后通过函数图象经过的特殊点求 出 φ 即可求 的值. ﹣ )=π,所以 ω=2,

解答: 解:由函数的图象可知:A=2,B=2,T=4×( 因为函数的图象经过( 所以 4=2sin(2× 所以:f( ,4) , +φ) ,因为|φ|<

+φ)+2,即 1=sin( + )+2=3,

,所以 φ=



)=2sin(2×

故答案为:3. 点评: 本题考查三角函数的解析式的求法,注意函数的图象的应用,考查分析问题解决问 题的能力,属于中档题.

14. (4 分) (2015?张家港市校级模拟)已知 .

,则

=

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 根据诱导公式可知 的值代入即可求得答案. 解答: 解: 故答案为:﹣ 点评: 本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题.属基础题. =sin( ﹣α﹣ )=﹣sin(α+ )=﹣ =sin ( ﹣α﹣ ) , 进而整理后, 把 sin (α+ )

15. (4 分) (2015?潍坊模拟)在△ ABC 中,E 为 AC 上一点,且 且满足 =m +n (m>0,n>0) ,则 + 取最小值时,向量

=4

,P 为 BE 上一点, 的模为 .

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平面向量基本定理求出 m,n 关系,进而确定 + 取最小值时 m,n 的值,代入 求 的模 解答: 解:∵ ∴ =m +n =4 ,

=m +4n 又∵P 为 BE 上一点, ∴不妨设 ∴ = = = +λ + λ( ﹣ +λ =(1﹣λ) +λ ) + =λ (0<λ<1)

=(1﹣λ) ∴m ∵ +4n ,

不共线

∴m+4n=1﹣λ+λ=1 ∴ + =( + )×1=( + )×(m+4n)=5+4 + ≥5+2 当且仅当 = 即 m=2n 时等号成立 =9(m>0,n>0)

又∵m+4n=1 ∴m= ,n=

∴| |= 故答案为

=

点评: 本题考查平面向量基本定理和基本不等式求最值,难点在于利用向量求 m,n 的关系 和求 + 的最值

三、解答题(本大题共 6 小题,满分共 50 分,答题应写出必要的解题步骤、文字说明) 16. (6 分) (2015 春?株洲校级期中) 向量 = (﹣4, 3) , = (2x, y) , = (x+y, 1) . 已知 ∥ , ⊥ ,求 x,y 的值.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用斜向量共线与垂直,列出方程组,即可求解结果. 解答: 解:向量 =(﹣4,3) , =(2x,y) , =(x+y,1) .已知 ∥ , ⊥ , 可得 ,解得 x= ,y= .

点评: 本题考查向量的共线向量的垂直条件的应用,基本知识的考查.

17. (8 分) (2008?天津)已知 cos(x﹣ (1)求 sinx 的值; (2)求 sin(2x )的值.

)=

,x∈(



) .

考点: 两角和与差的正弦函数;运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用 x 的范围确定 x﹣ (x﹣ 的范围,进而利用同角三角函数的基本关系求得 sin )+ ]利用两角和公式求得答案

)的值,进而根据 sinx=sin[(x﹣

(2)利用 x 的范围和(1)中 sinx 的值,利用同角三角函数的基本关系求得 cosx 的值,进而 根据二倍角公式求得 sin2x 和 cos2x 的值, 最后代入正弦的两角和公式求得答案. 解答: 解: (1)因为 x∈( 所以 x﹣ ∈( ) , , ) ,

sin(x﹣

)= )+ ] +cos(x﹣ = . , ) , =﹣ , . )sin

=



sinx=sin[(x﹣ =sin(x﹣ = × +

)cos ×

(2)因为 x∈( 故 cosx=﹣

=﹣ .

sin2x=2sinxcosx=﹣ cos2x=2cos x﹣1=﹣ 所以 sin(2x+ =﹣ .
2

)=sin2xcos

+cos2xsin

点评: 本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数基本关系的应用.考查了学 生基础知识的掌握和基本运算能力.

18. (8 分) (2015 春?株洲校级期中)已知 (1)求 tanα; (2)求 的值.



考点: 运用诱导公式化简求值;两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式,求得所给式子的值. (2)由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得所给式子的值. 解答: 解: (1)∵已知 (2) = = ,∴tanα=﹣3. = =﹣ .

