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罗庄区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

罗庄区高中 2018-2019 学年高三下学期第三次月考试卷数学

一、选择题

1. 若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值 为( )

A.3

B.2

C.3

2. 已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,且

D.4 ,则

的值是( )

A. B. C. D.0

3. 如图是某几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为( )

A.4

B.5

C. 3 2

D. 3 3

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

4. 为得到函数 A.向左平移 个长度单位 C.向左平移 个长度单位

的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( ) B.向右平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位

5. 若点 O 和点 F(﹣2,0)分别是双曲线

意一点,则 A.

的取值范围为(

) B.

的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任

C.

D.

6. 已知偶函数 f(x)满足当 x>0 时,3f(x)﹣2f( )= ,则 f(﹣2)等于( )

A. B. C. D.

7. 函数 f(x)=3x+x﹣3 的零点所在的区间是(



A.(0,1) B.(1,2) C.(2.3) D.(3,4)

8. 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主(正)视图和俯视图

如下,则它的左(侧)视图是( )

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A.

B.

C.

D.

9. 如图,在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点,动点 P 在线段 MN 上运动时, 下列四个结论:①EP∥BD;②EP⊥AC;③EP⊥面 SAC;④EP∥面 SBD 中恒成立的为( )

A.②④

B.③④

C.①②

D.①③

10.某一简单几何体的三视图如所示,该几何体的外接球的表面积是( )

A.13π B.16π C.25π D.27π
11.在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC ? ( )

A. 4 3

B. 2 3

C. 3

12.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知在 Sn 中有 S17<0,S18>0,那么 Sn 中最小的是( A.S10 B.S9 C.S8 D.S7
二、填空题

13.函数 f(x)=loga(x﹣1)+2(a>0 且 a≠1)过定点 A,则点 A 的坐标为



D. 3 2


14.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的一个面 A1B1C1D1 在半径为 在此半球面上,则正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 . 15.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2 )an+sin2

的半球底面上,A、B、C、D 四个顶点都

,则该数列的前 16 项和为



?y ? m 16.设 m ? R ,实数 x , y 满足 ??2x ? 3y ? 6 ? 0 ,若 2x ? y ? 18 ,则实数 m 的取值范围是___________.
??3x ? 2 y ? 6 ? 0
【命题意图】本题考查二元不等式(组)表示平面区域以及含参范围等基础知识,意在考查数形结合的数学思
想与运算求解能力.

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17.已知 a ?[?2, 2],不等式 x2 ? (a ? 4)x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,则的取值范围为__________.

18.已知函数 f(x)=sinx﹣cosx,则

=



三、解答题

19.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 C 的离心率为

2 , A 、 B 分别为左、右顶点, 2

F2 为其右焦点, P 是椭圆 C 上异于 A 、 B 的

动点,且 PA PB 的最小值为-2.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过左焦点 F1 的直线交椭圆 C 于 M、N 两点,求 F2M F2N 的取值范围.

20.如图,F1,F2 是椭圆 C: +y2=1 的左、右焦点,A,B 是椭圆 C 上的两个动点,且线段 AB 的中点 M
在直线 l:x=﹣ 上. (1)若 B 的坐标为(0,1),求点 M 的坐标; (2)求 ? 的取值范围.

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21.(本小题满分 12 分)
如图长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=16, BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=4,D1F=8,过点 E,F,C 的平面 α 与长方体的面 相交,交线围成一个四边形. (1)在图中画出这个四边形(不必说明画法和理由); (2)求平面α 将长方体分成的两部分体积之比.
22.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若 f(x)≤m 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a,m 的值. (2)当 a=2 且 0≤t<2 时,解关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+2).

23.(本小题满分 12 分)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查,下表是在某单位

得到的数据:

赞同

反对

合计



50

150

200



30

170

200

合计

80

320

400

(Ⅰ)能否有能否有 97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关?
(Ⅱ)从赞同“男女延迟退休”的 80 人中,利用分层抽样的方法抽出 8 人,然后从中选出 2 人进行陈述

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发言,求事件“选出的 2 人中,至少有一名女士”的概率.

参考公式: K2 ?

n(ad ? bc)2

, (n ? a ? b ? c ? d)

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

【命题意图】本题考查统计案例、抽样方法、古典概型等基础知识,意在考查统计的思想和基本运算能力

24.设 f(x)=x2﹣ax+2.当 x∈,使得关于 x 的方程 f(x)﹣tf(2a)=0 有三个不相等的实数根,求实数 t 的取值范围.

