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广东省六校联合体2012届高三5月高考交流试题(数学文)


广东省汕头市六校 2012 届高三 5 月高考交流 数学(文)试题
一、选择题: (共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1.已知集合 P ? {0, m }, Q ? { x | 2 x 2 ? 5 x ? 0, x ? Z } ,若 P ? Q ? ? ,则 m 等于(
A



.1
? ?

B

.2
? ?

C

.1 或
?

5 2

D

.1 或 2 )

2.已知向量 a ? ( 2,1), b ? ( x , ? 2 ) ,且 a ? b 与 2 a ? b 平行,则实数 x 的值等于(
A . ?6 B .6
C . ?4

?

D .4

? 3.已知复数 Z ,映射 f : Z ? ? Z i ,则 2 ? 3i 的原象是 (
B . 2 ? 3i . 3 ? 2i 4.以下有关命题的说法错误的是 A
A B
C

)
D

C

. 3 ? 2i

. 2 ? 3i

.命题“若 x 2

? 3x ? 2 ? 0

,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” ”的充分不必要条件

.“ x ? 1 ”是“ x 2

? 3x ? 2 ? 0

.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 .对于命题 p : ? x 0 ? R ,使得 x 0 2 ? x 0 ? 1 ? 0 ,则 ? p : ? x ? R ,则 x 2 ? x ? 1 ? 0
? 面 A1 B1 C 1 ,
A1 C1

D

5.如图,三棱柱的侧棱长为 2 ,底面是边长为 2 的正三角形, A A1

正视图是边长为 2 的正方形,则左视图的面积为 ( ) A .4 B .2 3 D. 3 C .2 2 6 . 已 知 等 差 数 列 { a n } 中 , a 3 , a1 5 是 方 程 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 的 两 根 , 则
a 7 ? a 8 ? a 9 ? a10 ? a11
A

B1

. 18

等于( B . ? 18


C

. 15

D

. 12

C A B

7.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 象的函数解析式是 (
A . y ? 2 cos x
2

?
4

个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图
?
4

) . y ? 2 sin 2 x
( x ? 1)

B

C
2

. y ? 1 ? sin( 2 x ?
2

)

D

. y ? co s 2 x )

8. 若过点 A (3, 0 ) 的直线 l 与曲线 . (? 3 , ) . [? 3 ,

? y

? 1 有公共点, 则直线

l 斜率的取值范围为 ( . [?
3 3

A

3

B

3

]

C

. (?
?

3 3

,

3 3

)

D

,

3 3

]
?
2

9.连续掷两次骰子分别得到点数 m 、 n ,则向量 a ? ( m , n ) 与向量 b ? ( ? 1,1) 的夹角 ? ? 率是( )

?

的概

第 1 页 共 9 页

A



1 2

B



1 3

C



7 12

D



5 12

10.若函数 y ? f ( x ) 的导函数在区间 [ a , b ] 上是增函数,则函数 y ? f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的图象 ... 可能是(
y


y y y

o

a
A

b x .

o

a
B

b x .

o

a
C

b x .

o

a
D

b x .

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(11—13 题) 11.某大型超市销售的乳类商品有四种:液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉,且液态奶、 酸奶、 婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有 40 种、10 种、30 种、20 种不同的品牌,现从中抽取一个容量 为 20 的样本进行三聚氰胺安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的酸奶与成人奶粉 品牌数 之和是 。
?x ? y ? 2 ? 0 ? 12.已知 x , y 满足约束条件: ? x ? 0 ?3 x ? y ? 6 ? 0 ?

,则 z ? x ? 3 y 的最小值



13.考察下列一组等式:
2 1 ? 2 ? 4; 2 1 ? 2 ? 4; 3 2 ?3? 9 3 9 4 16 4 16 ; ?3 ? ; ? 4 ? ; ?4 ? 2 2 2 3 3 3 3

;…,根据这些等式反映的结

果,可以得出一个关于自然数 n 的等式,这个等式可以表示为 。 ★(请考生在以下两个小题中任选做一题,两题全答的,只计算第一个题得分. ) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的极坐标方程 ? ? 2 cos ? ,则圆 C 上点到直线 l : ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 7 ? 0 的最短距离为 。
A C

15. 几何证明选讲选做题) ( 如图所示, 圆 O 上一点 C 在直径 A B 上的射影为 D ,
C D ? 4, B D ? 8

D

O

B

, 则圆 O 的半径等于


(第 15 题图)

第 2 页 共 9 页

三、解答题: (共6小题,共80分, ) 16.(本小题满分 12 分)等比数列 { a n } 中,已知 a1 ? 2, a 4 ? 1 6 . (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2) 若 a 3 , a 5 分别为等差数列 {b n } 的第 4 项和第 16 项,试求数列 {b n } 的通项公式及前 n 项和
Sn

.
?
? 6 ,

2 ( f (x 17.(本小题满分 12 分)已知函数 ) ? a sin x cos x ? 4 cos x x ? R f, ) 6 a (1)求常数 的值; f (2)求函数 ( x ) 的最小正周期和最大值.



