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2014-2015学年浙江省温州市瑞安中学高一(下)期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省温州市瑞安中学高一(下)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) . 1. (5 分) (2015 春?瑞安市校级期中)下列命题中,不正确的是( ) A. C. ? ? = 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用平面向量的数量积公式对选项分别分析选择. 解答: 解:对于 A,因为 ,所以 A 正确; |cosθ=λ| || |cosθ,故 B 正确; B. λ( ? )= ?(λ ) ( ﹣ ) = ? ﹣ ? D. 与 共线

对于 B,因为 λ( ? )=λ| || |cosθ, ?(λ )=| || 对于 C, ( ﹣ ) = ? ﹣ ? 是正确的;

对于 D, 与 共线,则它们的夹角为 0°或者 180°,所以 ? =±

;故 D 错误;

故选 D. 点评: 本题考查了向量的数量积公式的灵活运用;熟练掌握公式是解答的根据. 2. (5 分) (2012 秋?永昌县期中)在△ ABC 中,一定成立的等式是( ) A. asinA=bsinB B.acosA=bcosB C. asinB=bsinA acosB=bcosA 考点: 专题: 分析: 解答: =

D.

正弦定理. 计算题. 根据正弦定理表示出 a, b, sinA 及 sinB 的关系式, 变形后即可得到答案 C 一定正确. 解:根据正弦定理得: ,即 asinB=bsinA.

故选 C 点评: 此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值,是一道基础题.

3. (5 分) (2013 秋?白城期末)设 是单位向量, ( )

=3 ,

=﹣3 ,|

|=3,则四边形 ABCD

A.

梯形

B.菱形

C. 矩形 D. 正方形

考点: 向量的三角形法则. 专题: 平面向量及应用. 分析: 据向量相反向量的定义得四边形为平行四边形,再据邻边相等四边形为菱形. 解答: 解:∵ ∴ ∴四边形 ABCD 是平行四边形 又∵ ∴四边形 ABCD 是菱形 故选项为 B 点评: 本题考查相反向量的定义,菱形满足的条件. 4. (5 分) (2010?辽宁模拟)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案, 则第 n 个图案中有白色地面砖的块数是( ) ,

A.

4n+2

B.4n﹣2

C. 2n+4 D. 3n+3

考点: 归纳推理;等差数列的通项公式. 分析: 本题考查的是归纳推理,处理的方法是,由已知的图案中分析出白色地面砖的块数 与图形序号 n 之间的关系,并由此猜想数列的通项公式,解答问题. 解答: 解:方法一: (归纳猜想法) 观察可知:除第一个以外,每增加一个黑色地板砖,相应的白地板砖就增加四个, 因此第 n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以 6 为首项,公差是 4 的等差数列的第 n 项”. 故第 n 个图案中有白色地面砖的块数是 4n+2 方法二: (特殊值代入排除法) 或由图可知,当 n=1 时,a1=6,可排除 B 答案 当 n=2 时,a2=10,可排除 CD 答案. 故答案为 A 点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 5. (5 分) (2012 秋?未央区校级期中)设等差数列 an 的前 n 项之和为 Sn,已知 S10=100,则 a4+a7=( ) A. 12 B. 20 C. 40 D. 100 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题.

分析: 要求 a4+a7 就要得到此等差数列的首项和公差,而已知 S10=100,由等差数列的前 n 项和的通项公式可得到首项与公差的关系.代入求出即可. 解答: 解:由等差数列的前 n 项和的公式得:s10=10a1+ d=100,即 2a1+9d=20;

而 a4+a7=a1+3d+a1+6d=2a1+9d=20 故选 B 点评: 本题是一道基础计算题,要求学生会利用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式进 行化简求值,做题时学生应注意利用整体代换的数学思想解决数学问题. 6. (5 分) (2015 春?瑞安市校级期中)数列{an}中,已知 a1=1,a2=2,an+2=an+1﹣an(n∈N ) , 则 a2015=( ) A. 1 B. ﹣1 C. ﹣2 D. 2 考点: 数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 a1=1,a2=2,an+2=an+1﹣an 可判断数列{an}的周期为 6,从而求得. 解答: 解:∵a1=1,a2=2,an+2=an+1﹣an, ∴a3=a2﹣a1=2﹣1=1, a4=a3﹣a2=1﹣2=﹣1, a5=a4﹣a3=﹣1﹣1=﹣2, a6=a5﹣a4=﹣2﹣(﹣1)=﹣1, a7=a6﹣a5=﹣1﹣(﹣2)=1, a8=a7﹣a6=1﹣(﹣1)=2, ∴数列{an}的周期为 6,且 2015=335×6+5, ∴a2015=a5=﹣2; 故选 C. 点评: 本题考查了数列的递推公式的应用及数列周期性的应用,属于中档题. 7. (5 分) (2014?奎文区校级模拟)在△ ABC 中,P 是 BC 边中点,角 A、B、C 的对边分别 是 a、b、c,若 A. B. C. D. ,则△ ABC 的形状是( )
*

等边三角形 钝角三角形 直角三角形 等腰三角形但不是等边三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 将 c +a +b =﹣ =c = 转化为以 , = +b( ﹣ ﹣ 与 , )= 为基底的关系,即可得到答案.