25.已知 z 是复数,若 z+2i 为实数(i 为虚数单位),且 z﹣4 为纯虚数. (1)求复数 z; (2)若复数(z+mi)2 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 m 的取值范围.

26.已知函数

,(其中常数 m>0)

(1)当 m=2 时,求 f(x)的极大值; (2)试讨论 f(x)在区间(0,1)上的单调性; (3)当 m∈[3,+∞)时,曲线 y=f(x)上总存在相异两点 P(x1,f(x1))、Q(x2,f(x2)),使得曲线 y=f(x)在点 P、Q 处的切线互相平行,求 x1+x2 的取值范围.

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罗庄区高中 2018-2019 学年高三下学期第三次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:∵l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 是平行直线, ∴可判断:过原点且与直线垂直时,中的 M 到原点的距离的最小值 ∵直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0,

∴两直线的距离为

=,

∴AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为 + =3 ,
故选:A 【点评】本题考查了两点距离公式,直线的方程,属于中档题.

2. 【答案】A

【解析】解:取 AB 的中点 C,连接 OC,

∴sin

=sin∠AOC= =

所以:∠AOB=120°

则 ? =1×1×cos120°= .

故选 A.

,则 AC= ,OA=1

3. 【答案】D 【解析】
试题分析:因为根据几何体的三视图可得,几何体为下图 AD, AB, AG 相互垂直,面 AEFG ?面 ABCDE, BC // AE, AB ? AD ? AG ? 3, DE ? 1,根据几何体的性质得: AC ? 3 2,GC ? 32 ? (3 2)2 ? 27 ? 3 3,GE ? 32 ? 42 ? 5 , BG ? 3 2, AD ? 4, EF ? 10, CE ? 10 ,所以最长为 GC ? 3 3 .
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考点:几何体的三视图及几何体的结构特征. 4. 【答案】A

【解析】解:∵
只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位得到函数 故选 A. 【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移.属基础题.

, 的图象.

5. 【答案】B

【解析】解:因为 F(﹣2,0)是已知双曲线的左焦点,

所以 a2+1=4,即 a2=3,所以双曲线方程为



设点 P(x0,y0),

则有

,解得

因为





所以

=x0(x0+2)+

=

, ,

此二次函数对应的抛物线的对称轴为



因为



所以当

时,

取得最小值

=





的取值范围是



故选 B.

【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,

考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力.

6. 【答案】D

【解析】解:∵当 x>0 时,3f(x)﹣2f( )= …①,

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∴3f( )﹣2f(x)= = …②,
①×3+③×2 得: 5f(x)= , 故 f(x)= , 又∵函数 f(x)为偶函数, 故 f(﹣2)=f(2)= , 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,其中根据已知求出当 x>0 时,函数 f(x)的解析式,是解 答的关键. 7. 【答案】A 【解析】解:∵f(0)=﹣2<0,f(1)=1>0, ∴由零点存在性定理可知函数 f(x)=3x+x﹣3 的零点所在的区间是(0,1). 故选 A 【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理,这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可,属 于基础题. 8. 【答案】A 【解析】解:由题意可知截取三棱台后的几何体是 7 面体,左视图中前、后平面是线段,
上、下平面也是线段,轮廓是正方形,AP 是虚线,左视图为:
故选 A.
【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法,三视图是常考题型,值得重视. 9. 【答案】 A 【解析】解:如图所示,连接 AC、BD 相交于点 O,连接 EM,EN. 在①中:由异面直线的定义可知:EP 与 BD 是异面直线, 不可能 EP∥BD,因此不正确; 在②中:由正四棱锥 S﹣ABCD,可得 SO⊥底面 ABCD,AC⊥BD,
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∴SO⊥AC. ∵SO∩BD=O,∴AC⊥平面 SBD, ∵E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点, ∴EM∥BD,MN∥SD,而 EM∩MN=M, ∴平面 EMN∥平面 SBD,∴AC⊥平面 EMN,∴AC⊥EP.故正确. 在③中:由①同理可得:EM⊥平面 SAC, 若 EP⊥平面 SAC,则 EP∥EM,与 EP∩EM=E 相矛盾, 因此当 P 与 M 不重合时,EP 与平面 SAC 不垂直.即不正确. 在④中:由②可知平面 EMN∥平面 SBD, ∴EP∥平面 SBD,因此正确. 故选:A.

