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北京市海淀区2013届高三一模(数学理)word版含答案


海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 (理科) 第Ⅰ卷 (选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题 目要求的一项. 1 . 在 复 平 面 内 , 复 数 z? ( ) A.第一象限
1? i ( i i

是 虚 数 单 位 ) 对 应 的 点 位 于

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.在同一坐标系中画出函数 y ? log a x , y ? a x , y ? x ? a 的图象,可能正确的是( )
y 1
O 1

y

y

y

x

1 O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

C B D ??? ???? ? ???? ??? ? 3.在四边形 ABCD 中, AB ? DC ,且 AC · =0,则四边形 ABCD 是( ) BD

A

A.矩形

B. 菱形

C. 直角梯形

D. 等腰梯形

4.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为 (1, ? 3) .若以原点 O 为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是 ( ) ?? ? ?? ? 4? ? ? A. ?1, ? ? B. ? 2, ? C. ? 2, ? ? 3? 3? ? ? 3 ? ? 5.一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示, 则这个三棱柱的左视图的面积为 A. 6 3 C. 8 3 B.8 D.12 ( )
4? ? ? D. ? 2, ? ? 3 ? ?

6.已知等差数列 1, a, b ,等比数列 3, a ? 2, b ? 5 ,则该等差数列的公差为( A.3 或 ?3 B.3 或 ?1 C.3



D. ?3

7.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是( A. ?1 B.1

)

开始

C.2

D.

1 2

a =2,i=1 i≥2010
否 是

a ?1?

1 a

输出 a 结束

i=i+1

8. 已知数列 A : a1 , a2 ,?, an ? 0 ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? 3? 具有性质 P : 对任意 i, j ?1 ? i ? j ? n ? ,
a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题:

①数列 0, 1, 3 具有性质 P ; ②数列 0, 2, 4, 6 具有性质 P ; ③若数列 A 具有性质 P ,则 a1 ? 0 ; ④若数列 a1 , a2 , a3 ? 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? 具有性质 P ,则 a1 ? a3 ? 2a2 . 其中真命题有( A.4 个 ) B.3 个 C.2 个 D.1 个 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.某校为了解高三同学寒假期间学习情况,抽查了 100 名同学,统计他们每天平均学习 时间,绘成频率分布直方图(如图).则这 100 名 同学中学习时间在 6~8 小时内的人数为 _______.
频率/组距

x 0.14 0.12

D

0.05 0.04
2 4
6 8 10 12 小时

A

P
O C

B

10.如图, AB 为 ? O 的直径,且 AB ? 8 ,P 为 OA 的中点 ,过 P 作 ? O 的弦 CD,且 . CP : PD ? 3: 4 ,则弦 CD 的长度 为 11.给定下列四个命题:
1 ”的充分不必要条件; 2 6 ②若“ p ? q ”为真,则“ p ? q ”为真;

①“ x ?

?

”是“ sin x ?

③若 a ? b ,则 am2 ? bm2 ; ④若集合 A ? B ? A ,则 A ? B . 其中为真命题的是 (填上所有正确命题的序号). .
a 12.在二项式 ( x 2 ? )5 的展开式中, x 的系数是 ?10 ,则实数 a 的值为 x

13.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 , 且它们在第一象限的交点为 P, ?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 ? 10 ,双 曲线的离心率的取值范围为 (1, 2) .则该椭圆的离心率的取值范围是 .

14. 在平面直角坐标系中, 点集 A ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? 1} ,B ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0,,3x ? 4 y ? 0} , 则(1)点集 P ? {( x, y) x ? x1 ? 3, y ? y1 ? 1,( x1 , y1 ) ? A} 所表示的区域的面积为_____; ( 2 ) 点 集 Q ? {( x, y) x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 ,( x1 , y1 ) ? A,( x2 , y2 ) ? B} 所 表 示 的 区 域 的 面 积 为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ? ) 的图象如图所示. (Ⅰ)求 ?,? 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4

?

y 1

O

? 4

? 2

x

?1

16. (本小题满分 13 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满 100 元可转动如 图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置. 若指针 停在 A 区域返券 60 元;停在 B 区域返券 30 元;停在 C 区域不返券. 例如:消费 218 元,可转动转盘 2 次,所获得的返券金额是两次金额之和. (Ⅰ)若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概率;

(Ⅱ) 若某位顾客恰好消费 280 元, 并按规则参与了活动, 他获得返券的金额记为 X(元) . 求随机变量 X 的分布列和数学期望.

