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[名校联盟]福建省厦门大学附属科技中学2011-2012学年高二上学期期中考试数学(理)试题

厦门大学附属科技中学
2011-2012 学年第一学期期中考试

高 二 ( 理 ) 数 学 试 卷
考试时间:150 分钟;满分:150 分;命题人:曲道强
[来源:学|科|网]

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确答案的代号填在题后的表格内。 ) 1.在 ?ABC 中, a ? 7 , c ? 5 ,则 sin A : sin C 的值是( A. )

7 5

B.

5 7 n?

C.

7 12

D.

5 12
) D. cos

2.数列 0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是( A.

(?1) n ? 1 2

B. cos 2

C. cos

( n ? 1)? 2

( n ? 2)? 2

3.若 a 、 b 为实数,则下面一定成立的是(
2 2 A.若 a ? b ,则 a ? b


2 2

B.若 a ? b ,则 a ? b
2 2

C.若 a ? b ,则 a ? b
2

D.若 a ? b ,则 a ? b

2

4.在 ?ABC 中, 若 a ? 3, cos A ? ?

1 ,则 ?ABC 的外接圆的半径为( 2
1 2
D.



A. 3

B. 2 3

C.

3 2
2 2 2

5.在等比数列 {an } 中,若 a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,则 a1 ? a2 ? ? ? an =( A. (2 ? 1)
n 2



B. (2 ? 1)
n

1 3

C. 4 ? 1
n

D.

1 n 4 ?1 3

?

?

6.某人从 2008 年起,每年 1 月 1 日到银行新存入 a 元(一年定期),若年利率为 r 保持不变, 且每年到期存款自动转为新的一年定期, 2012 年 1 月 1 日将所有存款及利息全部取回, 到 他可取回的钱数为( A. a(1 ? r )
5

)(单位为元)

B.

a (1 ? r ) 5 ? (1 ? r ) r

?

?

C. a(1 ? r )

6

D.

a (1 ? r ) 6 ? (1 ? r ) r

?

?

?x ? 2 2y ? x ? 7. 已知 ? y ? 2 ,则 的最大值为( x ?x ? y ? 3 ? 0 ?
A. 5 B. 3 C. 2



D. 6

8.

数 列 {an } 中 , an ? 0 且 {an an?1} 是 公 比 为 q(q ? 0) 的 等 比 数 列 , 满 足

an an?1 ? an?1an?2 ? an?2 an?3 (n ? N * ) ,则(
A .0 < q <



1? 2 2

B.0 < q <

1? 5 2

C.0 < q <

?1? 2 2

D.0 < q <

?1? 5 2
9. 数列 ?an ? 的通项公式 an ? A
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1 ,则该数列的前( n ? ?n ? 1?
C
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)项之和等于

5 6

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3

B

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4

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5

D

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6
)

10.△ABC 中,已知 a ? x, b ? 2, B ? 60°,如果△ABC 两组解,则 x 的取值范围( A. x ? 2 B. x ? 2
a

C. 2 ? x ?

4 3 3


D. 2 ? x ? ) 1 0.5
源:Zxxk.Com] [来

4 3 3

11. 若 a , b 为实数,且 a ? b ? 2 ,则 3 A. 18 B. 6 C. 2 3

? 3b 的最小值为
D. 2 4 3

2 1

12.在表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列, 每一列成等比数列,则 a+b+c 的值是( ) A. 1 B. 2 C.3 D.4

a b c

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上。 ) 13.若数列 ?an ? 是等差数列, a 4 ? 5 , a9 ? 17 ,则 a14 的值为_______________. 14.已知 f ( x) ? ?

?1,x ? 0; ,则不等式 x ? ?x ? 2? ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是____________. ?? 1,x ? 0
2

15.数列 ?an ? 的前 n 项的和 Sn ? 2n ? n ? 1 ,则 an =

.

16. 已知 集合 A ? x ? R | x ? 3 ? x ? 4 ? 9 , B ? ? x ? R | x ? 4t ? ? 6, t ? (0,?? )? ,则 集合 A ? B =__________________.

?

?

? ?

1 t

? ?

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 74 分) 。 17.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,a、b 是方程 x2-2mx+2=0 的两根,且 2cos(A+B)=-1. (1)求角 C 的度数; (2)求△ABC 的面积.

2 20.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? x ? (a ?