18. (本小题满分 14 分)某园林局对 1000 株树木的生长情况进行调查,其中槐树 600 株,银 杏树 400 株. 现用分层抽样方法从这 1000 株树木中随机抽取 100 株, 其中银杏树树干周长(单 位:cm)的抽查结果绘成频率分布直方图如右: (直方图中每个区间仅包含左端点) (1)求直方图中的 x 值 ; (2)若已知树干周长在 30cm 至 40cm 之间的 4 株银杏 频率/组距 树中有 1 株患有虫害,现要对这 4 株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止.求排 0.045 查的树木恰好为 2 株的概率. 0.04
x
0.02 0.015 0.01

树干周长(cm) 0 30 40 50 60 70

P

19.(本小题满分 14 分)右图为一简单组合体,其底面 ABCD 为 正方形, P D ? 平面 A B C D , E C // P D ,且 P D ? A D ? 2 E C =2 . (1)答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图,请在方框 内画出该几何体的正(主)视图和侧(左)视图; (2)求四棱锥 B-CEPD 的体积; (3)求证: B E // 平面 P D A .
A

E

D

C

B

D

C

第 3 页 共 9 页

A 俯视图

B

20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C 1 :
2

x

2

?

y b

2 2

4

? 1 ? 0 ? b ? 2 ? 的离心率等于

3 2

,抛物线 C 2 :

x ? 2 p y ? p ? 0 ? 的焦点在椭圆的顶点上。

(1)求抛物线 C 2 的方程; (2)过 M ? ? 1, 0 ? 的直线 l 与抛物线 C 2 交与 E 、 F 两点,又过 E 、 F 作抛物线 C 2 的切 线 l1 、 l 2 ,当 l1 ? l 2 时,求直线 l 的方程。

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? ( 2 a ? 3 ) x ? a 2 ( a ∈R). (1)若函数 f ( x ) 在区间 (1, ?? ) 上有极小值点,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x ? [? 1,1] 时, f ( x ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

第 4 页 共 9 页

文科数学参考答案
一、选择题 题号 1 答案 D 解析: 1. Q
?

2 C
5 2

3 A

4 C

5 B

6 C

7 A

8 D

9 D

10 A

? {x | 0 ? x ?

, x ? Z } ? {1, 2 } ,因为 P ? Q ? ?

,故 m ? 1 或 2 。
? ? ?

2. a ? b ? ( 2 ? x , ? 1) , 2 a ? b ? ( 4 ? x , 4 ) ,因为 a ? b 与 2 a ? b 平行,故 4(2 ? x ) ? (4 ? x ) ? 0 , 即 x ? ?4 。 3. z ?
2 ? 3i i ? 3 ? 2i 。

?

?

?

?

4.若 p ? q 为假命题,则只需 p , q 至少有一个为假命题即可。 5.左视图是长为 3 ,宽为 2 的矩形, 故 S ? 2 3 。 6. a 3 ? a15 ? a 7 ? a11 ? a 8 ? a10 ? 2 a 9 ? 6 ,故 a 7 ? a 8 ? a 9 ? a10 ? a11 ? 1 5 。 7 . 将 函 数 y ? sin 2 x 的 图 象 向 左 平 移
y ? sin ( 2 x ?

?
4

个 单 位 , 得 到 函 数 y ? sin 2 ( x ?

?
4

)



?
2

) ? co s 2 x
2

的图象,再向上平移1 个单位,所得图象的函数解析式为

y ? 1 ? co s 2 x ? 2 co s x


? y ? k ( x ? 3)
2 2

8.显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,由 ?
(1 ? k ) x ? (6 k ? 2 ) x ? 9 k
2 2 2 2

? ( x ? 1) ? y ? 1
2

,得
2

?0



? ? (6 k ? 2 ) ? 3 6 k (1 ? k ) ? 4 ? 1 2 k ? 0
2 2 2





?

3 3

? k ?

3 3


?
2

9.总的基本事件有 6 ? 6 ? 3 6 种, ? ? 本事件。故 P (? ?
?
2 )? 5 12

,即 a ?b ? 0 ,∴ n ? m ? 0

? ?

