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石家庄市2012-2013学年度高三数学质检一(理科答案)

2013 年石家庄市高三毕业班质量检测(一)

数学(理科答案)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1-5ABABC 6-10DBCCB 11-12DC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 15 14. 3 15. ( ? ? , ? 1] ? [8, ? ? ) 16.
4
n

?

2 3

3

三、解答题: 17.解: (Ⅰ)设等差数列 ?a n ? 的公差为 d . 由已知 a 3 ? 2 a 7 , S 4 ? 17 ,
? a1 ? 2 d ? 2 ( a1 ? 6 d ) ? 得? ,………………2 分 4?3 d ? 17 ? 4 a1 ? ? 2 ? a1 ? 5 ? n 11 ? ? 解得 ? .……………5 分 1 ,? a n ? 2 2 d ? ? ? ? 2

(Ⅱ)法一:
? S n ? 5n ? n ( n ? 1) ? 1 ? 1? 21 ? 441 . ?? ? ? ? ?n? ? ? 2 4? 2 ? 1 6 ……………8 分 ? 2?
2

? 当 n 取10或11时, S n 取最大值 2 7

1 2

.……………10 分

法二:? 数列 ?a n ? 的 a 1 ? 0, 公差 d ? 0 ,
? 此等差数列 ?a n ? 是首项为正数的递减数列.

当 n ? 1 1 时, a n ?

11 ? n 2
?

? 0;

所以当 1 ? n ? 1 1且 n ? N 时,有 a n ? 0; 当 n ? 1 2 且 n ? N 时,有 a n ? 0 .………………8 分 综上:当 n 取 10 或 11 时, S 11 ? S 10 ? 2 7 所以 S n 取最大值 2 7
1 2
0
?

1 2



.………10 分

18.解:依题意, C D ? l , ? ACD ? 45 ,

在 ? ACD 中, ? CAD ? 180
AD sin 45
?

0

? ? ACD ? ? ADC ? 60 ,
0

根据正弦定理

?

CD sin 60
0

?

,∴ A D ?

C D sin 4 5 sin 6 0
?

?

?

6 3

l,

……….4分

在 ? BCD 中, ? CBD ? 180

? ? BCD ? ? BDC ? 135
2 2
0

0

, ? BCD ? 30
?

0

根据正弦定理BD=

C D s in 3 0 ? s in 1 3 5 ?

?

CD

, BD ?

C D s in 3 0 s in 1 3 5
?

?

2 2

l

…………………….8分

又在 ? ABD 中, ? ADB ? ? ADC ? ? BDC ? 90 根据勾股定理有
AB ? AD ? BD
2 2

?

2 3

?

1 2

CD =

42 6

l

…………………………10分

实际所需电线长度约为 1 . 2 AB ?

42 5

l ………………………….12 分

19.解:(Ⅰ)以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 设 PA ? x , 则
P (0 , 0 , x ), D ( ? 1, 0 , 0 ), E (0 , 2 2 , 0 ), C ( ? 1, 2 , 0 ), F ( ? 1 2 , 2 2 , x 2 )

……………2 分 又 EF ? (?
??? ? 1 2 , 0, x 2 ???? ), P D ? ( ? 1, 0 , ? x )

2 ??? ???? ? 1 x EF ? PD ? ? 0 ? ? 0, 2 2

所以 x ? 1 , 当 PA 的长度为 1 时,EF⊥PD.………………5 分 (Ⅱ)法一:在 Rt ? PBC 中作 BN ? PC,? BN ?
? CF=1? N 为 CF 中点。
3 2 , CN ? 1 2

.

取CD中点M,连结MN? MN//DF。 又? DF ? PC,? MN ? PC? ? MNB 为二面角 B-PC-D的平面角.…………9 分 在 ? MNB 中 BM ?
6 2 , MN ? 1 2 , BN ? 3 2



? cos ? MNB = ?

3 3

? 二面角 B-PC-D的余弦值为 ?

3 3

.…………12 分

法二:如图建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 B( 0 , 2 , 0 )P( 0 , 0 ,1 )C( ? 1, 2 , 0 )D( ? 1, 0 , 0 ) 则 PB ? ( 0 , 2 , ? 1) , PC ? ( ? 1, 2 , ? 1) , PD ? ( ? 1, 0 , ? 1) 设平面 PBC 的法向量 n1 ? ( x , y , z )

?
?

??? ? ???? n1 ? P B ? 0 , n 1 ? P C ? 0
2 y ? z ? 0,? x ? 2 y ? z ? 0 ,令 y ? 1 ,则 n1 ? (0,1,

2 ) ,……………8 分

同理可得平面 PCD 的一个法向量 n 2 ? (1, 0 , ? 1) ,………………10 分
3 3

则二面角 B-PC-D的余弦值 cos n1 , n 2 = ?

,……………12 分

20.解: (Ⅰ) 由甲射击数据表可知,总共射击 400 次,其中射击 7 环的频数为 40 次,8 环频数为 80 次, 9 环频数为 120 次,10 环的频数为 160 次. 故
P ? X1 ? 7? ? P ? X1 ? 9? ? 40 400 120 400 ? 0 .3 ? 0 .1 P ? X1 ? 8? ? 80 400 160 400 ? 0 .4 ? 0 .2

P ? X 1 ? 10 ? ?

