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沾化区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

沾化区一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 过点(0,﹣2)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是( A. B. C. ) D. )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 已知一三棱锥的三视图如图所示,那么它的体积为( A.

1 3
B.

B.

2 3
D.

C. 1

D. 2 )

3. 已知双曲线 kx2﹣y2=1(k>0)的一条渐近线与直线 2x+y﹣3=0 垂直,则双曲线的离心率是( A. C.4

4. 拋物线 E:y2=2px(p>0)的焦点与双曲线 C:x2-y2=2 的焦点重合,C 的渐近线与拋物线 E 交于非原 点的 P 点,则点 P 到 E 的准线的距离为( A.4 C.8 B.6 D.10 ) B.若 l // ? , ? // ? ,则 l ? ? D.若 l // ? , ? ? ? ,则 l ? ? ) C. 36? ,144? D. 36? ,36? ) )

5. 设 ? , ? 是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? // ? ,则 l ? ? A. 144? ,144?

6. 直径为 6 的球的表面积和体积分别是( B. 144? ,36?

7. AD, BE 分别是 ?ABC 的中线,若 AD ? BE ? 1 ,且 AD 与 BE 的夹角为 120 ,则 AB ? AC =( (A)

1 3

( B )

4 9

(C)

2 3

(D)

8 9

8. 下列正方体或四面体中, P 、 Q 、 R 、 S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图形是 ( )

9. 如图,在正六边形 ABCDEF 中,点 O 为其中心,则下列判断错误的是(



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A.

=

B.



C. )

D.

10.(2011 辽宁)设 sin( A.﹣ B.﹣

+θ)= ,则 sin2θ=( C.

D. (a5+a7+a9)的值是( )

11.已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*),且 a2+a4+a6=9,则 log A.﹣ B.﹣5 C.5 D.

12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数 f(x)=

被称为狄利克雷

函数,其中 R 为实数集,Q 为有理数集,则关于函数 f(x)有如下四个命题:①f(f(x))=1;②函数 f (x)是偶函数;③任取一个不为零的有理数 T,f(x+T)=f(x)对任意的 x=R 恒成立;④存在三个点 A(x1, f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ ABC 为等边三角形.其中真命题的个数有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

二、填空题
13.已知圆 C1:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,圆 C2:(x﹣3)2+(y﹣4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值 . . . 个.

14.在各项为正数的等比数列{an}中,若 a6=a5+2a4,则公比 q= 15.若双曲线的方程为 4x2﹣9y2=36,则其实轴长为 16.(若集合 A?{2,3,7},且 A 中至多有 1 个奇数,则这样的集合共有

17.如图所示,圆 C 中,弦 AB 的长度为 4 ,则 AB ×AC 的值为_______.

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C A B
三点的截面和球心的距离是球半径的一半,且

【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识,意在考查对概念理解和转化化归的数学思想. 18.已知过球面上 A, B, C

AB ? BC ? CA ? 2 ,则

球表面积是_________.
三、解答题
19.已知函数 f(x)=2x﹣ ,且 f(2)= . (1)求实数 a 的值; (2)判断该函数的奇偶性; (3)判断函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明.

20.生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品.现随机抽 取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 元件 A 元件 B [70,76) 8 7 [76,82) 12 18 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100] 8 6

(Ⅰ)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件元件 B,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元.在(Ⅰ)的前提下, (ⅰ)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期望;

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(ⅱ)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率.

21.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为 2 个、3 个、 4 个,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3 个,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球. (1)若左右手各取一球,问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少? (2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为 X, 求 X 的分布列和数学期望.

22.平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1 的参数方程为 轴为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4sinθ. (1)写出圆 C1 的普通方程及圆 C2 的直角坐标方程;

(φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半

(2)圆 C1 与圆 C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交请说明理由.

23.某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试.甲、乙两人参加了 5 次考试,成绩如下:

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甲的成绩 乙的成绩

第一次 82 75

第二次 87 90

第三次 86 91

第四次 80 74

第五次 90 95

(Ⅰ)若从甲、乙两人中选出 1 人参加比赛,你认为选谁合适?写出你认为合适的人选并说明理由; (Ⅱ)若同一次考试成绩之差的绝对值不超过 5 分,则称该次考试两人“水平相当”.由上述 5 次摸底考试成绩 统计,任意抽查两次摸底考试,求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率.

24.某港口的水深 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的关系表: t y 3 6 9 12 15 13 9.9 7 10 13 经过长期观测,y=f(t)可近似的看成是函数 y=Asinωt+b (1)根据以上数据,求出 y=f(t)的解析式; (2)若船舶航行时,水深至少要 11.5 米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港? 0 10 18 10.1 21 7 24 10

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沾化区一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:若直线斜率不存在,此时 x=0 与圆有交点, 直线斜率存在,设为 k,则过 P 的直线方程为 y=kx﹣2, 即 kx﹣y﹣2=0,
2 2 若过点(0,﹣2)的直线 l 与圆 x +y =1 有公共点,

则圆心到直线的距离 d≤1, 即 解得 k≤﹣ 即 ≤α≤ ≤1,即 k2﹣3≥0, 或 k≥ 且 α≠ ≤α≤ , , ,

综上所述, 故选:A.