事件“ n ? m ”包含 15 个基



10. y ? f '( x ) 在区间 [ a , b ] 上是增函数, y ? f ( x ) 图象的切线斜率在 [ a , b ] 递增, y ? f ( x ) 由 知 即 图象越来越陡。 二、填空题 11.6 15. 5 解析: 12. 6 13.
n ?1 n ? ( n ? 1) ? n ?1 n ? ( n ? 1)( n ? N )
?

14.

8 5

5 ?1

第 5 页 共 9 页

11 . 抽 取 比 例 k ?
(10 ? 20) ? 1 5 ?6

20 40 ? 10 ?30 ?20

1 ? 5

,故抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是



12.约束条件表示的平面区域如图阴影所示 z 在点 A (0, 2 ) 处取得最小值 6 。 13 . 由 于
n ?1 n

n ?1 n

? ( n ? 1) ?
n ?1 n

n ? 1 ? (n ? n)
2

?

( n ? 1) n

2

,

n ?1 n

? ( n ? 1) ?

( n ? 1) n

2

,所以得出结论

n
? ( n ? 1)( n ? N *)

? ( n ? 1) ?



14.圆 C 的直角坐标方程为: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,直线 l 的直角坐标方程为: x ? 2 y ? 7 ? 0 ,圆心
C

到直线 l 的踽距离 d ?
2

8 5

?

8 5 5

,故圆 C 上的点到直线 l 的最短距离是

8 5

5 ?1。

15. A D ?

CD

? 2

, 2 r ? A D ? B D ? 10 ,故 r ? 5 。

BD

三、解答题(本部分共计 6 小题,满分 80 分) 16.解: (1)设 { a n } 的公比为 q , 由已知得 16 ? 2 q 3 ,解得 q ? 2 .所以 a n (2)由(1)得 a 3
? 8 , a5 ? 3 2

?2

n

.
? 32

……………5 分 , ……………………8 分 …………10 分 ………12 分 ……1 分 ……3 分 ……5 分 …8 分 ……12 分 ……14 分

,则 b 4

?8

, b1 6

设 {b n } 的公差为 d ,则有 ?

? b1 ? 3 d ? 8 , d ? b1 ? 1 5 ?

3 2 ,

解得 ?

? b1 ? 2 , ?d ? 2.

? b n ? b1 ? ( n ? 1) d ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n .

且数列 {b n } 的前 n 项和 S n ? n b1 ? 17.解: (1)依题意,( f 即a?
1 2 ? 3 2 ? 4?( 3 2

n(n ? 1 ) n(n ? 1 ) 2 d ? 2n ? ? 2? n ? n . 2 2
co s

?
6

) ? a sin

?
6

?
6

? 4 co s

2

?
6

?6

) ? 6
2

解得 a ? 4 3 f( (2)由(1)得,x ) ? 4 3 sin x cos x ? 4 cos 2 x ? 2 3 sin 2 x ? 2(cos 2 x ? 1)
4 sin ( 2 x ?

?
6

)?2

f (x) ……10 分,所以

的最小正周期 ? ? T ?
2

2?

最大值 ? 4 ? 2 ? 6 M 18.解: 1)因为用分层抽样方法从这 1000 株树木中随机抽取 100 株, ( 所以应该抽取银杏树 100 ?
400 1000 ? 40



-----------------3 分

第 6 页 共 9 页

由直方图可得银杏树树干周长在 ? 3

0 , 4 、 ? 4 0 , 5 0 、 ? 6 0, 7 0 ? ?0 ?

分别有 4、18、6 株,

所以树干周长在 ? 50, 60 ? 有 40- ( 4 ? 1 8 ? 6 ) =12 株, 所以 x ?
3 100 ? 0 .0 3

------------------------------------- 6 分

(2)记这 4 株树为树 1,树 2,树 3,树 4,且不妨设树 4 为患虫害的树, 记恰好在排查到第二株时发现患虫害树为事件 A,则 A 是指第二次排查到的是 树 4 --8 分 因为求恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率,所以基本事件为:
( 树 1 , 树 2 ), ( 树 1 , 树 3 ), ( 树 1 , 树 4 ), ( 树 2 , 树 1 ), ( 树 2 , 树 3 ), ( 树 2 , 树 4 )
( 树 3 , 树 1 ), ( 树 3 , 树 2 ), ( 树 3 , 树 4 ), ( 树 4 , 树 1 ), ( 树 4 , 树 2 ), ( 树 4 , 树 3 )