点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的正切公式,属于基础 题. 19. (8 分) (2015 春?株洲校级期中)在△ ABC 中,A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若 a?cosC+c?cosA=2b?cosB.

(1)求 B 的大小; (2)若 a+c= ,b=2,求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)根据正弦定理和两角和的正弦公式化简已知的式子,根据内角和定理化简求出 cosB 的值,由内角的范围求出角 B; (2)由(1)和余弦定理列出方程,结合条件和整体代换求出 ac 的值,代入三角形的面积公 式求出△ ABC 的面积. 解答: 解: (1)由题意得,a?cosC+c?cosA=2b?cosB, ∴由正弦定理得,sinA?cosC+sinC?cosA=2sinB?cosB. ∴sin(A+C)=2sinBcosB, ∵sin(A+C)=sinB≠0,∴cosB= , 由 0<B<π 得,B= (2)∵b=2,B= ,
2 2 2



∴由余弦定理得,b =a +c ﹣2accosB, 2 2 则 4=a +c ﹣ac, 2 2 2 又 a+c= ,则 a +c =(a+c) ﹣2ac=10﹣2ac, 代入上式解得,ac=2, ∴△ABC 的面积 S= = = .

点评: 本题考查正弦、余弦定理,两角和的正弦公式,三角形的面积公式,以及整体代换 求值,注意内角的范围,属于中档题. 20. (10 分) (2015 春?株洲校级期中)在如图所示的直角坐标系 xOy 中,点 A、B 是单位圆 上的点,且 A(1,0) ,∠AOB= (1)求点 B 的坐标; (2)若 tanα= ,求 (3)若 =x +y ? 的值; ,现有一动点 C 在单位圆的劣弧 上运动,设∠AOC=α.

,其中 x、y∈R,求 x+y 的最大值.

考点: 平面向量的基本定理及其意义;单位圆与周期性. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质;平面向量及应用.

分析: (1)根据单位圆的定义以及∠AOB= (2)由 tanα= ,求出 cosα 的值,计算 (3)根据 =x +y ?

,求出点 B 的坐标; 的值即可;

,列出方程,求出 x、y 的表达式,再求 x+y 的最大值即可. ,

解答: 解: (1)∵A(1,0) ,∠AOB= ∴cos = ,sin = , ) ;

∴点 B 的坐标为( , (2)∵tanα= , ∴ = ,


2

= , ; , ; =| |×| |×cosα= ; ) ,∠AOC=α, (0≤α≤ ) ,

解得 cos α= 又∵0≤α≤ ∴cosα= ∴ ?

(3)∵A(1,0) ,B( , ∴C(cosα,sinα) ; 又∵ =x +y , =( ,

=(1,0) ,

) ,

=(cosα,sinα) ; y) ;

∴(cosα,sinα)=(x+ y,





解得 y=

,x=cosα﹣



∴x+y=cosα+

=

sin(α+θ) ,其中 tanθ=

=

,∴θ=



∴当 θ=

时,sin(α+θ)=1,x+y 取得最大值,为



点评: 本题考查了三角函数的求值以及三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了平面 向量的应用问题,是综合性题目.

21. (10 分) (2015 春?株洲校级期中)已知 =(cosx,sinx) , =(cosx, =2 ? +1. (1)求当 (2) 若对任意 时,f(x)的值域; 和任意 ,

cosx) ,f(x)

恒成立,求实数 k 的取值范围. 考点: 平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式,进一步变函数为正弦型函数,最 后求出单调区间. (2)根据函数与的定义域求出函数的值域,进一步利用恒成立问题,求出 k 的取值范围 解答: 解:由已知 f(x) =2 ? +1=cos x+ 所以(1)当 值域[0, ]; (2) 对任意 和任意 , 恒
2

sinxcosx= 时,2x+ ∈[

+ ,

= ],sin(2x+ )∈[

; ,1],所以 f(x)的

成立, 即 k|sinα+cosα|﹣sin2α≤f(x)+1 恒成立,又 f(x)+1 的最小值为 1, 所以只要 k|sinα+cosα|≤1+sin2α, 所以 k≤|sinα+cosα|=| 所以 所以 k≤ sin( . sin( )∈[ )|,又 ], ,

点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,向量的坐标运算,正弦型函数 的值域,恒成立问题的应用,属于中档题.


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