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上海市黄浦区高三数学一模试卷及答案


上海市黄浦区高三数学一模试卷
一.填空题 1.函数 y ?
lg( x ? 1) 的定义域是 x


x?a x?a

2.已知函数 y ? f ( x)与函数y ? f ?1 ( x) 互为反函数,若函数 f ?1 ( x) ?
( x ? ?a,x ? R) 的图像过点 (2, ,则 f (4) = 3)



3.已知命题 A:若 x ? 1,则x ? 题是

4 3 ? 5且8 ? 6 x ? ? 2成立 .命题 A 的逆否命 x ?1 2x ;该逆否命题是 .(填“真命题”或“假命题”)

1 ? ? 4.已知全集 U ? ??2,1 01 2? ,集合 A ? ? x | log 2 ( x 2 ? ) ? ?1,x ? R ? , ? ,, , 2 ? ?
B ? ? x | 4 x ? 3 ? 2 x ? 2 ? 0,x ? R? ,则 A ? (CU B) =

. . .

5.不等式

| x | ?5 ? ?2 的解集是 | x | ?1

6.方程 sin x ? cos x ? ?1 的解集是

7.已知角 ? 的顶点在原点,始边与平面直角坐标系 x 轴的正半轴重合,点 ? . P(?2,3) 在角 ? 的终边上,则 sin(? ? ) = 3 8.(理科)如图 1 所示,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱的长 度都为 4,则异面直线 AB1与BC1 所成的角是 (结果用反三角函数值表示).
A 图1 C B A1 C1 B1

(文科) 如图 1 所示, 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱的长度都为 4, D是B1C1 的 点 中点,则异面直线 AB1与A1D 所成的角是
A1 D B1 A 图1 B C

(结果用反三角函数值表示).
C1

9.已知某圆锥体的底面半径 r ? 3 ,沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角 2? 为 的扇形,则该圆锥体的体积是 . 3 ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? 10.已知 e1、 是两个不共线的平面向量,向量 a ? 2e1 ? e2,? e1 ? ?e2 (? ? R) ,若 e2 b

? ? a / / b ,则 ? =



11.(理科)一副扑克牌(有四色,同一色有 13 张不同牌)共 52 张.现随机抽取 3 张牌,则抽出的 3 张牌有且仅有 2 张花色相同的概率为 则抽出的 3 张牌花色各不相同的概率为 (用数值作答). (用数值作答). (文科) 一副扑克牌(有四色, 同一色有 13 张不同牌)共 52 张. 现随机抽取 3 张牌,
1] 12. 下面是用区间二分法求方程 2sin x ? x ? 1 ? 0 在 [0, 内的一个近似解(误差不超

过 0.001)的算法框图,如图 2 所示,则判断框内空白处应填入 要的解.

,才能得到需

-2-

13.(理科)在数列 ?an ?中,如果对任意n ? N *都有

an? 2 ? an?1 ? p (p 为常数),则 an?1 ? an

称数列 ?an ? 为“等差比”数列,p 叫数列 ?an ? 的“公差比” .现给出如下命题: (1) 等差比数列 ?an ? 的公差比 p 一定不为零; (2) 若数列 ?an ? (n ? N * ) 是等比数列,则数列 ?an ? 一定是等差比数列; (3) 若等比数列 ?an ? 是等差比数列,则等比数列 ?an ? 的公比与公差比相等. 则正确命题的序号是 (文科) 计算 lim
2 2 2 C2 ? C32 ? C4 ? ? ? Cn = n ?? n3

. .

-3-

14.(理科)若关于 x 的方程 是 .

|x| ? kx 2 有四个不同的实数根,则实数 k 的取值范围 x?3

(文科) 若 数列?an ? 满足a1 ? 2,an?1 ? 乘积 a1 ? a2 ? a3 ??? a2010 ? a2011 ? 二.选择题(本大题满分 16 分) 分.

1 ? an 则可得该数列的前 2011 项的 (n ? N * ) , 1 ? an

. 本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考

生应在答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零 15.函数 f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x ( x ? R )的最小正周期 T= A. 2? . B. ? . C.
? . 4

[答](

)

D.