A
C
60?

B

17. (本小题满分 14 分) 如图, 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 AAC1C ? 底面 ABC ,AA1 ? A1C ? AC ? 2, AB ? BC , 1 且 AB ? BC ,O 为 AC 中点. (Ⅰ)证明: A1O ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角的正弦值; (Ⅲ)在 BC1 上是否存在一点 E ,使得 OE // 平面 A1 AB ,若不存在,说明理由;若存在, 确定点 E 的位置.
A1 B1 C1

A

O

C

B

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, 其中 a 为常数,且 a ? ?1 . (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求 f ( x) 在 [e, e 2 ] (e=2.718 28…)上的值域; (Ⅱ)若 f ( x) ? e?1 对任意 x ? [e,e2 ] 恒成立,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 左右焦点分别为 F1 , F2 , | F1 F2 |? 2 , (1, 且 点
3 ) 2

在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,且 ?AF2 B 的面积为 心 且与直线 l 相切的圆的方程.
12 2 ,求以 F2 为圆 7

20. (本小题满分 14 分)
n为偶数, ? 2a n ? 1, ? 2 ? 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 0 , an ? ? n ? 1 , n ? 2,3, 4,?. ? 2a n ?1 , n为奇数, ? ? 2 ? 2

(Ⅰ)求 a5 , a6 , a7 的值; (Ⅱ)设 bn ?
a2n ?1 2n

,试求数列 ?bn ? 的通项公式;

(Ⅲ)对于任意的正整数 n,试讨论 an 与 an ?1 的大小关系.

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (理) 2010.4

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 A 共 110 分) 6 C 7 A 8 B

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 1 2 9.30 10.7 11.①,④ 12.1 13. ( , ) 14. ? ; 18 ? ? . 3 5 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由图可知 T ? 4(

?
2

?

?
4

) ? ? ,? ?

又由 f ( ) ? 1 得, sin(? ? ? ) ? 1 ,又 f (0) ? ?1 ,得 sin ? ? ?1

?

2? ? 2, T

………………2 分

2

? | ? |? ? ?? ? ?

?
2



………………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( x) ? sin(2 x ? 因为 g ( x) ? (? cos 2 x)[? cos(2 x ?

?
2

) ? ? cos 2 x

………………6 分

1 ………………9 分 )] ? cos 2 x sin 2 x ? sin 4 x 2 2 ? ? k? ? k? ? 所以, 2k? ? ? 4 x ? 2k? ? ,即 ? ?x? ? (k ? Z) .……………12 分 2 2 2 8 2 8 k? ? k? ? 故函数 g ( x) 的单调增区间为 [ ……………13 分 ? , ? ] (k ? Z) . 2 8 2 8
16. (本小题满分 13 分) 解:设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C. 则 P( A) ?

?

1 1 1 , P( B) ? , P(C ) ? . 6 3 2 1 1 1 ? ? 6 3 2

………………3 分

(Ⅰ)若返券金额不低于 30 元,则指针落在 A 或 B 区域.

? P ? P( A) ? P( B) ?

………………6 分

即消费 128 元的顾客,返券金额不低于 30 元的概率是 (Ⅱ)由题意得,该顾客可转动转盘 2 次. 随机变量 X 的可能值为 0,30,60,90,120.

1 . 2
………………7 分

1 1 1 P( X ? 0 ) ? ? ? ; 2 2 4 1 1 1 P( X ? 3 0 ? ? ? ? ) 2 ; 2 3 3 1 1 1 1 P( X ? 6 0 ? ? ? ? ? ? ) 2 2 6 3 3 1 1 1 P( X ? 9 0 ? ? ? ? ) 2 ; 3 6 9 1 1 1 P( X ? 1 2 0? ? ? ) . 6 6 36
所以,随机变量 X 的分布列为:

5 ; 18

………………10 分

P X

0

30

60

90

120

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36
………………12 分 .………13 分

其数学期望 EX ? 0 ?