所以,甲射击环数 X 1 的分布列为
X1
P

7 0.1

8 0.2

9 0.3

10 0.4

同理可计算 乙射击环数 X 2 的分布列
X
2

7 0.2

8 0.1

9 0.2

10 0.5 分

P

… … … … … … … … … … … … … 4
E ? X 1 ? ? 9, D ? X 1 ? ? 1 ; E ? X 2 ? ? 9, D ? X 2 ? ? 1 .4

…………………………………………………………6 分 甲乙两人射击环数均值相等,甲射击环数方差比乙射击环数方差小,因此甲乙射击的平均水平没有差别, 但甲发挥比乙稳定. ………………8 分 (Ⅱ)甲在一次射击成绩优秀的概率 P ? 0 .3 ? 0 .4 ? 0 .7 甲在 3 次目标射击中至少有 2 次成绩优秀的概率为:
C 3 ? 0 .7 ? 0 .3 ? C 3 ? 0 .7 ? 0.784
2 2 3 3

…………………………12 分

21.解: (Ⅰ)由椭圆方程

x a

2 2

?

y b

2 2

???? ? ? 1( a ? b ? 0 ) 得 M、N 的坐标为 M ( a , 0 ) ,N (0, b ) ,则 MN ? ( ? , ) , ab

? x ? ?c 2 b ? 又由 ? x 2 y 2 ,得 P ( ? c , ) a ? 2 ? 2 ?1 b ?a

y
A P N

由 M N ? ? O P ( ? ? 0 ) 得 b ? c ……………….2 分
2 2 ? y1 x1 ? 5 y2 x2 ? 5

???? ?

??? ?

R F1 E B M

x

椭圆的离心率为

.…………….4 分

A1

(Ⅱ)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,由 k A R ? k B R 得
1

?

,又 k A E ? k B E 得

? y1 2c 5 ? x1

?

? y2 2c 5 ? x2





5 ? x2 5 ? x1

?

? y2 y1

x2 ? ? 2c 5

2c 5 ? x1
? x ? 2 y ? 2c ? ) ,则由 ? 2c 得 y ? k(x ? ) 5 ? 5 ?
2 2 2

,于是 2 0 c ? 2 5 x 1 x 2 ? ( 2 c ? 5 5 )( x 1 ? x 2 ) .…………8 分

设直线 A B : y ? k ( x ?

2c

(1 ? 2 k ) x ?
2 2

8k c 5

2

x?

(8 k ? 1 0 ) c
2

2

? 0.

5

x1 ? x 2 ?

8k c 5 (1 ? 2 k )
2

2

, x1 x 2 ?

(8 k ? 1 0 ) c
2

2

5(1 ? 2 k )
2

.…………10 分

代入得 2 ?

(8 k ? 1 0 ) c
2 2

2

5 (1 ? 2 k )

? 20c ? (2c ? 5 5 ) ?

8k c 5 (1 ? 2 k )
2

2

.解得 c ?

5

所以椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1 .…………12 分
x?a x
2

10

5

22.解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 定义域为 (0 , ? ? ) , f '( x ) ? ?
f '(1) ? 0 ,即 a ? ? 1 .…………2 分



经检验, a ? ? 1 符合题意.………………….4 分 (Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ? 3 x ? 5 ?
a x
g (1) ? a ? 2 ? 0 ,所以 a ? 2 .…………6 分

? ln x ? 3 x ? 5 ,则当 x ? 0 时, g ( x ) ? 0 恒成立.

g '( x ) ?

3x ? x ? a
2

x

2

.方程 g '( x ) ? 0 有一负根 x1 和一正根 x 2 . x1 ? 0 ? x 2 .其中 x1 不在函数定义域内.

g ( x ) 在 (0 , x 2 ) 上是减函数,在 ( x 2 , ? ? ) 上是增函数.即 g ( x ) 在定义域上的最小值为 g ( x 2 ) .………8 分
a x2 a x2

依题意 g ( x 2 ) ? 0 .即 g ( x2 ) ?

? l n x 2 ? 3 x 2 ? 5 ? 0.又 3 x 2 ? x 2 ? a ? 0 ,所以
2

? 3 x 2 ? 1 ,因为

a x2

? 0 , x2 ?

1 3

。所以 g ( x 2 ) ? 3 x 2 ? 1 ? ln x 2 ? 3 x 2 ? 5 ? 0 ,即 6 x 2 ? 6 ? ln x 2 ? 0 ,…………10 分
6x ?1 x

令 h ( x ) ? 6 x ? 6 ? ln x ,则 h ( x ) ?
'

' 当 x ? ( , ? ? ) 时, h ( x ) ? 0 ,所以 h ( x ) 是增函数。所以 6 x 2 ? 6 ? ln x 2 ? 0 的解集为 [1, ?? )

1

3

所以 a ? 3 x 2 ? x 2 ? 2 .
2

即 a 的取值范围是 [ 2 , ? ? ) .…………12 分 解法二: f ( x ) ? 5 ? 3 x ,即 a ? x ln x ? 3 x ? 5 x
2

设 g ( x ) ? x ln x ? 3 x ? 5 x ,则, g ( x ) ? ln x ? 6 x ? 6
2 '

' 设 h ( x ) ? g ( x ) ,则 h ( x ) ?
'

1? 6x x

, h (1) ? g (1) ? 0
'

当 x ? (1, ?? ) 时, h ( x ) ? 0 , h ( x ) ? g ( x ) 是减函数
' '

? h ( x ) ? 0 ,即 g ( x ) 是减函数, g ( x ) ? g (1) ? 2 .……………8 分

当 x ? ( 0 ,1) 时,先证 ln x ? x ? 1 , 设 F ( x ) ? ln x ? ( x ? 1) , F ( x ) ?
'

1? x x

? 0,

F ( x ) 是增函数且 F (1) ? 0 , F ( x ) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ,

当 x ? ( 0 ,1) 时, g ( x ) ? x ln x ? 3 x ? 5 x ? x ( x ? 1) ? 3 x ? 5 x ? ? 2 ( x ? 1) ? 2 ? 2
2 2 2

g ( x ) 的最大值为 2,

即 a 的取值范围是 [ 2 , ? ? ) .………………12 分


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