? . 2

? 1 3 ? ? 1? ? ? 16.已知关于 x、y 的二元一次线性方程组的增广矩阵是 ? ? ,则该 2 2? ? ??
线性方程组有无穷多组解的充要条件是 ? = A.2. 17.给出下列命题: (1)函数 y ? sin x ? 3 cos x的图像可由y ? sin x的图像平移得到; B.1 或 2. C.1. D.0. [答]( )

? ?? ? ? ? b (2) 已知非零向量a、 b,则向量a在向量b的方向上的投影可以是a ? ? ; |b|
(3)在空间中,若角 ? 的两边分别与角 ? 的两边平行,则 ? ? ? ; (4)从总体中通过科学抽样得到样本数据 x1、x2、x3、 、xn ( n ? 2,n ? N * ), 则数 ? 值S ? 计值. 则上述命题正确的序号是 A.(1)、(2)、(4). B.(4). C.(2)、(3). D.(2)、(4). [答]( )

( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ( x 为样本平均值)可作为总体标准差的点估 n ?1

18. (理科)若 数列?an ? 满足a1 ? 2,an?1 ?

1 ? an 则该数列的前 2011 项的乘 (n ? N * ) , 1 ? an

-4-

积 a1 ? a2 ? a3 ??? a2010 ? a2011 ? A.3. B.-6. C. ?1 . D.
2 . 3

[答](

)

4 (文科) (文科)若函数 y ? 和y ?| x ? a | 的图像有三个不同的公共点,则实数 a 的取 x 值范围是 [答]( )

A. a ? ?4 .

B. a ? ?4 .

C. a ? 4 .

D. a ? 4 .

三.解答题(本大题满分 78 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷的相应 编号规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.
如图 3 所示,已知三棱锥 A - BCD 中, AD ^ 平面BCD, M、N、G、H 分别是 点
棱AB、AD、DC、CB 的中点.

(1)求证 M 、N、G、H 四点共面; (2)已知 DC = 1 CB = , 球 M 的体积 V.

2,AD =

6,AB是球M的大圆直径 ,点 C 在球面上,求

A

M ·

·N

B · H · G C

D
图3

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.
定义:如果函数 y ? f ( x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a ? x0 < b),满足

-5-

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a ) ,则称函数 y ? f ( x) 是 [a,b] 上的“平均值函数” x0 是它的一个 , b?a

均值点.如 y ? x4是[?11] 上的平均值函数,0 就是它的均值点. , (1)判断函数 f ( x) ? ? x2 ? 4 x 在区间 [0, 上是否为平均值函数?若是,求出它的均值 9] 点;若不是,请说明理由; (2)若函数 f ( x) ? ? x2 ? mx ? 1是区间[?11] 上的平均值函数,试确定实数 m 的取值范围. ,

21.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 9 分.
u r 已知 a、b ? R,向量e1 u r ( x,1), = (- 1,b - x), e2 函数f ( x) = a -

1 u u 是偶函数. r r | e1 × 2 | e

(1) 求 b 的值; (2) 若在函数定义域内总存在区间 [m,n] (m<n),使得 y = f ( x) 在区间 [m,n] 上的 函数值组成的集合也是 [m,n] ,求实数 a 的取值范围.

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分,
第 3 小题满分 5 分. 如图 4,某市拟在长为 16km 的道路 OP 的一侧修建一条自行车赛道,赛道的前一
8]) 部分为曲线 OSM,该曲线段为函数 y ? A sin ? x( A ? 0,? ? 0,x ?[0, 的图像,且图

像的最高点为 S (6, 3) .赛道的后一段为折线段 MNP,为保证参赛队员的安全,限定 4
?MNP ? 120? .