1 1 5 1 1 ? 30 ? ? 60 ? ? 90 ? ? 120 ? ? 40 4 3 18 9 36

17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)证明:因为 A1 A ? A1C ,且 O 为 AC 的中点, 所以 A1O ? AC . ………………1 分

又由题意可知,平面 AA1C1C ? 平面 ABC ,交线为 AC ,且 A1O ? 平面 AAC1C , 1 所以 A1O ? 平面 ABC . ………………4 分

(Ⅱ)如图,以 O 为原点, OB, OC , OA1 所在直线分别 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知, A1 A ? A1C ? AC ? 2, 又 AB ? BC , AB ? BC ,?OB ? 所以得: O(0,0,0), A(0, ?1,0), A1 (0,0, 3), C(0,1,0), C1 (0, 2, 3), B(1,0,0)
???? ? ???? ??? ? 则有: A1C ? (0,1, ? 3), AA1 ? (0,1, 3), AB ? (1,1,0).

1 AC ? 1, 2

A1

z
B1

C1

………………6 分 设平面 AA1 B 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则有

A

O

C y

B

x

???? ?n ? AA1 ? 0 ? y ? 3z ? 0 3 ? ? ?? ,令 y ? 1 ,得 x ? ?1, z ? ? ? ? ??? 3 ? x? y?0 ? n ? AB ? 0 ? ?

所以 n ? (?1,1, ?

3 ). 3 ???? ? ???? ? n ? A1C 21 ???? ? ? . cos ? n, A1C ?? 7 | n || A1C |

………………7 分 ………………9 分

???? ? 因 为 直 线 A1C 与 平 面 A1 AB 所 成 角 ? 和 向 量 n 与 A1C 所 成 锐 角 互 余 , 所 以

sin ? ?

21 . 7

………………10 分 ………………11 分

??? ? ???? ? (Ⅲ)设 E ? ( x0 , y0 , z0 ), BE ? ? BC1 ,

? x0 ? 1 ? ? ? 即 ( x0 ? 1, y0 , z0 ) ? ? (?1, 2, 3) ,得 ? y0 ? 2? ? ? z0 ? 3?
??? ? 所以 E ? (1 ? ? , 2? , 3? ), 得 OE ? (1 ? ? , 2? , 3? ),

………………12 分 ………………13 分

??? ? 令 OE // 平面 A1 AB ,得 OE ? n = 0 ,

1 即 ?1 ? ? ? 2? ? ? ? 0, 得 ? ? , 2

即存在这样的点 E,E 为 BC1 的中点. 18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? ln x,
1 得 f ?( x) ? 1 ? , x

………………14 分

………………2 分
1 ? 0 ,解得 x ? 1 ,所以函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数, x

令 f ?( x) ? 0 ,即 1 ?

据此,函数 f ( x) 在 [e, e 2 ] 上为增函数,

………………4 分

而 f (e) ? e? 1 , f (e2 ) ? e2 ? 2 , 所以函数 f ( x) 在 [e, e 2 ] 上的值域为 [e? 1,e2 ? 2] ………………6 分
a a (Ⅱ)由 f ?( x) ? 1 ? , 令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? ? 0, 即 x ? ?a, x x 当 x ? (0, ?a) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ?a) 上单调递减; 当 x ? (?a, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (?a, ??) 上单调递增; ……………7 分

若 1 ? ?a ? e ,即 ? e ? a ? ?1 ,易得函数 f ( x) 在 [e, e 2 ] 上为增函数, 此时, f ( x)max ? f (e2 ) ,要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e2 ] 恒成立, 只需 f (e2 ) ? e? 1 即可,

所以有 e2 ? 2a ? e? 1 ,即 a ? 而

? e 2 ? e? 1 2

? e 2 ? e? 1 ?(e2 ? 3e? 1) ? e 2 ? e? 1 ? (? e) ? ? 0 ,即 ? ? e ,所以此时无解. 2 2 2 ………………8 分