共计 12 个基本事件-------------12 分

而事件A中包含的基本事件有 3 个 所以恰好在排查到第二株时发现患虫害的概率 P ( A ) ?
3 12 ? 1 4

-------------------14 分

19.解: (1)该组合体的主视图和侧视图如右图示:-----3 分 (2)∵ P D ? 平面 A B C D , P D ? 平面 P D C E ∴平面 P D C E ? 平面 ABCD ∵ BC ? CD ∴BC ? 平面 P D C E ----------5 分 ∵ S 梯 形 PDCE ?
1 2 (PD ? EC ) ? DC ? 1 2
正视图

? 3? 2 ? 3
侧视图

-------6 分 ∴四棱锥 B-CEPD 的体积
V B ?CEPD ? 1 3 S 梯 形 PDCE ? B C ? 1 3 ? 3? 2 ? 2

----------8 分 (3) 证明:∵ E C // P D , P D ? 平面 P D A , E C ? 平面 P D A ∴EC//平面 P D A ,------------------------------------10 分 同理可得 BC//平面 P D A ----------------------------11 分 ∵EC ? 平面 EBC,BC ? 平面 EBC 且 E C ? B C ? C ∴平面 B E C //平面 P D A 又∵BE ? 平面 EBC ∴BE//平面 PDA

俯视图

-----------------------------13 分 ------------------------------------------14 分
4?b
2

20 . 解 : 1 ) 已 知 椭 圆 的 长 半 轴 为 2 , 半 焦 距 为 c ? (
e? c a
2

,由离心率等于 …………2 分

?

4?b 2

2

?

3 2

? b ? 1 ,? 椭圆的上顶点 ? 0 ,1 ? ,

第 7 页 共 9 页

? 抛物线的焦点为 ? 0 ,1 ? , ? 抛物线的方程为 x ? 4 y
2

…………6 分
1 4 x
2

(2)由已知,直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1 ? , E ? x1 , y1 ? , F ? x 2 , y 2 ? , y ?
? 切线 l1 、 l 2 的斜率分别为

,? y ? ?

1 2

x



x1 2



x2 2

…………8 分 …………9 分
2

当 l1 ? l 2 时, 由?

x1 2

?

x2 2

? ? 1 即 x1 x 2 ? ? 4

? y ? k ? x ? 1? ? ?x ? 4y ?
2

得: x 2 ? 4 kx ? 4 k ? 0 , ? ? ? 4 k ? ? 4 ? ? ? 4 k ? ? 0 解得 k ? ? 1 或 k ? 0 ① 即 k ?1 …………12 分

? x1 x 2 ? ? 4 k ? ? 4

此时 k ? 1 满足①,
? 直线 l

的方程为 x ? y ? 1 ? 0

…………14 分

21. (本题满分 14 分) 解: (1) f ?( x ) ? 3 x 2 ? 2 ax ? ( 2 a ? 3 ) ? ( 3 x ? 2 a ? 3 )( x ? 1) 令 f ?( x ) ? 0 , 得 x ? 1, 或 x ? ?
2a ? 3 3



使函数 f ( x ) 在区间 (1, ?? ) 上有极小值点, 则?
2a ? 3 3 ? 1, 解得: a ? ? 3



……6 分

(2)由题意知,即使 x ? [? 1,1] 时, ( f ( x )) min ? 0 . ①当 ?
2a ? 3 3 ? 1 ,即 a ? ? 3
2

时,

f ( x ) 在 x ? [? 1,1] 上单调递增,

? ( f ( x )) min ? f ( ? 1) ? a

? 3 a ? 2 ? 0 ,得 a ? ? 1 或 a ? ? 2



由此得: a ? ? 3 ; ②当 ? 1 ?
? 2a ? 3 3
f ( x ) 在 [ ? 1, ?

? 1 ,即 ? 3 ? a ? 0 ,

2a ? 3 3

] 为增函数,在 [ ?

2a ? 3 3

,1] 上为减函数,

所以 ( f ( x )) min ? min ? f ( ? 1), f (1)? , 得?
2 ? ? f ( ? 1) ? a ? 3 a ? 2 ? 0

? f (1) ? a 2 ? a ? 2 ? 0 ?
2a ? 3 3

? a ? 2 或 a ? ?2

由此得 ? 3 ? a ? ? 2 ; ③当 ?
? ? 1 ,即 a ? 0 ,
第 8 页 共 9 页

f ( x ) 在 x ? [? 1,1] 上为减函数,所以 ( f ( x )) min ? f (1) ? a

2

?a?2 ? 0

得 a ? 2 或 a ? ? 1 ,由此得 a ? 2 ; 由①②③得实数 a 的取值范围为 a ? 2 或 a ? ? 2 .

………………14 分

第 9 页 共 9 页


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