(1)求实数 A和? 的值以及 M、P 两点之间的距离;

-6-

(2)联结 MP,设 ?NPM ? ?,y ? MN ? NP ,试求出用 ? 表示y 的解析式; (3)(理科)应如何设计,才能使折线段 MNP 最长? (文科)求函数 y 的最大值.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 7 分,
第 3 小题满分 5 分. ( 理 科 ) 已 知 各 项 都 为 正 数 的 数 列 ?an ? 满足a1 ? 1,S n ?
1 an an ?1 (n ? N * ) , 其 中 2

Sn是数列?an ? 的前 n 项的和.
(1) 求数列?an ?的通项公式an ;
b k?p (2)已知 p( ? 2)是给定的某个正整数,数列 ?bk ? 满足b1 ? 1,k ?1 ? bk ak ?1
2,? ( k ? 1,3, ,p ?1 ),求 bk ;

(3)化简 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bp . (文科) 在数列 ?an ?中,如果对任意n ? N *都有
an? 2 ? an?1 则 ? p (p 为非零常数), an?1 ? an

称数列 ?an ? 为“等差比”数列,p 叫数列 ?an ? 的“公差比” . (1) 已知数列 ?an ? 满足 an ? ?3 ? 2n ? 5(n ? N * ) ,判断该数列是否为等差比数列? (2) 已知数列 ?bn ? (n ? N * ) 是等差比数列, b1 ? 2,b2 ? 4, 且 公差比 p ? 2 , 求数列 ?bn ? 的通项公式 bn ; (3)记 Sn 为(2)中数列 ?bn ? 的前 n 项的和,证明数列 ?Sn ? (n ? N * ) 也是等差比数列, 并求出公差比 p 的值.

-7-

黄浦区 2010 学年度第一学期期终基础学业测评

数学试卷(文理合卷)
(2011 年 1 月 12 日)

参考答案和评分标准
一、填空题 1、(- 1, ? (0, 0)
) ;2、 ;3、若x +

5 3

4 3 < 5或8 - 6 x > 2,则x x- 1 2x

1成立;真命题 (每空 2 分) ;

4、 {- 1};5、 (- ? , 1) ? (1,

x ) ; 6、 镲 | x = (2n - 1)p 或x = 2np 睚

禳 镲 镲 镲 铪

p ,n 2

Z ;

7、 -

21 14

1 6 ;8、(理科) arccos ,(文科) arccos ;9、 18 2p 4 4
169 234 ,(文科) ;12、 f (a) ? f ( x0 ) 425 425 1 6

;10、 - 1



2

11、(理科)

0;
4 ,(文科) 3. 9

13、(理科)(1)、(3) ,(文科)

; 14、(理科) k < -

二、选择题: 三、解答题

15、B

16、C

17、D

18、(理科)A(文科)D

19、(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 解(1) ?点M、N、G、H 是三棱锥所在棱的中点,
? M N/ / B , G H / ,进一步有 D / BD ? M、 N 、 在直线 、 G H M/N . H / G

和 N 所确定的平面内. M G H

于是, M、N、G、H四点共面 . (2)? AB是球M的大圆直径,点C在球面上,
? A、B、C是大圆上的三点,且有BC ? AC .

-8-

由AD ? 平面BCD,可得BC ? 平面ADC .
? BC ? DC .

由DC ? 1 CB ? 2,AD ? 6,算得AB ? 3 . ,
4 3 9 ?V球 ? ? ( )3 ? ? . 3 2 2

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.
解(1)由定义可知,关于 x 的方程 ? x 2 ? 4 x ?
f (9) ? f (0) 在 (0, 内有实数根时, 9) 9?0

函数 f ( x) ? ? x2 ? 4x是[0,上的平均值函数 . 9] 解 ? x2 ? 4x ?
f (9) ? f (0) ,即x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ,可得 x1 ? 5或x2 ? ?1 . 9?0

又 x1 ? 5 ? (0, x2 ? ?1? (0,,故舍去) , 9)( 9) 所以, f ( x) ? ? x2 ? 4 x是[0, 上的平均值函数,5 是它的均值点. 9] (2)? f ( x) ? ? x2 ? mx ? 1是[ -11]上的平均值函数, ,
?关于x的方程-x 2 ? mx ? 1 ? f ( 1 ) f ?( 1 ) ? , 在 (?11) 内有实数根. 1? ( 1 ) ?