【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

10.【答案】C

【解析】解:几何体为底面为正方形的长方体,底面对角线为 4,高为 3,∴长方体底面边长为 2 .

则长方体外接球半径为 r,则 2r=

=5.∴r= .∴长方体外接球的表面积

S=4πr2=25π. 故选 C. 【点评】本题考查了长方体的三视图,长方体与外接球的关系,属于中档题.

11.【答案】B 【解析】

考点:正弦定理的应用.

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12.【答案】C 【解析】解:∵S16<0,S17>0,



=8(a8+a9)<0,

=17a9>0,

∴a8<0,a9>0, ∴公差 d>0. ∴Sn 中最小的是 S8. 故选:C. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

二、填空题
13.【答案】 (2,2) .

【解析】解:∵loga1=0, ∴当 x﹣1=1,即 x=2 时,y=2, 则函数 y=loga(x﹣1)+2 的图象恒过定点 (2,2). 故答案为:(2,2). 【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点,主要利用 loga1=0,属于基础题.

14.【答案】 2 .

【解析】解:如图所示, 连接 A1C1,B1D1,相交于点 O. 则点 O 为球心,OA= . 设正方体的边长为 x,则 A1O= x.
在 Rt△OAA1 中,由勾股定理可得: 解得 x= . ∴正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积 V= 故答案为:2 .

+x2=



=2 .

15.【答案】 546 .

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【解析】解:当 n=2k﹣1(k∈N*)时,a2k+1=a2k﹣1+1,数列{a2k﹣1}为等差数列,a2k﹣1=a1+k﹣1=k;

当 n=2k(k∈N*)时,a2k+2=2a2k,数列{a2k}为等比数列,



∴该数列的前 16 项和 S16=(a1+a3+…+a15)+(a2+a4+…+a16) =(1+2+…+8)+(2+22+…+28)

=

+

=36+29﹣2 =546. 故答案为:546. 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和公式、“分类讨论方法”,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.

16.【答案】[?3, 6] .









17.【答案】 (??, 0) (4, ??)
【解析】
试题分析:把原不等式看成是关于的一次不等式,在 a ?[-2,2]时恒成立,只要满足在 a ?[-2,2]时直线在轴上方 即可,设关于的函数 y ? f(x) ? x 2 ? (a ? 4)x ? 4 ? 2a ? (x ? 2)a ? x2 ? 4x ? 4 对任意的 a ?[-2,2],当 a ? -2 时,y ? f(a) ? f (?2) ? x2 ? (?2 ? 4)x ? 4 ? 4 ? 0 ,即 f (?2) ? x2 ? 6x ? 8 ? 0 ,解得 x ? 2或x ? 4 ;当 a ? 2
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时, y ? f (2) ? x2 ? (2 ? 4)x ? 4 ? 4 ? 0 ,即 f (2) ? x2 ? 2x ? 0 ,解得 x ? 0或x ? 2 ,∴的取值范围是 {x|x ? 0或x ? 4} ;故答案为: (??, 0) (4, ??) .
考点:换主元法解决不等式恒成立问题. 【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法,解题时应用更换主元的方法,使繁杂问题变得简
洁,是易错题.把原不等式看成是关于的一次不等式,在 a ?[-2,2]时恒成立,只要满足在 a ?[-2,2]时直线在轴
上方即可.关键是换主元需要满足两个条件,一是函数必须是关于这个量的一次函数,二是要有这个量的具体 范围.

18.【答案】



【解析】解:∵函数 f(x)=sinx﹣cosx= sin(x﹣ ),



= sin(﹣ )=﹣

=﹣ ,

故答案为:﹣ . 【点评】本题主要考查两角差的正弦公式,属于基础题.

三、解答题

19.【答案】(1) x2 4

?

y2 2

? 1;(2) F2M

F2N ?[?2,7) .

【解析】



题解析:(1)根据题意知 c ? a

2 2

,即

c2 a2

?

1, 2



a2 ? b2 a2

?

1 2

,则 a2

?

