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高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式:第8节 一元二次不等式综合应用


第 8 节 一元二次不等式综合问题 【基础知识】 1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把 a<0 的情形转化为

a>0 时的情形.
2.f(x)>0 的解集即为函数 y=f(x)的图象在 x 轴上方的点的横坐标的集合,充分利用 数形结合思想. 3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式解法进行求解. 【规律技巧】 1.对于不等式 ax +bx+c>0,求解时不要忘记讨论 a=0 时的情形. 2.当 Δ <0 时,ax +bx+c>0 (a≠0)的解集为 R 还是?,要注意区别. 3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.
2 2

【典例讲解】 例1、 已知函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式
2

f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________.

例 2、已知函数 f(x)= 的取值范围是________.

x2+2x+a ,若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,则实数 a x

【解析】∵x∈[1,+∞)时,f(x)=
2

x2+2x+a 2 >0 恒成立,即 x +2x+a>0 恒成立. x

即当 x≥1 时,a>-(x +2x)=g(x)恒成立. 而 g(x)=-(x +2x)=-(x+1) +1 在[1,+∞)上单调递减, ∴g(x)max=g(1)=-3,故 a>-3. ∴实数 a 的取值范围是{a|a>-3}. 【答案】(1)9 (2){a|a>-3}
2 2

【针对训练】 1.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯 15 元的价格销售. 每天能卖出 30 盏,若售价 每提高 1 元,日销售量将减少 2 盏.为了使这批台灯每天获得 400 元以上的销售收入,问应 如何制定这批台灯每盏的销售价格范围? 【答案】 x ? [15, 20) 2.不等式 2
x2 ? x

? 4 的解集为________.

【答案】 (?1, 2).
2 【解析】由题意得: x ? x ? 2 ? ?1 ? x ? 2 ,解集为 (?1, 2).

3.不等式 ? x ? x ? 2 ? 0 的解集是(
2



A. x ?2 ? x ? 2 C. x ?1 ? x ? 1 【答案】B 【解析】

?

?

B. x x ? ?2或x ? 2 D. x x ? ?1或x ? 1

?

?

?

?

?

?

试题分析:当 x ? 0 时,不等式 ? x ? x ? 2 ? 0 ? ? x ? x ? 2 ? 0 ? x ? x ? 2 ? 0 ,此
2 2 2

















?x | x ? 2?





x?0











? x 2 ? x ? 2 ? 0 ? ? x 2 ? x ? 2 ? 0 ? x 2 ? x ? 2 ? 0 ,此时不等式的解集为 ? x | x ? ?2? ;
综上所述,原不等式的解集为 x x ? ?2或x ? 2 . 4. 关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? 6a 2 ? 0 ( a ? 0 )的解集为 ( x1 , x2 ) ,且 x2 ? x1 ? 10 ,则 a ? ( A. 2 【答案】A. ) B. 5 C.

?

?

5 2

D.

3 2

5.已知 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? 4 x .那么不等式 f ( x ? 2) ? 5
2

的解集是____________. 【答案】 (??,3)

【练习巩固】 1.设 a∈R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1](x -ax-1)≥0,则 a=________. 3 【答案】 2
2

2.设二次函数 f(x)=ax +bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n(m<n).

2

(1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n< ,比较 f(x)与 m 的大小.

a

3.已知不等式 ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, (1)求 a,b; (2)解不等式 ax -(ac+b)x+bc<0.
2

2

4.已知抛物线 y=(m-1)x +(m-2)x-1(x∈R). (1)当 m 为何值时,抛物线与 x 轴有两个交点? (2)若关于 x 的方程(m-1)x +(m-2)x-1=0 的两个不等实根的倒数平方和不大于 2, 求 m 的取值范围.
2

2

5.设函数 f(x)=a ln x-x +ax,a>0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求所有的实数 a,使 e-1≤f(x)≤e 对 x∈[1,e]恒成立. 注 e 为自然对数的底数.
2

2

2

5、已知不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ? x | ? 解集为( )

? ?

1 ? ? x ? 2? ,则不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的 3 ?

A. ? x | ?2 ? x ?

? ?

1? ? 3? 1? ? 2?

B. ? x | x ? ?2或x ?

? ?

1? ? 3? 1? ? 2?

C. ? x | ?3 ? x ?

? ?

D. ? x | x ? ?3或x ?

? ?

易错分析:由于对一元二次不等式解集的意义理解不够,故忽视了对 a 、b 、c 符号的判断. 根据给出的解集,除知道 ?

1 2 和 2 是方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根外,还应知道 3

a ? 0 ,然后通过根与系数的关系进一步求解.
6. 若集合 A ? {x ?? ? ? x ?? ? ?}, B ? {x A. {x ?? ? x ? ?} B. {x ? ? x ? ?} C.

x?? ? ?} ,则 A ? B ? ( x



{x ? ? x ? ?} D. {x ? ? x ? ?}

【解析】 因为集合 A ? {x ?? ? x ? ?}, B ? {x ? ? x ? ?} ,所以 A ? B ? {x ? ? x ? ?} , 选 B. 【答案】B 7.设 a>0,不等式-c<ax+b<c 的解集是{x|-2<x<1},则 a∶b∶c=( A.1∶2∶3 C.3∶1∶2 【解析】∵-c<ax+b<c,又 a>0,∴- ∵不等式的解集为{x|-2<x<1}, B.2∶1∶3 D.3∶2∶1 ).

b+c c-b < x< . a a

b+c ? ?- a =-2, ∴? c-b ? a =1, ?

a ? ?b=2, ∴? 3 ?c=2a, ?

a 3a ∴a∶b∶c=a∶ ∶ =2∶1∶3. 2 2
【答案】B 8.不等式(x -2)log2x>0 的解集是 A.(0,1)∪( 2,+∞) C.( 2,+∞)
? ?x -2>0, 【解析】原不等式等价于? ?log2x>0 ?
2 2

(

).

B.(- 2,1)∪( 2,+∞) D.(- 2, 2)
? ?x -2<0, 或? ?log2x<0. ?
2

∴x> 2或 0<x<1,即不等式的解集为(0,1)∪( 2,+∞). 【答案】A 9.已知二次函数 f(x)=ax -(a+2)x+1(a∈Z),且函数 f(x)在(-2,-1)上恰有一 个零点,则不等式 f(x)>1 的解集为 A.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-1,0) ( ).
2

B.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(0,1)

【答案】C


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