由-x 2 ? mx ? 1 ?

f (1) ? f (?1) ,得x 2 ? mx ? m ? 1 ? 0 ,解得 x1 ? m ?1或x2 ? 1 . 1 ? (?1)

又 x2 ? 1? (?1,1),

? x1 ? m ?1 必为均值点,即 ?1 ? m ? 1 ? 1 .
∴所求实数 m的取值范围是0 ? m ? 2 .

21.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 9 分.
解(1)由已知可得, f ( x) ? a ?
b b 1 ? ,且函数的定义域为 D= (??, ) ? ( , ?) . 2 2 | 2x ? b |

又 y ? f ( x) 是偶函数,故定义域 D 关于原点对称.

-9-

b b 于是,b=0( 否则,当b ? 0时,有- ? D且 ? D,即D必不关于原点对称 ). 2 2

又对任意 x ? D,有f ( x) ? f (? x),可得b ? 0. 因此所求实数 b=0. (2) 由(1)可知, f ( x) ? a ?
1 ( D ? (??, ? (0, ?)) . 0) ? 2| x|

考察函数 f ( x) ? a ?

1 的图像,可知: f ( x)在区间(0, ?)上是增函数, ? 2| x|

f ( x)在区间(??,0)上是减函数 .
因 y = f ( x) 在 区 间 [m,n] 上 的 函 数 值 组 成 的 集 合 也 是 [m,n] , 故 必 有
m、n同号 .

1 ? ? a ? 2m ? m ? ① 当 0 ? m ? n 时 , f ( x) 有 ,即方程 在区间 [m n] , 上是增函数, ? ?a ? 1 ? n ? 2n ?
x?a?

? 2a ? 0 1 ,也就是 2 x2 ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不相等的正实数根,因此 ? , 2x ? ? 4a 2 ? 8 ? 0 ?

解得 a ? 2(此时,m、n(m ? n)取方程2x2 ? 2ax ?1 ? 0的两根即可) .
1 ? ? a ? 2m ? n ? ② 当 m ? n ? 0 时 , f ( x) 有 ,化简得 在区间 [m n] , 上是减函数, ? ?a ? 1 ? m ? 2n ?
1 (m ? n)a ? 0 ,解得 a ? 0(此时,m、n(m ? n)的取值满足mn ? ,且m ? n ? 0即可) . 2

综上所述,所求实数 a的取值范围是a ? 0或a ? 2 .

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分,
第 3 小题满分 5 分.

- 10 -

? 2? ?? ? ?6 解(1)结合题意和图像,可知 ? 4 , ? ? A sin 6? ? 4 3 ?

? ? ? ?? ? 8]) 解此方程组,得 ? 12 ,于是 y ? 4 3 sin x( x ? [0, . 12 ?A ? 4 3 ?
?x ? 8 ? 进一步可得点 M 的坐标为 ? . 8? ? y ? 4 3 sin 12 ? 6 ?

所以, MP ? (8 ? 16) 2 ? (6 ? 0) 2 ? 10 (km). (2)在 ?MNP中,?MNP ? 120?,?NPM ? ? ,故 又 MP ? 10 , 因此, y ?
20 20 sin ? ? sin(60? ? ? ) ( 0? ? ? ? 60? ). 3 3 MN NP MP ? ? . ? sin ? sin(60 ? ? ) sin120?

(3)把 y ?

20 20 sin ? ? sin(60? ? ? ) 进一步化为: 3 3 20 sin(60? ? ? ) ( 0? ? ? ? 60? ). 3

y?

所以,当 ? ? 30?时,ymax ?

20 20 3 (km). ? 3 3

可以这样设计:联结 MP,分别过点 M、P 在 MP 的同一侧作与 MP 成 30? 角的射 线,记两射线的交点为 N,再修建线段 NM 和 NP,就可得到满足要求的最长折线段 MNP 赛道.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 7
分,第 3 小题满分 5 分.