2b2 ,

设 P(x, y) ,

∵ PA PB ? (?a ? x, ? y) (a ? x, ? y) ,

? x2 ? a2 ? y2 ? x2 ? a2 ? a2 ? x2 ? 1 (x2 ? a2) , 2 22

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∵ ?a ?

x ? a ,∴当 x

? 0 时, (PA

PB)min

?

? a2 2

?

?2 ,

∴ a2 ? 4 ,则 b2 ? 2 .

∴椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1. 42

11 11]

设 M (x1, y1) , N (x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2

4 2k 2 ? ?1? 2k2

, x1x2

?

4(k 2 ?1) 1? 2k 2



∵ F2M ? (x1 ? 2, y1) , F2N ? (x2 ? 2, y2) ,

∴ F2M F2N ? x1x2 ? 2(x1 ? x2) ? 2 ? k2(x1 ? 2)(x2 ? 2)

? (1? k2)x1x2 ? ( 2k2 ? 2)(x1 ? x2) ? 2k2 ? 2

? (1? k 2 )

4(k 2 ?1) ? 1? 2k 2

2 (k 2

?1)

?4 2k 2 1? 2k 2

? 2k 2

?2

?

7

?

1

9 ? 2k

2

.

∵1? 2k 2

? 1,∴ 0

?

1 1? 2k 2

?1.



7

?

9 1? 2k

2

?[?2, 7)

.

综上知, F2M F2N ?[?2,7) .
考点: 1、待定系数法求椭圆的标准方程;2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题

一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将

圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、

函数单调性法以及均值不等式法.

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20.【答案】
【解析】解:(1)∵B 的坐标为(0,1),且线段 AB 的中点 M 在直线 l:x=﹣ 上, ∴A 点的横坐标为﹣1, 代入椭圆方程 +y2=1,解得 y=± ,故点 A(﹣1, )或点 A(﹣1,﹣ ). ∴线段 AB 的中点 M(﹣ , + )或(﹣ , ﹣ ). (2)由于 F1(﹣1,0),F2(1,0),当 AB 垂直于 x 轴时,AB 的方程为 x=﹣ ,点 A(﹣ ,﹣ )、 B(﹣ , ), 求得 ? = . 当 AB 不垂直于 x 轴时,设 AB 的斜率为 k,M(﹣ ,m),A(x1,y1 ),B (x2,y2),



可得 (x1+x2)+2(y1+y2)?

=0,∴﹣1=﹣4mk,即 k= ,

故 AB 的方程为 y﹣m= (x+ ),即 y= x+ 再把①代入椭圆方程 +y2=1,可得 x2+x+ ?

①.

=0.

由判别式△=1﹣

>0,可得 0<m2< .

∴x1+x2=﹣1,x1?x2=

,y1?y2=( ?x1+

)( x2+

),

∴ ? =(x1﹣1,y1 )?(x2﹣1,y2)=x1?x2+y1?y2﹣(x1+x2)+1=



令 t=1+8m2,则 1<t<8,∴

?=

= [3t+ ].

再根据 [3t+ ]在(1, )上单调递减,在( ,8)上单调递增求得 [3t+ ]的范围为[ , ).
综上可得, [3t+ ]的范围为[ , ). 【点评】本题主要考查本题主要考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,两个向量的数量积公式的 应用,直线和二次曲线的关系,考查计算能力,属于难题.

21.【答案】 【解析】解:

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(1)交线围成的四边形 EFCG(如图所示). (2)∵平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD, 平面 A1B1C1D1∩α =EF, 平面 ABCD∩α=GC, ∴EF∥GC,同理 EG∥FC. ∴四边形 EFCG 为平行四边形, 过 E 作 EM⊥D1F,垂足为 M, ∴EM=BC=10, ∵A1E=4,D1F=8,∴MF=4. ∴GC=EF= EM2+MF2= 102+42= 116,
∴GB= GC2-BC2= 116-100=4(事实上 Rt△EFM≌Rt△CGB). 过 C1 作 C1H∥FE 交 EB1 于 H,连接 GH,则四边形 EHC1F 为平行四边形,由题意知,B1H=EB1-EH=12-8 =4=GB. ∴平面 α 将长方体分成的右边部分由三棱柱 EHG-FC1C 与三棱柱 HB1C1?GBC 两部分组成. 其体积为 V2=V 三棱柱 EHG-FC1C+V 三棱柱 HB1C1?GBC =S△FC1C·B1C1+S△GBC·BB1 =12×8×8×10+12×4×10×8=480, ∴平面 α 将长方体分成的左边部分的体积 V1=V 长方体-V2=16×10×8-480=800. ∴VV12=840800=53, ∴其体积比为53(35也可以). 22.【答案】

【解析】解:(1)∵f(x)≤m, ∴|x﹣a|≤m, 即 a﹣m≤x≤a+m, ∵f(x)≤m 的解集为{x|﹣1≤x≤5},



,解得 a=2,m=3.

