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辽宁省瓦房店市高级中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)

2016-2017 学年度下学期瓦房店市高级中学期末考试
高二数学试题(理科) 考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 命题与校对:虞政华 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。
1. 是虚数单位,复数 A. 2-i 【答案】B 【解析】 B. 2+i 的共轭复数是( C. -1+2i )

D. -1-2i

,那么它的共轭复数为
2.设全集

,故选 B.
( )

A. (0,1]
【答案】C 【解析】

B. [-1,1]

C. (1,2]

D. (-∞,-1]∪[1,2]

由 中不等式解得: ,解得:
3.设等差数列

,即 则

, ,故选 C.

,由 中不等式变形得:

取最小值时, 等于(

)

A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

【答案】D 【解析】

由等差数列的性质可得 ,解得 所以当
4.若

,解得 ,则

,又 ,所以

,设公差为 , 所以 ,

时, 取最小值,故选 D.
,则 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】


5. 的 ( )

,故选 A.

A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
【答案】B 【解析】

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

, 必要不充分条件,故选 B.
6.已知 满足线性约束条件:

时必有

, 当

时,

不一定成立, 即



,则目标函数

的取值范围是(



A.
【答案】C 【解析】

B.

C.

D.

画出性约束条件: ,因为

表示的可行域,如图,由图由 , 经过 时





得 ,故选 C.

经过点 时,

,所以 的取值范围是

【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值 的一般步骤是“一画、二移、三求”: (1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线) ; (2)找到 目标函数对应的最优解对应点 (在可行域内平移变形后的目标函数, 最先通过或最后通过的顶点就 是最优解) ; (3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,

六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走 378 里路,第一天健步行走,从 第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地,请问第三天走了

A. 192 里
【答案】B 【解析】

B. 96 里

C. 48 里

D. 24 里

由题意有:此人每天所走的路程形成等比数列

,其中公比

,则

,解出

,所

以 8.把函数

,选 C. 的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变), 再把所得图象上所有点向左平 )

移 个单位长度,得到图象的函数解析式为( A. C. 【答案】C 【解析】 B. D.

将函数

的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(横坐标不变) ,可得

的图象;再将所 ,故选 C.

得到的图象上所有点向左平移 个单位,所得函数图象的解析式为
9.在△ABC 中,若 则 A=( ) ,且

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】

因 为 在

中 ,

, 由 正 弦 定 理 可 得 , , 解 得 ,

, 即

, 所 以 由 余 弦 定 理 可 得 ,故选 A.

10.已知命题



;命题

,使

则下列命题中为真命题的是(

)

A.
【答案】D 【解析】

B. p∧( q)

C.

D.

由题意可知, 命题 为假命题, 则 为真命题;命题 为真命题,则 为假命题, 所以由真值表可得, 为真命题,
11.已知函数

为假命题,
,若

为假命题,


为假命题,故选 D.
,使得 ,则实数 的取值范围是( )

A. (-∞,1]
【答案】A 【解析】

B. [1,+∞)

C. (-∞,2]

D. [2,+∞)



时,由

得, 是函数的最小值, 当

,令

,解得 时, ,可得 在

,令 为增函数,

,解得





单调递减, 又 小值,即

是函数最小值, 在 的最

,都在 ,解得

,使得 ,故选 A.

的最小值不小于

【方法点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关 键是理解题意、 正确把问题转化为最值和解不等式问题, 全称量词与存在量词的应用共分四种情况: (1) (3) ,
满足

只需 只需

; (2) ; (4)
.则当 取得最大值时,

, 只需 ,
的最大值为(

; .
)



12.设正实数

A. 0

B.

C. 1

D. 3

【答案】C 【解析】

,又 且仅当 时 取 “=” ) ,

均为正实数, ,此时 ,

(当 ,

,当且仅当

时取得“=”,满足题意,

的最大值为 ,故选 C. 【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要 正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其 次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小) ;三相等是,最后一定要验证等号能否成立 (主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用 或 时等号能否同时成立). 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.函数 【答案】 【解析】 函数 故答案为 . 14.函数 【答案】[-3,+∞) 【解析】 的值域是________. 的最小正周期为 , 的最小正周期为___________ .

