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高二数学解析几何综合训练

高二解析几何综合训练 x2 y 2 1.已知双曲线 W: 2 ? 2 ?` a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 N (0, b) ,右顶 1( a b ???? ????? ? 点是 M,且 MN ? MF2 ? ?1 , ?NMF2 ? 120? . (1)求双曲线的方程; (2)过点 Q (0, ?2) 的直线 l 交双曲线 W 的右支于 A、B 两个不同的点(B 在 A、Q 之间), 若点 H (7, 0) 在以线段 AB 为直径的圆的外部,试求△AQH 与△BQH 面积之比 λ 的取值范围.

? x2 y 2 6? ?. 2.椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点为 F(1,0),且过点 ? 2 , ? 2 ? a b ? ?
(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 A、B 为椭圆上的点,且直线 AB 垂直于 x 轴,直线 l : x =4 与 x 轴交于点 N,直线 AF 与 BN 交于点 M. (ⅰ)求证:点 M 恒在椭圆 C 上; (ⅱ)求△AMN 面积的最大值.

3.已知向量 OA ? ? 2,0 ? , OC ? AB ? ? 0,1? , 动点 M 到定直线 y ? 1 的距离等于 d , 并且满足

??? ?

????

??? ?

???? ???? ? ? ???? ???? ? ? OM ? AM ? k CM ? BM ? d 2 , 其中 O 是坐标原点, k 是参数.

?

?

(1)求动点 M 的轨迹方程,并判断曲线类型; (2)当 k ?

???? ? ???? ? 1 时,求 OM ? 2 AM 的最大值和最小值; 2

(3) 如果动点 M 的轨迹是圆锥曲线, 其离心率 e 满足

3 2 ?e? , 求实数 k 的取值范围. 3 2

4.如图,直角坐标系 xOy 中,一直角三角形 ABC , ?C ? 90? ,B、C 在 x 轴上且关于原点 O 对称, D 在边 BC 上,BD=3DC,△ABC 的周长为 12.若一双曲线 E 以 B、C 为焦点,且经过 A、 D 两点. ⑴ 求双曲线 E 的方程; ⑵ 若一过点 P (m, 0) ( m 为非零常数)的直线 l 与双曲线 E 相交于不同于双曲线顶点的两点 ??? ? ???? ? ???? ???? ??? ? M 、 N ,且 MP ? ? PN ,问在 x 轴上是否存在定点 G ,使 BC ? (GM ? ?GN ) ?若存在,求 出所有这样定点 G 的坐标;若不存在,请说明理由

???? ????? ? 1.解(Ⅰ )由已知 M (a, 0) , N (0, b) , F2 (c,0) , MN ? MF2 ? (?a, b) ? (c ? a,0) ? a2 ? ac ? ?1 ,

参考答案

∵?NMF2 ? 120? ,则 ?NMF1 ? 60? ,∴b ? 3a ,∴c ? a2 ? c2 ? 2a ,

y2 ?` . 1 3 (Ⅱ )直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,
解得 a ? 1 , b ? 3 ,∴ 双曲线的方程为 x2 ?
?3 ? k 2 ? 0, ? 2 2 ?? ? 16k ? 28(3 ? k ) ? 0, ? y ? kx ? 2, ? ? 由 ? 2 y2 得 (3 ? k 2 ) x2 ? 4kx ? 7 ? 0 ,则 ? x ? x ? 4k ? 0, 1 2 ?` 1 ?x ? k2 ? 3 ? 3 ? ? 7 ? x1 x2 ? 2 ? 0, k ?3 ?

解得 3 ? k ? 7 .