2. 【答案】 B 【解析】 解析: 本题考查三视图与几何体的体积的计算. 如图该三棱锥是边长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中的一个四面体 ACED1 ,其中 ED1 ? 1 ,∴该三棱锥的体积为 ? ( ? 1? 2) ? 2 ? 3. 【答案】A
2 2 【解析】解:由题意双曲线 kx ﹣y =1 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,可得渐近线的斜率为 ,

1 3

1 2

2 ,选 B. 3

又由于双曲线的渐近线方程为 y=± 故 = ,∴k= ,

x

∴可得 a=2,b=1,c= 故选:A.

,由此得双曲线的离心率为



【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系,解题的关键是理解一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,由此关系求 k,熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证. 4. 【答案】 x2 y2 p 【解析】解析:选 D.双曲线 C 的方程为 - =1,其焦点为(± 2,0),由题意得 =2, 2 2 2 ∴p=4,即拋物线方程为 y2=8x, 双曲线 C 的渐近线方程为 y=± x,
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?y2=8x ? 由? ,解得 x=0(舍去)或 x=8,则 P 到 E 的准线的距离为 8+2=10,故选 D. x ? ? y =± 5. 【答案】 C 111]
【解析】

考 点:线线,线面,面面的位置关系 6. 【答案】D 【解析】

考点:球的表面积和体积. 7. 【答案】C

2 2 1 ? ? AB ? AD ? BE AD ? ( AB ? AC ), ? ? ? ? 3 3 2 【解析】由 ? , 解得 ? 1 4 ? BE ? (?2 AB ? AC ), ? AC ? AD ? 2 BE ? ? ? 2 3 3 ? 2 2 4 2 2 AB ? AC ? ( AD ? BE) ? ( AD ? BE) ? . 3 3 3 3 3

8. 【答案】D 【解析】

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考 点:平面的基本公理与推论. 9. 【答案】D 【解析】解:由图可知, 故选 D. 【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义,属基础题. 10.【答案】A ,但 不共线,故 ,

【解析】解:由 sin(

+θ)=sin

cosθ+cos

sinθ=

(sinθ+cosθ)= ,

两边平方得:1+2sinθcosθ= ,即 2sinθcosθ=﹣ , 则 sin2θ=2sinθcosθ=﹣ . 故选 A 【点评】 此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、 两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化 简求值,是一道基础题. 11.【答案】B
* 【解析】解:∵数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N ),

∴an+1=3an>0, ∴数列{an}是等比数列,公比 q=3. 又 a2+a4+a6=9, ∴ =a5+a7+a9=33×9=35,
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则 log

(a5+a7+a9)=

=﹣5.

故选;B. 12.【答案】 D 【解析】解:①∵当 x 为有理数时,f(x)=1;当 x 为无理数时,f(x)=0 ∴当 x 为有理数时,f(f(x))=f(1)=1; 当 x 为无理数时,f(f(x))=f(0)=1 即不管 x 是有理数还是无理数,均有 f(f(x))=1,故①正确; ②∵有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数, ∴对任意 x∈R,都有 f(﹣x)=f(x),故②正确; ③若 x 是有理数,则 x+T 也是有理数; 若 x 是无理数,则 x+T 也是无理数 ∴根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数 T,f(x+T)=f(x)对 x∈R 恒成立,故③正确; ④取 x1=﹣ ∴A( ,x2=0,x3= ,可得 f(x1)=0,f(x2)=1,f(x3)=0 ,0),恰好△ABC 为等边三角形,故④正确.

,0),B(0,1),C(﹣

故选:D. 【点评】本题给出特殊函数表达式,求函数的值并讨论它的奇偶性,着重考查了有理数、无理数的性质和函数 的奇偶性等知识,属于中档题.

二、填空题
13.【答案】 5 ﹣4 .

【解析】解:如图,圆 C1 关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A(2,﹣3),半径为 1,圆 C2 的圆心坐标(3,4), 半径为 3, |PM|+|PN|的最小值为圆 A 与圆 C2 的圆心距减去两个圆的半径和, 即: 故答案为:5 ﹣4. ﹣4=5 ﹣4.

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【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法,考查两个圆的位置关系,两点距离公式的应用,考查转化思想与 计算能力,考查数形结合的数学思想,属于中档题. 14.【答案】 2 .

2 【解析】解:由 a6=a5+2a4 得,a4q =a4q+2a4,

即 q ﹣q﹣2=0,解得 q=2 或 q=﹣1, 又各项为正数,则 q=2, 故答案为:2. 【点评】本题考查等比数列的通项公式,注意公比的符号,属于基础题. 15.【答案】 6 .
2 2 【解析】解:双曲线的方程为 4x ﹣9y =36,即为:

2



=1,

可得 a=3, 则双曲线的实轴长为 2a=6. 故答案为:6. 【点评】本题考查双曲线的实轴长,注意将双曲线方程化为标准方程,考查运算能力,属于基础题.