(2)当 a=2 时,函数 f(x)=|x﹣2|, 则不等式 f(x)+t≥f(x+2)等价为|x﹣2|+t≥|x|. 当 x≥2 时,x﹣2+t≥x,即 t≥2 与条件 0≤t<2 矛盾.

当 0≤x<2 时,2﹣x+t≥x,即 0

,成立.

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当 x<0 时,2﹣x+t≥﹣x,即 t≥﹣2 恒成立. 综上不等式的解集为(﹣∞, ]. 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,要求熟练掌握绝对值的化简技巧.

23.【答案】
【解析】(Ⅰ)根据题中的数据计算: ? 2 ? 400 ? ?50 ?170 ? 30 ?150?2 ? 6.25
80 ? 320 ? 200 ? 200
因为 6.25>5.024,所以有 97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关
(Ⅱ)由已知得抽样比为 8 = 1 ,故抽出的8人中,男士有5人,女士有3人.分别设为 a,b, c, d, e,1, 2,3 ,选 80 10
取2人共有?a,b? ,?a,c?,?a, d?,?a,e?,?a,1? ,?a, 2? ,?a,3?,?b,c? ,?b,d? ,?b,e? ,?b,1? ,?b, 2?, ?b,3? ,?c, d?,?c,e?,?c,1? ,?c, 2?,?c,3?,?d,e?,?d,1? ,?d,2? ,?d,3?,?e,1? ,?e, 2? ,?e,3?, ?1, 2? ,?1,3? ,?2,3? 28个基本事件,其中事件“选出的2人中,至少有一名女士”包含18个基本事件,故所
求概率为 P ? 18 = 9 . 28 14
24.【答案】

【解析】设 f(x)=x2﹣ax+2.当 x∈,则 t=



∴对称轴 m= ∈(0, ],且开口向下;

∴ 时,t 取得最小值 ,此时 x=9

∴税率 t 的最小值为 .
【点评】此题是个指数函数的综合题,但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最 值的知识.考查的知识全面而到位! 25.【答案】

【解析】解:(1)设 z=x+yi(x,y∈R). 由 z+2i=x+(y+2)i 为实数,得 y+2=0,即 y=﹣2. 由 z﹣4=(x﹣4)+yi 为纯虚数,得 x=4. ∴z=4﹣2i. (2)∵(z+mi)2=(﹣m2+4m+12)+8(m﹣2)i,
根据条件,可知
解得﹣2<m<2, ∴实数 m 的取值范围是(﹣2,2). 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义,属于基础题.

26.【答案】

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【解析】解:(1)当 m=2 时,

(x>0)

令 f′(x)<0,可得 令 f′(x)>0,可得 ∴f(x)在 故

或 x>2; , 和(2,+∞)上单调递减,在

单调递增

(2)

(x>0,m>0)

①当 0<m<1 时,则

,故 x∈(0,m),f′(x)<0;

x∈(m,1)时,f′(x)>0 此时 f(x)在(0,m)上单调递减,在(m,1)单调递增;

②当 m=1 时,则 ,故 x∈(0,1),有

恒成立,

此时 f(x)在(0,1)上单调递减;

③当 m>1 时,则





时,f′(x)<0;

时,f′(x)>0

此时 f(x)在

上单调递减,在

单调递增

(3)由题意,可得 f′(x1)=f′(x2)(x1,x2>0,且 x1≠x2)



?

∵x1≠x2,由不等式性质可得 又 x1,x2,m>0



?



,则

对 m∈[3,+∞)恒成立 ∴g(m)在[3,+∞)上单调递增,

恒成立, 对 m∈[3,+∞)恒成立

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∴ 故

从而“

对 m∈[3,+∞)恒成立”等价于“



∴x1+x2 的取值范围为 【点评】运用导数,我们可解决曲线的切线问题,函数的单调性、极值与最值,正确求导是我们解题的关键

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