解答: 解:∵ ∴c +a +b

﹣a

即c

+b

﹣(a+b)

= ,

∵P 是 BC 边中点, ∴ ∴c = ( +b + ) , + )= ,

﹣ (a+b) (

∴c﹣ (a+b)=0 且 b﹣ (a+b)=0, ∴a=b=c. 故选 A. 点评: 本题考查三角形的形状判断,突出考查向量的运算,考查化归思想与分析能力,属 于中档题. 8. (5 分) (2013 春?昆明校级期末)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,并 2 2 2 且 a 、b 、c 成等差数列,则角 B 的取值范围是( ) A. B. C. D.

考点: 等差数列的性质;余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的定义和性质可得 2b =a +c ,再由余弦定理可得 cosB= 用基本不等式可得 cosB≥ ,从而求得角 B 的取值范围. 解答: 解:由题意可得 2b =a +c ,由余弦定理可得 cosB= = ≥ ,
2 2 2 2 2 2

,利

当且仅当 a=c 时,等号成立. 又 0<B<π,∴0<B≤ ,即角 B 的取值范围是 .

故选 B. 点评: 本题主要考查余弦定理、等差数列的定义和性质,以及基本不等式的应用,求得 cosB≥ ,是解题的关键.

二.填空题(本大题共 7 小题,9--12 每小题 6 分,其余每小题 6 分,共 36 分) 9. (6 分) (2015 春?瑞安市校级期中) 已知△ ABC 中 B=60°, 且边 a=4, c=3, 则边 b= △ ABC 的面积等于 3 .



考点: 专题: 分析: 解答:
2 2

余弦定理;正弦定理. 解三角形. 由余弦定理进行求解即可. 解:∵B=60°,且边 a=4,c=3,
2

∴b =a +c ﹣2accosB=16+9﹣2× 则 b= , =

=13,

则△ ABC 的面积 S=

=3



故答案为: 点评: 本题主要考查余弦定理的应用,比较基础. 10. (6 分) (2015 春?瑞安市校级期中)已知数列{an}满足 a1=2,an+1=an+n 则 a3﹣a1= 数列{an}的通项公式为 . 3 ,

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 an+1﹣an=n,结合条件和累加法求出 an,代入再求出 a3﹣a1 的值. 解答: 解:由题意可得:an+1﹣an=n, ∴a2﹣a1=1,a3﹣a2=2,…,an﹣an﹣1=n﹣1, 以上 n﹣1 个式子相加可得, an﹣a1=1+2+3+…+(n﹣1)= ,

则 an=2+ ∴a3﹣a1=5﹣2=3, 故答案为:3;

=





点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式,以及累加法求数列的通项公式,属与中档题. 11. (6 分) (2015 春?瑞安市校级期中) 从 1 到 2015 这 2015 个正整数中, 有多少个 3 的倍数? 671 ;有多少个被 3 除余 1 且被 4 除余 2 的整数? 167 . 考点: 整除的定义. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 从 1 到 2015 这 2015 个正整数中,3 的倍数构成一个以 3 为首项,以 3 为公差的等差 数列,其中满足条件的最大的数为 2013; 被 3 除余 1 且被 4 除余 2 的整数构成一个以 10 为首项, 以 12 为公差的等差数列, 其中满足条 件的最大的数为 2014. 解答: 解:从 1 到 2015 这 2015 个正整数中,

3 的倍数构成一个以 3 为首项,以 3 为公差的等差数列, 故 an=3n,其中满足条件的最大的数为 2013, 当 an=3n=2013 时,n=671, 故从 1 到 2015 这 2015 个正整数中,有 671 个 3 的倍数; 被 3 除余 1 且被 4 除余 2 的整数构成一个以 10 为首项,以 12 为公差的等差数列, 故 bn=12n﹣2,其中满足条件的最大的数为 2014, 当 bn=12n﹣2=2014 时,n=167, 故从 1 到 2015 这 2015 个正整数中,有 167 个被 3 除余 1 且被 4 除余 2 的整数. 故答案为:671,167 点评: 本题考查的知识点是等差数列,其中分析出满足条件的整数组成数列的公差和首项 是解答的关键.