16.【答案】 6

【解析】解:集合 A 为{2,3,7}的真子集有 7 个,奇数 3、7 都包含的有{3,7},则符合条件的有 7﹣1=6 个.

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故答案为:6 【点评】本题考查集合的子集问题,属基础知识的考查. 17.【答案】 8

18.【答案】 【解析】111]

64? 9

考点:球的体积和表面积. 【方法点晴】 本题主要考查了球的表面积和体积的问题, 其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截 面,球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于中档 试题,本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质,求出球的半径是解答的关键.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵f(x)=2x﹣ ,且 f(2)= ,

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∴4﹣ = , ∴a=﹣1;(2 分) (2)由(1)得函数 ∵ ∴函数 = 为奇函数.…(6 分) ,定义域为{x|x≠0}关于原点对称…(3 分) ,

(3)函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数,…(7 分) 任取 x1,x2∈(1,+∞),不妨设 x1<x2,则 = …(10 分) ∵x1,x2∈(1,+∞)且 x1<x2∴x2﹣x1>0,2x1x2﹣1>0,x1x2>0 ∴f(x2)﹣f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(1,+∞)上是增函数 …(12 分) 【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)元件 A 为正品的概率约为 元件 B 为正品的概率约为 次 B 次. ∴随机变量 X 的所有取值为 90,45,30,﹣15. ∵P(X=90)= P(X=﹣15)= ∴随机变量 X 的分布列为: EX= . = ;P(X=45)= = . = ;P(X=30)= = ; . .

(Ⅱ)(ⅰ)∵生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 可以分为以下四种情况:两件正品,A 次 B 正,A 正 B 次,A

(ⅱ)设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件,则次品有 5﹣n 件. 依题意得 50n﹣10(5﹣n)≥140,解得 .

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所以 n=4 或 n=5. 设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 A, 则 P(A)= 21.【答案】 【解析】解:(1)设事件 A 为“两手所取的球不同色”, 则 P(A)=1﹣ . = .

(2)依题意,X 的可能取值为 0,1,2, 左手所取的两球颜色相同的概率为 = ,

右手所取的两球颜色相同的概率为 P(X=0)=(1﹣ P(X=1)= P(X=2)= = . 1 )(1﹣ )= = ; =

= .



∴X 的分布列为: X 0 P EX=0× +1× +2× = .

2

【点评】本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望,是历年高考的必考题型.解题时要认 真审题,仔细解答,注意概率知识的灵活运用. 22.【答案】 【解析】解:(1)由圆 C1 的参数方程为 x2﹣4x+y2=0.
2 2 2 由圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,化为 ρ =4ρsinθ,∴直角坐标方程为 x +y =4y. 2 2 (φ 为参数),可得普通方程:(x﹣2) +y =4,即

(2)联立

,解得

,或



∴圆 C1 与圆 C2 相交,交点(0,0),(2,2).
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公共弦长=



【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角方程、两圆的位置关系、两点之间的距离公 式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)解法一: 依题意有 ,

答案一:∵ 答案二:∵

∴从稳定性角度选甲合适. 乙的成绩波动大,有爆发力,选乙合适.

(注:按(Ⅱ)看分数的标准,5 次考试,甲三次与乙相当,两次优于乙,所以选甲合适.

解法二:因为甲 5 次摸底考试成绩中只有 1 次 90,甲摸底考试成绩不低于 90 的概率为 ; 乙 5 次摸底考试成绩中有 3 次不低于 90,乙摸底考试成绩不低于 90 的概率为 . 所以选乙合适. (Ⅱ)依题意知 5 次摸底考试,“水平相当”考试是第二次,第三次,第五次,记为 A,B,C.“水平不相当” 考试是第一次,第四次,记为 a,b. 从这 5 次摸底考试中任意选取 2 次有 ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC 共 10 种情况. 恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共 aA,aB,aC,bA,bB,bC 共 6 种情况. ∴5 次摸底考试成绩统计,任意抽查两次摸底考试,恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率 化归转化思想、或然与必然思想. 24.【答案】 【解析】解:(1)由表中数据可以看到:水深最大值为 13,最小值为 7, ∴ =10, .

【点评】本题主要考查平均数,方差,概率等基础知识,运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查

且相隔 9 小时达到一次最大值说明周期为 12, 因此 故 , , (0≤t≤24)

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(2)要想船舶安全,必须深度 f(t)≥11.5,即 ∴ , k∈Z

解得:12k+1≤t≤5+12k 又 0≤t≤24 当 k=0 时,1≤t≤5; 当 k=1 时,13≤t≤17;

故船舶安全进港的时间段为(1:00﹣5:00),(13:00﹣17:00). 【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题.解决本题的关键在于求出函数解析式.求三角函数的解析式 注意由题中条件求出周期,最大最小值等.

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