若 e ? ?a ? e2 ,即 ? e ? a ? ? e2 ,易知函数 f ( x) 在 [e, ?a] 上为减函数,在 [?a,e2 ] 上为增函数,
a ? ?1 ? ? f (e) ? e? 1 ? 要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e2 ] 恒成立,只需 ? ,即 ? ? e 2 ? e? 1 , 2 ? f (e ) ? e? 1 ?a ? ? 2



? e 2 ? e? 1 ? e 2 ? e? 1 ? e 2 ? e? 1 e 2 ? e? 1 ? (?1) ? ?0和 ? (? e2 ) ? ?0 2 2 2 2

得 ? e2 ? a ?

? e 2 ? e? 1 . 2

………………10 分

若 ?a ? e2 ,即 a ? ? e2 ,易得函数 f ( x) 在 [e, e 2 ] 上为减函数, 此时, f ( x)max ? f (e) ,要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e2 ] 恒成立,只需 f (e) ? e? 1 即可, 所以有 e? a ? e? 1 ,即 a ? ?1 ,又因为 a ? ? e2 ,所以 a ? ? e2 . 综合上述,实数 a 的取值范围是 (??, 19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为
? e ? e? 1 ]. 2
2

……………12 分 ……………13 分

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) ,由题意可得: a 2 b2
.……………1 分

椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) .

3 3 5 3 ? 2a ? (1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? (1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? ? ? 4 . 2 2 2 2

.……………3 分

? a ? 2, 又 c ? 1 b2 ? 4 ? 1 ? 3 ,
故椭圆的方程为

……………4 分

x2 y2 ? ? 1. 4 3

.……………5 分

(Ⅱ)当直线 l ? x 轴,计算得到: A(?1, ? ), B(?1, ) ,

3 2

3 2

1 1 S?AF2 B ? ? | AB | ? | F1F2 |? ? 3 ? 2 ? 3 ,不符合题意. 2 2
当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,

.……………6 分

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 ,消去 y 得 ?1 ? ? 3 ?4

( 3? 4 2 x 2 ? 8 2 x? 4 2 ? 1 2 , 0 .……………7 分 k ) k k ?

显然 ? ? 0 成立,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 ? x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2 2 2

.……………8 分

又 | AB |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 1 ? k ?

64k 4 4(4k 2 ? 12) ? (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2
.……………9 分

12 k 2 ? 1 12(k 2 ? 1) ? 即 | AB |? 1 ? k ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2

又圆 F2 的半径 r ?

| k ?1 ? 0 ? k | 1? k 2

?

2|k | 1? k 2

,

.……………10 分

所以 S ?AF2 B

1 1 12(k 2 ? 1) 2 | k | 12 | k | 1 ? k 2 12 2 ? | AB | r ? ? ? ? ? , 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 7 1? k 2
4 2

化简,得 17k ? k ? 18 ? 0 , 即 (k ? 1)(17k ? 18) ? 0 ,解得 k ? ?1
2 2

所以, r ?

2|k | 1? k 2

? 2,
2 2

.……………12 分

故圆 F2 的方程为: ( x ? 1) ? y ? 2 . (Ⅱ)另解:设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1 ,

.……………13 分

? x ? ty ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 ,消去 x 得 (4 ? 3t ) y ? 6ty ? 9 ? 0 , ? ? 0 恒成立, ?1 ? ? 3 ?4
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?
2

6t 9 , y1 ? y2 ? ? , 2 4 ? 3t 4 ? 3t 2

……………8 分

36t 2 36 12 t 2 ? 1 ? ? ; 所以 | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 ? y2 ? (4 ? 3t 2 ) 2 4 ? 3t 2 4 ? 3t 2
.……………9 分 又圆 F2 的半径为 r ?

|1 ? t ? 0 ? 1| 1? t
2

?

2 1? t2



.……………10 分

所以 S?AF2 B 所以 r ?