1 )x ?1, a

(1) a ? 当

1 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2) a ? 0 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 。 若 2

21. (本小题满分 12 分)甲、 乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点 甲有一半时间以速度 m
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行走,另一半时间以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走 如果 m ? n,问:甲、乙两人谁先到达指定地 点?
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22 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知

x,

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成 等 差 数 列 . 又 数 列 2

{an }(an ? 0)中, a1 ? 3, 此数列的前 n 项的和 Sn( n ? N ? )对所有大于 1 的正整数 n 都
有 S n ? f (S n?1 ). (1)求数列 {an } 的第 n+1 项; (2)若 bn 是

1 a n ?1

,

1 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn an

[来源:学_ 科_ 网]

高 二 ( 理 ) 数 学 答 案

[来源:学+科+网]

三、解答题 17.解:(1)∵2cos(A+ B)=1,∴cosC=-

1 .∴角 C 的度数为 120°. 2

(2)S=

1 3 absinC= . 2 2

18.解: (1)设数列{an}的公比为 q. 由 等比数列性质可知: a1a7 ? a3 a5 ? 64 , 而

a1 ? a7 ? 65, an?1 ? an . ? a1 ? 64, a7 ? 1 ,

6 由 64 q ? 1, 得q ?

1 1 , 或q ? ? 2 2

(舍) 故 an ? 27?n. , ( 2 )

?bn ? a2n ? 27?2n

?Tn ? lg b1 ? lg b2 ? ?? lg bn ? lg(b1b2 ?bn ) ? (?n2 ? 6n)lg 2 ? [?(n ? 3)2 ? 9]lg 2
∴当 n = 3 时,Tn 的最大值为 9lg2. 19. 解:根据柯西不等式
即 ( x ? 2 y ? 2 z)
2

(1? x ? 2 ? y ? 2 ? z) 2 ? [12 ? (?2) 2 ? 2 2 ](x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 9?9
而有 ?9 ? x ? 2 y ? 2 z ? 9

故 x ? 2 y ? 2 z 的最大值为 9,最小值为–9 设

x y z ? ? ? k ,即 x ? k , y ? ?2k , z ? 2k 1 ?2 2
2 2 2

得 k ? 4k ? 4k ? 9 ,即 k ? ?1 ∴当且仅当 k ? 1 ,即 x ? 1, y ? ?2, z ? 2 时, x ? 2 y ? 2 z 取得 最大值 9 当且仅当 k ? ?1 ,即 x ? ?1, y ? 2, z ? ?2 时, x ? 2 y ? 2 z 取得最小值 ?9
[来源:Zxxk.Com]

20. 解: (1)当 a ?

1 3 2 时,有不等式 f ( x ) ? x ? x ? 1 ? 0 , 2 2 1 1 ∴ ( x ? )( x ? 2) ? 0 ,∴不等式的解为: x ? { x | ? x ? 2} 2 2 1 (2)∵不等式 f ( x) ? ( x ? )( x ? a) ? 0 a 1 1 当 0 ? a ? 1 时,有 ? a ,∴不等式的解集为 { x | a ? x ? } ; a a 1 1 当 a ? 1 时,有 ? a ,∴不等式的解集为 { x | ? x ? a} ; a a
当 a ? 1 时,不等式的解为 x ? 1 。

21. 解:设从出发地到指定地点的路程为 S,甲、乙两人走完全程所需时间分别是 t1 、 t 2 , 依题意有:

t1 t m ? 1 n ? S, 2 2

S S ? ? t2 2m 2n

可得

t1 ?

2S S ( m ? n) , t2 ? m?n 2mn

2S S (m ? n) S[4m n ? (m ? n) 2 ] S (m ? n) 2 ∴ t1 ? t 2 ? ? ? ?? m?n 2m n 2(m ? n)m n 2m n(m ? n)
∵S, m, n 都是正数,且 m ? n,∴ t1 - t 2 < 0 答:甲先到到达指定地点 22.解: (1)? x ,
王新敞
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[来源:学科网]

即: t1 < t 2

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成等差数列,∴ 2
2

f ( x) ?2 ? x ? 3 2

∴ f ( x) ? ( x ? 3) . ∵ S n ? f ( S n?1 ), (n ? 2),? S n ? f ( S n?1 ) ? ( S n?1 ? 3 ) 2 , ∴ Sn ?

Sn?1 ? 3, Sn ? Sn?1 ? 3, ∴{ S n }是以 3 为公差的等差数列.
S1 ? (n ? 1) 3 ? 3 ? 3n ? 3 ? 3n ,
2 2

∵ a1 ? 3,? S1 ? a1 ? 3,? S n ?
2

∴ S n ? 3n (n ? N ? ). ∴ an?1 ? S n?1 ? S n ? 3(n ? 1) ? 3n ? 6n ? 3. (2)∵数列 bn 是

1 a n ?1

,

1 1 1 2 ? , 的等比中项,∴ ( bn ) ? an a n ?1 a n

∴ bn ?

1 an?1a n

?

1 1 1 1 ? ( ? ). 3(2n ? 1) ? 3(2n ? 1) 18 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? ). 18 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 18 2n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?


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