??? ??? ? ? ∵ H (7, 0) 在以线段 AB 为直径的圆的外部,则 HA ? HB ? 0 , 点 ??? ???? ? HA ? HB ? ( x1 ? 7, y1 ) ? ( x2 ? 7, y2 ) ? ( x1 ? 7) ? ( x2 ? 7) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (7 ? 2k )( x1 ? x2 ) ? 53



7 4k 7k 2 ? 7 ? 8k 2 ? 28k ? 53k 2 ? 159 ? (7 ? 2k ) ? 2 ? 53 ? ? 0 ,解得 k ? 2 . ② k2 ? 3 k ?3 k2 ? 3 由① 、② 得实数 k 的范围是 2 ? k ? 7 , ??? ? ??? ? S?AQH | AQ | 由已知 ? ? ,∵ 在 A、Q 之间,则 QA ? ?QB ,且 ? ? 1 , B ? S?BQH | BQ | ? (1 ? k 2 ) ?
4k ? ?(1 ? ? ) x2 ? k 2 ? 3 , ? ∴( x1 , y1 ? 2) ? ? ( x2 , y2 ? 2) ,则 x1 ? ? x2 ,∴? ?? x 2 ? 7 , ? 2 k2 ? 3 ? 2 2 (1 ? ? ) 16 k 16 3 则 ? ? 2 ? (1 ? 2 ), ? 7 k ?3 7 k ?3 (1 ? ? )2 64 1 ∵2 ? k ? 7 ,∴4 ? ,解得 ? ? ? 7 ,又 ? ? 1 ,∴1 ? ? ? 7 . ? 7 ? 7 故 λ 的取值范围是 (1,7) .

2.(1)解:由题设 c ? 1,

2 3 ? 2 ? 1 ,从而 b 2 ? 3, a 2 ? 4 , 所以椭圆 C 的方程为 b ? 1 2b
2

x2 y2 ? ?1 4 3
(2)(i)证明: 由题意得 F(1,0)、 N(4,0). Amn) 设 (,

) ) , Bm, n(n 0 ? 则 ( ?



m2 n2 ? ? 1. 4 3

AF 与 BN 的方程分别为: n( x ? 1) ? (m ? 1) y ? 0, n( x ? 4) ? (m ? 4) y ? 0 . 设 M ( x0 , y0 ) ,则有 ?

?n( x0 ? 1) ? (m ? 1) y0 ? 0, 5m ? 8 3n , y0 ? . 由上得 x0 ? 2m ? 5 2m ? 5 ?n( x0 ? 4) ? (m ? 4) y0 ? 0

由于 =1.

2 2 x0 y0 (5m ? 8)2 (3n )2 (5m ? 8)2 ? 12n2 (5m ? 8)2 ? 36 ? 9m2 ? ? = ? ? 2 4 3 4(2m ? 5)2 4(2m ? 5)2 3(2m ? 5)2 4(2m ? 5)

所以点 M 恒在椭圆 C 上.

x2 y 2 ? ? 1 ,得 (3t 2 ? 4) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0. (ⅱ)解:设 AM 的方程为 x ? ty ? 1 ,代入 4 3
设 A( x1 , y1 ) 、 M ( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? y2 ?

?6t ?9 , y1 y2 ? 2 . 2 3t ? 4 3t ? 4

| y1 ? y2 | = ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 =

12 ? t 2 ? 1 . 3t 2 ? 4

令 t 2 ? 1 ? ? (? ? 1) ,则 | y1 ? y2 | =

12? 12 ? 2 3? ? 1 3? ? 1

?

因 为 函 数 y ? 3? ?

1

?

在 [1, ??) 为 增 函 数 , 所 以 当 ? ? 1 即 t ? 0 时 , 函 数

y ? 3? ?

1

?

有最小值 4.

即 t ? 0 时, | y1 ? y2 | 有最大值 3, △AMN 的面积 S△AMN=

1 9 | NF | · | y1 ? y2 | 有最大值 . 2 2

3.解: (1)设 M ? x, y ? , 由题设可得 A? 2,0? , B ? 2,1? , C ? 0,1?

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ? OM ? ? x, y ? , AM ? ? x ? 2, y ? , CM ? ? x, y ? 1? BM ? ? x ? 2, y ? 1? , d ? y ? 1 ,
因 OM ? AM ? k CM ? BM ? d

???? ???? ? ?

?

???? ???? ? ?

2

?

2 ?? x, y ? ? ? x ? 2, y ? ? k ?? x, y ? 1? ? ? x ? 2, y ? 1? ? y ? 1 ? ? ?
2 2 即 ?1 ? k ? x ? 2 x ? y ? 0 为所求轨迹方程.

