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数学理专题12


概率统计
一.基础题组
1. 【2013 年河南省十所名校高三第三次联考试题】某学生在一门功课的 22 次考试中,所得 分数如下茎叶图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( )

A.117

B.118

C.118.5

D.119.5

2. 【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学】已知随机变量 ? 服从正态分布 N (4, ? 2 ) , 若 P (? ? 8) ? 0.4 ,则 P (? ? 0) ? ( A . 0.3 B. 0.4 C. 0.6 ) D. 0.7

3. 【石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟】设随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? ) .若
2

P( ? <2)=0.8,则 p(0< ? <1)的值为(



A. 0 . 2

B. 0.3

C . ?0.4

D. 0.6

4. 【石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟】现釆用随机模拟的方法估计该运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率:先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0 、1 表 示没有击中目标, 2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 表示击中目标, 以 4 个随机数为一组,代 表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了

2 0 组随机数:

7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为( A. 0.852 B. 0.8192 C O.8 D. 0.75 )

5. 【河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试】如图是甲、乙两名篮球运动员 2012 年赛季 每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是______.

6. 【中原名校联盟 2013——2014 学年高三上期第一次摸底考试】 (本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其中每道题的概率都是

3 , 5

乙能答对其中的 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试,答对 一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,得分最低为 0 分,至少得 15 分才能入选. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

试题解析: (Ⅰ) 设乙得分为 x , 则 x = 0,15,30 ,P (x = 0) =
P (x = 15) =
2 1 3 0 C5 C5 5 , C5 C5 1 = P x = 30 = = ( ) 3 3 C10 12 C10 12

0 3 1 2 C5 C5 C5 C5 1 5 1 + = + = , 3 3 C10 C10 12 12 2

x 的分布列为 x
0 15 30

P

1 2

5 12

1 12

E x = 0?

1 2

15?

5 12

30?

1 12

35 ; 4


7. 【山 西 省 长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中 2013 届 高 三 第 四 次 四 校 联 考 】为了解甲、乙两厂 的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 12 件和 5 件,测量产品中微量元 素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编 号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 76 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共84件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175且y≥75,该产品为优等品, ①用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; ②从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分 布列及其期望. 【答案】 (I)35 ; (II)①21 件; ②所以随机变量 ? 的分布列为

?

0

1

2

p

1 10

3 5

3 10

E? ?

6 . 5

P(? ? 1) ?

1 1 C2 C3 3 C32 3 , ? P ( ? ? 2) ? ? ,所以随机变量 ? 的分布列为 C52 5 C52 10

?

0

1

2

p

1 10

3 5

3 10
-

所以随机变量 ? 的期望 E? ? 0 ?

1 3 3 6 ? 1? ? 2 ? ? . 10 5 10 5

考点:1、分层抽样的性质和公式 2、简单随机变量的分布列及均值. 8. 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考】(本小题 满分 12 分)在一次数学考试中,第 22,23,24 题为选做题,规定每位考生必须且只须在其中 选做一题,设 5 名考生选做这三题的任意一题的可能性均为 相互独立的,各学生的选择相互之间没有影响. (1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率; (2)设选做第 23 题的人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.

1 ,每位学生对每题的选择是 3

9. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试】 (本小题满分 12 分)从某校高三上学期期 末数学考试成绩中,随机抽取了 60 名学生的成绩得到频率分布直方图如下:

(Ⅰ)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分; (Ⅱ)以上述样本的频率作为概率,从该校高三学生中有放回地抽取 3 人,记抽取的学生成 绩不低于 90 分的人数为 X ,求 X 的分布列和期望.

(Ⅱ)样本中成绩不低于 90 分的频率为

0.0150 ? 20 ? 0.0125 ? 20 ? 0.0025 ? 20 ? 0.6 ,
所以从该校高三学生中随机抽取 1 人,分数不低于 90 分的概率为 0.6 . ?????7 分

10. 【河南省方城一高 2014 届高三第一次调研(月考) 】(本小题满分 12 分) 某网站用“10 分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,以下茎叶图 记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶) :

(1)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福” ,求从这 16 人随机选取 3 人, 至多有 1 人是“极幸福”的概率; (2)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人, 记

X 表示抽到“极幸福”的人数,求 X 的分布列及数学期望.

利用

1 ,利用二项分布计算出每种情况下的概率,这部分是关键,以下的分布列和期望都需 4

要用这些数.

分布列为

E( X ) ? 0 ?

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 64 64 64 64

令解: X 的可能取值为 0,1,2,3.

1 1 3 X ? B(3, ), P( x ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k 4 4 4
分布列为

所以 E ( X ) ? 3 ?