- 11 -

(理科)解(1)? Sn ? an an?1 , an ? 0 (n ? N * ) ,
? S n ?1 ? ? an ? 1 an ?1an . 2

1 2

1 an (an ?1 ? an ?1 ),即an ?1 ? an ?1 ? 2(n ? 2) . 2

? a2、a4、a6、a8、 、a2n 是 首 项 为 a2 , 公 差 为 2 的 等 差 数 列 ; ? a1、 a3 、 、 7、 、 a5 ? a
得 a2 ? 2 . ∴ a2n ? 2n,a2n?1 ? 2n ?1(n ? N * ) . 所以,所求数列的通项公式为 an ? n(n ? N * ) . (2)? p 是给定的正整数( p ? 2 ),
bk ?1 k ? p ? (k ? 1 2, ?,p ? 1) , , 3, bk ak ?1
n?

1 ,S 是首项为 a1 ,公差为 2 的等差数列.又 a1 ? 1 1 ? a1a2 ,可 a2 1 2

b k?p , (k ? 1 2, ?,p ? 1) . , 3, ? 数列 ?bk ? 是项数为 p 项的有穷数列.又 b1 ? 1 k ?1 ? bk k ?1
( p ? 1) ( p ? 1)( p ? 2) ( p ? 1)( p ? 2)( p ? 3) ,b3 ? (?1) 2 ,b4 ? (?1)3 ,? 2 3? 2 4 ?3? 2 ( p ? 1)( p ? 2)( p ? 3)? ( p ? k ? 1) (k ? 1 2, ?,p) . , 3, 归纳可得 bk ? (?1) k ?1 k! ( p ? 1)( p ? 2)( p ? 3)? ( p ? k ? 1) (k ? 1 2, ?,p) 进一步 , 3, (3)由(2)可知,bk ? (?1) k ?1 k! ? b2 ? (?1)

可化为: bk ? ?

1 k (?1) k C p (k ? 1 2, ?,p) . , 3, p

1 2 p 所以, b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bp ?1 ? bp ? ? [(?1)C1 ? (?1) 2 C p ? (?1)3 C 3 ? ? ? (?1) p C p ] p p p

1 0 ? ? [C p ? ? C p )? ? ( 1 1 p

( 2p 1 )? C ?2

C p ? ?13 )? (3 ?

p

p Cp ? (

1 )

1 ]

1 ? ? [ ( 1 ?p 1 ) ? p

1 ]

- 12 -

?

1 . p
5(n N * ), N * ).

解(1) Q 数列 {an }满足an = - 3?2n

(文科)

an+ 2 - an+ 1 - 3 ?2n+ 2 3 2n+ 1 \ = = 2(n an+ 1 - an - 3?2n+ 1 3 2n

∴数列 ?an ? 是等差比数列,且公差比 p=2. (2)∵数列 ?bn ? 是等差比数列,且公差比 p=2,
? bn ?1 ? bn ? 2(n ? 2) bn ? bn?1









{bn - bn- 1}是以(b - b )为首项,公比为2的等比数列 . 2 1
\ bn - bn- 1 = (b2 - b1 ) ?2n- 2 bn - bn- 1 = 2n- 1 , bn- 1 - bn- 2 = 2n- 2 ,
?

2n- 1 (n

2) .于是,

b2 - b1 = 2 .
将上述 n - 1 个等式相加,得

bn - b1 = 2 + 22 + L + 2n- 1 .
∴数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2n (n ? N * ) . (3)由(2)可知, Sn = b1 + b2 + b3 + L + bn
2 = 2 + 2+ L + n

2

=2
于是,

n+ 1

- 2.

Sn?2 ? Sn?1 2n?3 ? 2n?2 ? n?2 n?1 ? 2(n ? N * ) . Sn?1 ? Sn 2 ?2

所以,数列 ?Sn ? 是等差比数列,且公差比为 p ? 2 .

- 13 -

- 14 -


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