因为函数 当 时, . 中,若

,所以当

时,

,函数单调递减, ,所以函数的值域为

, ,故

,函数单调递减,

答案为
15.在 【答案】2 【解析】

,三角形的面积

,则三角形

外接圆的半径为________.

, 解得 解得 ,故答案为 .



,解得



【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,属于难题.在解与三 角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外,恒 等变形过程中,一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边

和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦 公式进行解答,跟三角形外接圆半径有关的题目往往也会用到正弦定理.
16.若函数 【答案】 【解析】 在 上存在单调递增区间,则 的取值范围是________.

,所以函数的导数为 即 有解 在 上有解, .

,若函数 ,所以只需



上存在单调递增区间, ,

即可,由

,故答案为

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
17.在平面直角坐标系 中,以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程是 .

,圆 的极坐标方程是 (1)求 与 交点的极坐标;

(2)设 为 的圆心, 为 与 交点连线的中点,已知直线

的参数方程是

( 为参数) ,求

的值.

【答案】(1) 【解析】

,或

;(2)



试题分析: (1)联立极坐标方程,解得 与 交点的极坐标是 程,把 , 的直角坐标带入,解得 试题解析: (1) 或 代入 , 得 ,或 . 所以 . .

,或

; (2)直线

的参数方程化为普通方



, 取



. 再由





.所以 与 交点的极坐标是

(2) 参数方程化为普通方程得 18.已知函数 ⑴ 求函数 ⑵当 的最小正周期和单调增区间; 时,求函数 的值域.

. 由 (Ⅰ) 得 , 的直角坐标分别是



, 代入解得



【答案】 (1) 【解析】

,递增区间为



. (2)

试题分析: ( 1 )研究三角函数性质,先利用两角和公式、二倍角公式、配角公式将其化为基本三角函数: , 再根据正弦函数性质求最小 正周期和单调递增区间: 递增区间为 , ,由 ,得

. (2)同(1)先利用两角和公式、二倍角公式、配角公式将其化为基本三

角函数,再在定义区间内研究正弦函数值域. 试题解析: . (1) ,由 , ,∴ ,∴ , 值域为 . ,得 .

递增区间为 (2)∵ ∴

考点:两角和公式、二倍角公式、配角公式 19.已知数列 (1)求数列 (2)令 满足 的通项公式 ; ,求数列 的前 项和 . , 是数列 的前 项和.

【答案】 (1) 【解析】

是以

为首项,2 为公差的等差数列 (2)

试题分析: (1)由 差数列可得结果; (2)由 1) 可得
试题解析: (1) 时, ①-②得 ,

可得

,两式相减可得 ,根据错位相减法可得数列 的前 项和 .

,由等

....................... ① ………………. ②

从而 又 时, 是以 为首项,2 为公差的等差数列.

因此,数列

(2) ……………. ③ ……… ④ ③-④得 整理得 【 方法点睛】 本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的的前 项和,属于中档题.一般 地,如果数列 是等差数列, 是等比数列,求数列 的前 项和时,可采用“错位相减法”求和,一般 与“ ” 的表达式时应特别注意将

是和式两边同乘以等比数列

的公比,然后作差求解, 在写出“ ” ”的表达式.

两式“错项对齐”以便下一步准确写出“

20.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门对 100 名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公 路上行驶时的平均车速情况为:在 55 名男性驾驶员中,平均车速超过 100km/h 的有 40 人,不超过 100km/h 的有 15 人.在 45 名女性驾驶员中,平均车速超过 100km/h 的有 20 人,不超过 100km/h 的有 25 人. (1)完成下面的列联表, 并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过 100km/h 的人与性别有关. 平均车速超过 100km/h 人数 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 平均车速不超过 合计 100km/h 人数

(2)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3 辆,记这 3 辆车中驾 驶员为男性且车速超过 100km/h 的车辆数为 ,若每次抽取的结果是相互独立的,求 的分布列和数学期望.

参考公式与数据: 0. 150 2. 072 706 100 2. 841 0. 050 3. 024 0. 025 5. 0.