1 ? 0.75 . 4

(12 分)

考点:1.茎叶图;2.分布列;3.二项分布. 11. 【河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试】某校学习小组开展“学生语文成绩与外语 成绩的关系”的课题研究,对该校高二年级 800 名学生上学期期末语文和外语成绩,按优秀 和不优秀分类得结果: 语文和外语都优秀的有 60 人, 语文成绩优秀但外语不优秀的有 140 人,

外语成绩优秀但语文不优秀的有 100 人. (Ⅰ)能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系? (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,从该校高二年级学生成绩中,有放回地随机抽取 3 名学生的成绩,记抽取的 3 个成绩中语文,外语两科成绩至少有一科优秀的个数为 X ,求 X 的分布列和期望 E(x).

n(ad ? bc)2 附: K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

p( K 2 ? k0 )
k0

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

所以能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关 系.?5 分 (Ⅱ)由已知数据,语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 3 . 8

12. 【石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟】为了调査某大学学生在某天上网的时间,随 机对 l O O 名男生和 1 0 0 名女生进行了不记名的问卷调查. 得到了如下的统计结果: 表 l :男生上网时间与频数分布表

表 2 :女生上网时间与频数分布表

( I)从这 100 名男生中任意选出 3 人,其中恰有 1 人上网时间少于 60 分钟的概率;
(II)完成下面的 2X2 列联表,并回答能否有 90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”? 表3:

?
附:

13. 【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学】 (本题满分 12 分)为了了解《中华人民 共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门组织了一次知识竞赛,现随机抽取

了某校 20 名学生的测试成绩,得到如图所示茎叶图:

(1)若测试成绩不低于 90 分,则称为“优秀成绩”,求从这 20 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“优秀成绩”的概率; (2)以这 20 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选 3 人, 记 ? 表示抽到“优秀成绩”学生的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

试题解析: (1)优秀成绩 4 人;设优秀成绩人数为 X ,至多一人成绩优秀为事件 A ,则,

P( A) ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) =

3 2 1 C16 C16 C4 52 ????????5 分 ? ? 3 3 C20 C20 57

(2) 由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率 P ?

1 ???????6 分 5

?
?
P

可取 0,1,2,3 0 1

???????7 分 2 3
3 1 3 C3 ( ) 5

4 C 30 ( ) 3 5

1 1 4 2 C3 ( ) ?( ) 5 5

4 1 C 32 ( ) ? ( ) 2 5 5

???????12 分 考点:茎叶图,随机变量的分布列及数学期望. 14. 【河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考】 (本小题满分 12 分)有一种密码,明 文是由三个字符组成,密码是由明文对应的五个数字组成,编码规则如下表:明文由表中 每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位,第二排取的字符放在第二位,第三 排取的字符放在第三位,对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排列组成. 第一排 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符

A
11

B
12

C
13

D
14

第二排

E
21

F
22

G
23

H
24

第三排

M
1

N
2

P
3

Q
4

设随机变量 ξ 表示密码中不同数字的个数. (1)求 P(?=2) ; (2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

? ? 2, ? ? 3, ? ? 4 的实际意义,分别求出相应的概率值,注意写出分布列需验证概率和是否
为 1,

∴ξ 的分布列为: ξ 2 3 4

P

1 8

19 32

9 32
??12 分

∴ E (? ) ? 2 ?

1 19 9 101 ? 3? ? 4 ? ? . 8 32 32 32

考点:1.古典概型;2.离散型随机变量的分布列与期望. 15. 【河北省保定市八校联合体 2014 届高三上学期第一次月考】 (本小题满分 12 分) 某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯 符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非低碳族” ,这两族人数占各自小区总人数的 比例如下:

(1)从 A , B , C 三个社区中各选一人,求恰好有 2 人是低碳族的概率; (2)在 B 小区中随机选择 20 户,从中抽取的 3 户中“非低碳族”数量为 X,求 X 的分布列 和期望 EX.

考点:1、离散型随机变量的分布列和数学期望;2、离散型随机变量概率的计算. 16. 【2012-2013 学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】 (本小题满分 12 分)

南昌市为增强市民的交通安全意识,面向全市征召“小红帽”志愿者在部分交通路口协助 交警维持交通,把符合条件的 1000 名志愿者按年龄分组:第 1 组 ?20,25? 、第 2 组 ?25,30? 、 第 3 组 ?30,35? 、第 4 组 ?35,40? 、第 5 组 ?40,45? ,得到的频率分布直方图如图所示:

⑴若从第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 12 名志愿者在五一节这天到广场协助交警维持 交通,应从第 3、4、5 组各抽取多少名志愿者? ⑵在⑴的条件下,南昌市决定在这 12 名志愿者中随机抽取 3 名志愿者到学校宣讲交通安全知 识,若 ? 表示抽出的 3 名志愿者中第 3 组的人数,求 ? 的分布列和数学期望.