12. (6 分) (2015 春?瑞安市校级期中)给定两个长度为 1 的平面向量 为 120°.点 C 在以 OA,OB 为半径的圆弧上,∠AOC=30°如图所示,若 x,y∈R,则 x= ;y= .

和 =x

,它们的夹角 +y ,其中

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 建立坐标系,求出 A,B,C 的坐标,利用向量法结合向量的基本定理建立方程组关 系进行求解即可. 解答: 解:建立平面坐标系如图:则 A(1,0) ,C( B(﹣ , 则 ∵ ∴( =( =x ) , , ) , +y , ) , =(1,0) , =(﹣ , ) , , ) ,

, )=x(1,0)+y(﹣ ,









故答案为:



点评: 本题主要考查向量的基本定理的应用,建立坐标系,利用向量的坐标公式是解决本 题的关键.

13. (4 分) (2011?河南模拟)△ ABC 的三内角 A,B,C 所对边长分别是 a,b,c,设向量 = (a+b,sinC) , =( a+c,sinB﹣sinA) ,若 ∥ ,则角 B 的大小为 .

考点: 平行向量与共线向量;同角三角函数间的基本关系;正弦定理. 专题: 向量法. 分析: 利用两向量平行的充要条件求出三角形的边与角的关系,利用正弦定理将角化为边, 再利用余弦定理求出 B 的余弦,求出角. 解答: 解:∵ ∴(a+b) (sinB﹣sinA)=sinC( 由正弦定理知 (a+b) (b﹣a)=c( ) 即 由余弦定理知 2accosB=﹣ ∴cosB=﹣ B∈(0,π) ∴B= 故答案为 点评: 本题考查向量平行的充要条件、三角形的正弦定理、余弦定理. )

14. (4 分) (2015 春?瑞安市校级期中)如图圆 C 半径为 1,A 为圆 C 上的一个定点,B 为圆 C 上的动点,若点 A,B,C 不共线,且 则 = 1 . 对任意 t∈(0,+∞)恒成立,

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 两边平方,设 ? =m,整理可得 t ﹣2tm﹣(1﹣2m)≥0,再由不等式恒成立思想,
2

运用判别式小于等于 0,解不等式即可. 解答: 解:∵ ∴| ﹣t |≥| ﹣ |, ,

两边平方可得:
2

﹣2t ?

?

+t

2


2

2

﹣2

?

+

2





=m,则有:t ﹣2tm﹣(1﹣2m)≥0,
2

则有判别式△ =4m +4(1﹣2m)≤0, 2 化简可得(m﹣1) ≤0,即 m=1, 即有 ? =1,

故答案为:1. 点评: 本题考查平面向量的运用,考查平方法的运用,考查向量的平方即为模的平方,考 查二次不等式恒成立的求法,注意运用判别式小于等于 0,考查运算能力,注意解题方法的积 累,属于中档题.
0

15. (4 分) (2015 春?瑞安市校级期中)已知非零向量 则 的取值范围为 .

的交角为 60 ,且



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 首先通过 方,展开求出范围. 解答: 解:∵非零向量 ∴ 所以 所以 当且仅当 ∴ 所以 1<2 所以 +1≤3 . =1,

=1 平方后结合基本不等式得到

.然后将



的交角为 60 ,且

0





=1 时取等号. =2 +1,

的取值范围为(1,

];

故答案为: . 点评: 本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、基本不等式的性质,考查了推理能力 和计算能力,属于难题 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分) 16. (15 分) (2015 春?瑞安市校级期中)已知{an}是等差数列,其中 a1=13,a4=7 (1)求{an}的通项; (2)数列{an}前多少项和最大?最大和为多少? (3)求|a1|+|a3|+|a5|+|a7|+|a9|+|a11|值. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据等差数列的定义求出公差,即可求{an}的通项; (2)根据数列{an}前 n 项公式结合一元二次函数的性质即可得到结论. (3)结合等差数列的通项公式进行求和. 解答: 解: (1)∵a1=13,a4=7, ∴3d=a4﹣a1=7﹣13=﹣6, ∴d=﹣2 ∴an=13﹣2(n﹣1)=15﹣2n…(5 分) (2)∵ ,

∴当 n=7 时,sn 取最大值 s7=49…(10 分) (3)当 n≤7 时,an>0,当 n>7,an<0, |a1|+|a3|+|a5|+…+|a11|=13+9+5+1+3+7=38…(15 分) . 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和的求解,考查学生的计算能力.

17. (15 分) (2015 春?瑞安市校级期中)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a,b, c,A= ,cosB=

(1)求 sinC 的值; (2)若 2c=b+2,求三边 a,b.c 的长,并求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用两角和差的正弦公式即可求 sinC 的值; (2)根据正弦定理求出 a,b,c 的值,结婚三角形的面积公式进行求解, 解答: 解(1)∵A= ∴ (2)∵cosB= ∴sinB= 则 设 a=7k,b=8k,c=5k,由 2c=b+2 得:10k=8k+2,k=1 所以 a=7,b=8,c=5, 则 . , ,cosB= , .