,其中 0. 010 6. 635 879 005 7. 0. 001 10 .828 0.

【答案】 (1)见解析(2)概率为 【解析】



试题分析: (1)根据题目中的数据,填写列联表,根据 公式计算观测值,对照数表即可得出结论; (2)利用古典概型概率概率公式可得结果, 可取值是 0,1,2,3, 公式求得个随机变量的概率,可得分布列,进而利用期望公式可得结果.
试题解析: (1) 平均车速超过 100km/h 人数 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 40 20 60 平均车速不超过 100km/h 合计 人数 15 25 40 55 45 100

,根据独立重复试验概率

因为

,所以有 99.5%的把握认为平均车速超过 100km/h 与性别有关.

(2)根据样本估计总体的思想,从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1 辆,驾驶员为男性且车速超过 100km/h 的车辆的概率为 可取值是 0,1,2,3, , . ,有:

, , , 分布列为 0 1 2 3

. 【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式以、独立性检验以及离散型随机变量的分布列即期望,属于难题. 独立性检验的一般步骤: (1)根据样本数据制成 值;(3) 查表比较 列联表; (2)根据公式 计算 的

与临界值的大小关系,作统计判断.

(注意:在实际问题中,独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系,得到的结论也可能犯错误.) 21. (本小题满分 15 分) 在直三棱柱 中, 底面 是边长为 2 的正三角形, 是棱 的中点, 且 .

(1)试在棱

上确定一点 ,使 中点时,求直线 ,(2)

平面 与平面

; 所成角的大小的正弦值。

(2)当点 在棱 【答案】 (1) 【解析】

试题分析: (1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准的确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化

为向量运算.其中灵活建系是解题的关键; (2)证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面 垂直的性质定理; (3)直线方向向量与平面的法向量所成锐角(如果求出钝角减去 90° )的余角即直线与平面所 成的角; (4)空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立恰当的坐标 系,实施几何问题代数化.同时注意两点:一是正确写出点、向量的坐标,准确运算;二是空间位置关系中判定 定理与性质定理条件要完备. 试题解析:

(1)取 ∵底面 连接 ∴

边中点为 是边长为 的正三角形,∴ ,∵ , 为坐标原点, 为 轴, 为 轴, 是边 的中点

所以可以建立以

为 轴如图所示的坐标系 (4 分) 则有 , , 设 若 ∴ ,则 ,则有 , , , , 可得 , , , ,

即当

时,

. (4 分)

(2)当点 ∴ ∴ ∴ 设直线

在棱 ,

中点时: ,设平面 令 ,得 , 的一个法向量

(4 分) 与平面 所成角为 ,则

所以直线

与平面

所成角 的正弦值为

(3 分)

考点:空间平行、垂直,以及线面成角等知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 22.设 . 的极值; ,求 的取值范围.

(1)讨论函数 (2)当 时,

【答案】 (1)见解析(2) 【解析】

试题分析: (1)求出函数的导数,通过 与 的大小讨论函数的单调性,进而可得到函数的极值; (2)设
解 的取值范围. 试题解析: (1) 若 若 ,则 ,令 , , , 在 上单调递增,没有极值. ,列表

,则

,通过

时,通过函数的单调性,函数的最值,求

所以当 (2)方法 1

时,

有极小值

,没有极大值.

设 从而当 当 ,即

,则 时, ,则 . , ,

. , , 在 在 单调递增,于是当 单调递减,于是当 时, 时, . .

时,若

综合得 的取值范围为 (2)方法 2 由(1)当 (2)设 于是当 由 时, . 可得, 时,

,得 ,则

. .从而当 ,即 时, ,而 ,

,即 .故当

,从而当 时,

时, ,而 ,于是当 时,

. 综合得 的取值范围为 . 极值的步骤: (1) 确 在 的

【方法点睛】 本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值, 属于难题.求函数 定函数的定义域; (2) 求导数 ; (3) 解方程

求出函数定义域内的所有根; (4) 列表检查

根 左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减) ,那么 么 在 处取极小值.

在 处取极大值,如果左负右正(左减右增) ,那


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