(2) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3,
0 3 1 2 2 1 C6 C6 1 C6 C6 C6 C6 9 9 , P(? ? 2) ? , P(? ? 0) ? 3 ? , P(? ? 1) ? 3 ? ? 3 C12 11 C12 22 C12 22

17. 【2013 年河南省十所名校高三第三次联考试题】 (本小题满分 12 分) 为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度, 在普通行人中随机选取了 200 人进行调查,得到如下数据:

(Ⅰ)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚 10 元时与处罚 20 元时,行人会闯红灯的概 率的差是多少?[ (Ⅱ)若从这 5 种处罚金额中随机抽取 2 种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验. ① 求这两种金额之和不低于 20 元的概率; ②若用 X 表示这两种金额之和,求 X 的分布列和数学期望. 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)直接由两种闯红灯的概率相减得 型公式即可得 P ( A) ? 分布列和数学期望. 试题解析: (Ⅰ)由条件可知,处罚 10 元会闯红灯的概率与处罚 20 元会闯红灯的概率的差是:

3 3 ; (Ⅱ)① ,② EX ? 20 . 5 20

40 10 3 ? ? ;(Ⅱ)①直接由古典概 200 200 20

6 3 ? ,②先将 X 的可能取值表示出来,再依次求概率即可得到 X 的 10 5

二.能力题组
1. 【山西省山西大学附中 2014 届高三 9 月月考题数学】抛一枚均匀硬币,正反每面出现的 概率都是

?1,第n次投掷出现正面 1 ? ,反复这样投掷,数列 {a n } 定义如下: a n ? ? ,若 2 ? ??1,第n次投掷出现反面


S n ? a1 ? a 2 ??? a n (n ? N * ) ,则事件“ S2 ? 0, S8 ? 2 ”的概率是(
A.

1 256

B.

13 128

C.

1 2

D.

7 32

2. 【2012-2013 学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】下列四个判断: ①某校高三 (1) 班的人和高三 (2) 班的人数分别是 m 和 n , 某次测试数学平均分分别是 a , b ,

a?b 则这两个班的数学平均分为 2 ;②从总体中抽取的样本
(1,2.5), (2,3.1), (3,3.6), (4,3.9), (5,4.4), 则回归直线 y ? bx ? a 必过点 (3,3, 6) ;③已知 ? 服从
正态分布 N (1, 22 ) ,且 P(?1 ? ? ? 1) ? 0.3 ,则 P(? ? 3) ? 0.2 其中正确的个数有( A.0 个 ) C.2 个 D.3 个

B.1 个

3. 【 河 北 省 保 定 市 八 校 联 合 体 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 】 已 知 平 面 区 域

?| x |? 2 ? D1 ? ?? x, y ? | ? ? , D2 ? ?| y |? 2 ?

?? x, y ? | ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4? .在区域 D 内随机选取一点
2 2
1

P , 则点 P 恰好取自区域 D2 的概率是( 1 ?
A.



4

B.

4

C.

? 16

D.

? 32

考点:几何概型概率的计算. 4. 【河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考】已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2, σ ),且 P(ξ <4)=0.8,则 P(0<ξ <2)等于( A.0.6 B.0.4
2

) C.0.3 D.0.2

5. 【河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考】在回归分析中,代表了数据点和它在 回归直线上相应位置的差异的是( A.总偏差平方和 ) C.回归平方和 D.相关指数 R
2

B.残差平方和

6. 【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学】如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区 域, E 是 D 内函数 y ? x 图象下方的点构成的区域.在 D 内随机取一点,则该点在 E 中的概
2

率为( A.

) B.

1 5

1 4

C.

1 3

D.

1 2

7. 【山西省山西大学附中 2014 届高三 9 月月考题】(本小题满分 14 分)现有甲、乙两个靶. 某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为 击一次,命中的概率为

3 ,每命中一次得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射 4

2 ,命中得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设 3

该射手完成以上三次射击. (I)求该射手恰好命中两次的概率; (II)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX ;

【解析】

P? X ? 3? ? P BC D ? P BCD ?

?

? ?

?

3 ? 3? 2 ? 3? 3 2 1 ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? , 4 ? 4? 3 ? 4? 4 3 4

三.拔高题组 1. 【中原名校联盟 2013——2014 学年高三上期第一次摸底考试】在圆 ( x ? 2) +( y ? 2) =4
2 2

? x+2y-5≥0 ? 内任取一点,则该点恰好在区域 ? x-2y+3≥0 内的概率为( ? x≤3 ?
A.



1 8?

B.

1 4?

C.

1 2?

D.

1

?

考点:二 元 一 次 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 和 几 何 概 型 等 知 识 , 考查学生的基本运算能 力. 2. 【山西省山西大学附中 2014 届高三 9 月月考题】抛一枚均匀硬币,正反每面出现的概率 都是

? 1 ?1,第n次投掷出现正面 ,反复这样投掷,数列 {a n } 定义如下: a n ? ? ,若 2 ? ? 1 ,第 n 次投掷出现反面 ?


S n ? a1 ? a 2 ??? a n (n ? N * ) ,则事件“ S2 ? 0, S8 ? 2 ”的概率是(
A.

1 256

B.

13 128

C.

1 2

D.

7 32

3. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试】在长度为 3 的线段上随机取两点,将其分 成三条线段,则恰有两条线段的长大于 1 的概率为( A. )

1 3

B.

2 3

C.

1 9

D.

5 9

4. 【河北省保定市八校联合体2014届高三上学期第一次月考】下图甲是某市有关部门根据对

数为4000.在样本中记月收入在 ?1000,1500 ? ,

[1500, 2000), [2000, 2500),[2500,3000),[3000,3500) , [3500, 4000] 的人数依次为 A1 、

A2 、??、 A6 .图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图,图乙输出
的S ? (用数字作答).


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