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3.2 空间向量的基本定理与空间向量的坐标表示-王后雄学案

张喜林制 1 3.2 空间向量的基本定理与空间向量的坐标表示 一、空间向量的基本定理 如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在唯一的有序实数组 x 、 y 、 z 使 p ? xa ? yb ? zc. 二、空间向量的坐标表示 1.单位正交基底, 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直, 且长都为 1, 则这个基底叫做单位正交基底, 常用{i, j , k}表示. 2.空间直角坐标系. 在空间选一点 O 和一个单位正交基底{i,j,k}.以点 O 为原点,分别以 i,j,k 的方向为正方向建 立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫坐标轴,这样我们就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz,其中点 0 叫原点,向量 i,j ,k 都叫坐标向量,经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,它们分别是 xOy 平面, xO z 平面,yoz 平面. 3.空间直角坐标系的画法, 作空间直角坐标系 Oxyz 时,一般使用 ?xOy ? 135o , ?yOz ? 90?. 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如果中指能指向 z 轴的正方向,则称此坐标系为右手直角坐标系,一般使用的坐标系都是右手直角坐标系. 4.空间向量的坐标表示. 给定一个空间直角坐标系和向量 a,其坐标向量为 i,j ,k,若 a ? a1i ? a2 j ? a3 k , 则有序数组 (a1 , a2 , a3 ) 叫做向量 a 在此直角坐标系中的坐标,上式可简记作 a ? (a1 , a2 , a3 ). 在空间直角坐标系 Oxyz 中, 对于空间任一点 A, 对应一个向量 OA , : 若 0 A ? xi ? yj ? zk , 则有序数组 (x,y,z)叫点 A 在此空间直角坐标系中的坐标,记为 A(x,y ,z) ,其中 x 叫做点 A 的横坐标,y 叫点 A 的纵坐标,z 叫点 A 的竖坐标.写点的坐标时,三个坐标之间的顺序不可颠倒. 5.空间任一点 P 的坐标的确定. 1 1 过 P 作面 xOy 的垂线,垂足为 P ,在面 xOy 中,过 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 A、C,则 . x ?| PC |, y ?| AP |, z ?| PP | . 如图 3 -2 -2. [注意](1)空间相等向量的坐标是唯一的; (2)当向量与坐标轴或坐标平面平行(或垂直)时,向量的坐标有一定特点,请同学们思考. 三、空间向量的坐标运算 空间向量加法、减法、数量积、平行、垂直的坐标运算都类似于平面内向量的这些坐标运算. 张喜林制 设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ), 则 2 a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ). a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ). ?a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 )(? ? R). a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R), 或 a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0. a1 a 2 a3 ? ? (b b b ? 0). b1 b2 b3 1 2 3 ? 典例分类 考点 1 空间向量的基本定理 [例 1] 已知{a,b,c}是空间向量的一个基底,从 a,b,c 中选出哪一个向量,一定可以与向量 P ? a ? b, q ? a ? b 构成空间的另一个基底? [例 2] 如图 3-2 -3,在平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, AB ? a, AD ? b.AA? ? c, P 是 CA? 的中点,M 是 CD ? 的中点,N 是 C ?D ? 的中点,点 Q 是 CA? 上的点,且 CQ : QA? ? 4 : 1, 用基底{a,b,c} 表示以下向量: (1) AP; (2) AM; (3) AN; (4) AQ 张喜林制 3 考点 2 空间向量的坐标表示 [例 3] 已知在正四棱锥 P- ABCD 中,0 为底面中心,底面边长和高都是 2,E、F 分别是侧棱 PA、PB 的中 点,分别按照下列要求建立空间直角坐标系,写出点 A、B、C、 D、P、E、F 的坐标. 考点 3 空间向量的坐标运算 [例 4] 已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(2,-1,2) ,B(4,5,-1),C( -2,2,3),分别求点 D 的坐 标,使: (1)OD ? 1 ( AB ? AC ); 2 (2) AD ? 1 ( AB ? AC ) ? 2 ? D、BD 的中点,G 在棱 CD 上,且 [例 5] 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 D 1 CG ? 1 CD, H 是 Cl G 的中点.利用空间向量解决下列问题: 4 (1)求 EF 与 B1C 所成的角; (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值; (3)求 F、H 两点间的距离. 张喜林制 4 学业水平测试 1、设 x ? a ? b, y ? b ? c, z ? c ? a, 且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组: ①{a, b, x}, ②{x, y, z}, ③{b, c, z}, ④{x, y, a ? b ? c}, 其中可以作为空间的基底的向量组有( A.l 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ). ). 2 .a ? (2 x,1,3), b ? (1,?2 y,9), 如果 a 与 b 为共线向量,则( A.x ? 1, y ? 1 B.x ? 1 1 ,y ?? 2 2 C.x ? 1 3 ,y ?? 6 2 ). 1 3 D.x ?

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