1 12 t 2 ? 1 12 2 2 ? ? | F1 F2 | ? | y1 ? y2 |?| y1 ? y2 |? ? ,解得 t ? 1 , 2 2 4 ? 3t 7

2 1? t2

? 2,
2 2

……………12 分

故圆 F2 的方程为: ( x ? 1) ? y ? 2 . 20. (本小题满分 14 分)

.……………13 分

解: (Ⅰ)∵ a1 ? 0 , a2 ? 1 ? 2a1 ? 1, a3 ? 2 ? 2a1 ? 2 , a4 ? 1 ? 2a2 ? 3 , ∴ a5 ? 3 ? 2a2 ? 5 ; a6 ? 1 ? 2a3 ? 5 ; a7 ? 4 ? 2a3 ? 8 . (Ⅱ)由题设,对于任意的正整数 n ,都有: bn ?1 ? ∴ bn ?1 ? bn ? ∴ bn ? ………………3 分
? 2n ? 2a2n ?1 2
n ?1

a2n?1 ?1 2
n ?1

?

1 ? bn , 2

a1 1 1 .∴ 数列 ?bn ? 是以 b1 ? 2 1?1 ? 0 为首项, 为公差的等差数列. 2 2 2

n ?1 . …………………………………………………………7 分 2 (Ⅲ)对于任意的正整数 k ,

当 n ? 2k 或 n ? 1,3 时, an ? an ?1 ; 当 n ? 4k ? 1 时, an ? an ?1 ; 当 n ? 4k ? 3 时, an ? an ?1 . 证明如下: 首先,由 a1 ? 0, a2 ? 1, a3 ? 2, a4 ? 3 可知 n ? 1,3 时, an ? an ?1 ; 其次,对于任意的正整数 k ,
n ? 2k 时, an ? an ?1 ? a2 k ? a2 k ?1 ? ?1 ? 2ak ? ? ? k ? 1 ? 2ak ? ? ?k ? 0 ;

……………………………………8 分

…………………9 分
n ? 4k ? 1 时, an ? an?1 ? a4 k ?1 ? a4 k ? 2
? ? 2k ? 1 ? 2a2 k ? ? ?1 ? 2a2 k ?1 ? ? 2k ? 2a2 k ? 2a2 k ?1 ?0 ? 2k ? 2 ?1 ? 2ak ? ? 2 ? k ? 1 ? 2ak ?

所以, an ? an ?1 .

…………………10 分

n ? 4k ? 3 时, an ? an?1 ? a4 k ?3 ? a4 k ? 4
? ? 2k ? 2 ? 2a2 k ?1 ? ? ?1 ? 2a2 k ? 2 ? ? 2k ? 1 ? 2a2 k ?1 ? 2a2 k ? 2 ? 4 ? k ? ak ? ak ?1 ? ? 1 ? 2k ? 1 ? 2 ? k ? 1 ? 2ak ? ? 2 ?1 ? 2ak ?1 ?

事实上, 我们可以证明: 对于任意正整数 k ,k ? ak ? ak ?1(*) (证明见后) , 所以,此时, an ? an ?1 . 综上可知:结论得证. 对于任意正整数 k , k ? ak ? ak ?1 (*)的证明如下: 1)当 k ? 2m ( m?N* )时,
k ? ak ? ak ?1 ? 2m ? a2 m ? a2 m?1 ? 2m ? ?1 ? 2am ? ? ? m ? 1 ? 2am ? ? m ? 0 ,

…………………12 分

满足(*)式。 2)当 k ? 1 时, 1 ? a1 ? 1 ? a2 ,满足(*)式。 3)当 k ? 2m ? 1? m ? N* ? 时,
k ? ak ? ak ?1 ? 2m ? 1 ? a2 m?1 ? a2 m? 2 ? 3m ? 1 ? 2am ? 2am?1 ? 2m ? 1 ? ? m ? 1 ? 2am ? ? ?1 ? 2am?1 ? ? 2 ? m ? am ? am?1 ? ? ? m ? 1?

于是,只须证明 m ? am ? am?1 ? 0 ,如此递推,可归结为 1)或 2)的情形, 于是(*)得证. …………………14 分


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