点评: 本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的 关键. 18. (14 分) (2015 春?瑞安市校级期中) 如图所示 B 岛在 A 岛南偏东 75 方向, 距离 A 岛 0 海里,A 岛观察所发现在 B 岛正北方向与 A 岛的北偏东 60 方向的交点处 D 有海上非法走私 交易活动,A 岛观察人员马上通知在 B 岛东北方向,距离 B 岛 7 海里 C 处的缉私艇在半小时 内赶到 D 处,求缉私艇的速度至少每小时多少海里?
0

考点: 解三角形的实际应用;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据正弦定理和余弦定理结合三角形的边角关系进行求解即可. 0 0 0 解答: 解:在△ ABD 中,∠DAB=180°﹣60 ﹣75 =45 , ∠ADB=60°,AB=4 ,

由正弦定理得: 在△ BDC 中,

…(6 分) ,∠DBC=45°, …(12 分)

海里/小时,缉私艇的速度至少每小时 10 海里.…(14 分) 点评: 本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理建立方程关系是解决本题 的关键. 19. (15 分) (2015 春?瑞安市校级期中)如图所示,已知四边形 ABCD 是矩形,M,N 分别 是 AD,BC 的中点,P 是 CD 上一点,Q 是 AB 上一点,PM 与 QN 交于 R,A 是原点,B(2, 0) ,C(2,1) ,D(0,1) ,P(t,1) ,Q(t,0) , (1)若 ,求 t 的值

(2)求证:R,A,C 三点共线.

考点: 平面向量的综合题;平行向量与共线向量;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)求出相关向量,利用 (2)R,M,P 三点共线,设出 组求解证明即可. 解答: 解: (1) … (3 分 ) ,所以 , …(6 分) ,求解即可. ,R,N,Q 三点共线,可设 ,然后列出方程

(2)R,M,P 三点共线,可设, 所以 R,N,Q 三点共线,可设,

所以

…(10 分)

根据平面向量的基本定理得:

,解得:

所以

=

所以 R,A,C 三点共线.…(15 分)

点评: 本题考查向量的应用,向量共线与垂直条件的应用,考查计算能力.

20. (15 分) (2015 春?瑞安市校级期中) 已知 函数 f(x)= (x∈R) .



(1)若 a=﹣1,解方程 f(x)=1; (2)若函数 f(x)在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)若 a<1 且不等式 f(x)≥2x﹣3 对一切实数 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用;平面向量及应用. 分析: (1)求出 a=﹣1 的函数 f(x)的解析式,去绝对值,解方程即可得到; (2)将 f(x)写成分段函数的形式,由二次函数的对称轴和区间的关系,解不等式即可得到 所求范围; (3)设 g(x)=f(x)﹣(2x﹣3) ,不等式 f(x)≥2x﹣3 对一切实数 x∈R 恒成立,等价于不 等式 g(x)≥0 对一切实数 x∈R 恒成立.求出 x<a 和 x≥a 的值域,求得最小值,解不等式, 即可得到所求范围. 解答: 解:f(x)= =x +(x﹣1)|x﹣a|(x∈R) .
2 2

(1)当 a=﹣1 时,故有 f(x)=x +(x﹣1)|x+1|, 即有
2



当 x≥﹣1 时,由 f(x)=1,有 2x ﹣1=1,解得 x=1 或 x=﹣1, 当 x<﹣1 时,f(x)=1 恒成立, ∴方程的解集为{x|x≤﹣1 或 x=1};

(2)



若 f(x)在 R 上单调递增,则有 ∴当 时,f(x)在 R 上单调递增;

,解得,

(3)设 g(x)=f(x)﹣(2x﹣3) , 则 ,

不等式 f(x)≥2x﹣3 对一切实数 x∈R 恒成立, 等价于不等式 g(x)≥0 对一切实数 x∈R 恒成立. 2 ∵a<1,∴当 x∈(﹣∞,a)时,g(x)单调递减,其值域为(a ﹣2a+3,+∞) , 2 2 由于 a ﹣2a+3=(a﹣1) +2≥2,所以 g(x)≥0 成立. 当 x∈[a,+∞)时,由 a<1,知 ,g(x)在 处取最小值,



,得﹣3≤a≤5,又 a<1,所以﹣3≤a<1

综上,a∈[﹣3,1) . 点评: 本题考查向量的数量积的坐标表示,含绝对值函数的单调性和不等式恒成立问题转 化为求函数的最值问题,考查运算能力,属于中档题.


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