?

?

当 k ? 1 时, y ? 0, 动点 M 的轨迹是一条直线;
2 2 当 k ? 0 时, x ? 2x ? y ? 0, 动点 M 的轨迹是圆;

当 k ? 1 时,方程可化为 ? x ? 1? ?
2

y2 ? 1, 当 k ? 1 时,动点 M 的轨迹是双曲线; 1? k

当 0 ? k ? 1或 k ? 0 时,动点 M 的轨迹是椭圆。

1 y2 1 1 2 2 M 的轨迹方程为 ? x ? 1? ? ? 1, 得 0 ? x ? 2, y 2 ? ? ? x ? 1? (2)当 k ? 时, 1 2 2 2 2

???? ? ???? 2 ? 2 2 ? OM ? 2 AM ? ? x, y ? ? 2 ? x ? 2, y ? ? (3x ? 4,3 y)

5? 7 ?1 1 ? 9? ? ? 3x ? 4 ? ? 9 y ? (3x ? 4) ? 9 ? ? ( x ? 1) 2 ? ? ? x ? ? ? 3? 2 ?2 2 ? 2? ???? ? ???? 2 ? 5 7 ∴ x ? 时, OM ? 2 AM 取最小值 当 3 2 ???? ? ???? 2 ? 当 y ? 0 时, OM ? 2 AM 取最大值 16.
2 2 2

2

因此, OM ? 2 AM 的最小值是

???? ?

???? 2 ?

14 ,最大值是 4. 2

(3)由于

y2 3 2 2 ? 1, ?e? , 即 e ? 1, 此时圆锥曲线是椭圆,其方程可化为 ? x ? 1? ? 1? k 3 2 c2 ? k, a2

2 ① 0 ? k ? 1 时, a2 ? 1, b2 ? 1 ? k , c2 ? 1 ? (1 ? k ) ? k , e ? 当

?

3 2 1 1 ?e? ,? ? k ? ; 3 2 3 2
c2 ?k k ? ? , 2 a 1 ? k k ?1

2 ② k ? 0 时, a2 ? 1 ? k , b2 ? 1, c2 ? (1 ? k ) ?1 ? ?k , e ? 当

?

1 3 2 1 k 1 ?e? ,? ? ? , 而 k ? 0 得, ?1 ? k ? ? . 2 3 2 3 k ?1 2

综上, k 的取值范围是 ? ?1, ? ? ? ? , ? . 2 3 2

? ?

1? ?

?1 1 ? ? ?

4.解:(1) 设双曲线 E 的方程为
?| AB |2 ? | AC |2 ? 16a 2 , ? ∴?| AB | ? | AC |? 12 ? 4a, ?| AB | ? | AC |? 2a. ?

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,则 B(?c,0), D(a,0), C (c,0) . a 2 b2 由 BD ? 3DC ,得 c ? a ? 3(c ? a) ,即 c ? 2a .
y A

解之得 a ? 1 ,∴c ? 2, b ? 3 .

B

O

D

C

x

y2 ?1. 3 ??? ? ???? ? ???? (2) 设在 x 轴上存在定点 G(t ,0) ,使 BC ? (GM ? ?GN ) . 设直线 l 的方程为 x ? m ? ky , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) .
∴ 双曲线 E 的方程为 x2 ?
???? ???? 由 MP ? ? PN ,得 y1 ? ? y2 ? 0 . y 即? ? ? 1 ① y2 ??? ? ???? ? ???? ∵BC ? (4,0) , GM ? ?GN ? ( x1 ? t ? ? x2 ? ?t , y1 ? ? y2 ) , ??? ? ???? ? ???? ∴BC ? (GM ? ?GN ) ? x1 ? t ? ? ( x2 ? t ) . 即 ky1 ? m ? t ? ? (ky2 ? m ? t ) . ② 把① 代入② ,得 2ky1 y2 ? (m ? t )( y1 ? y2 ) ? 0 ③
B O

y

G

C

P N

x

M

y2 ? 1 并整理得 (3k 2 ? 1) y 2 ? 6kmy ? 3(m2 ? 1) ? 0 3 1 其中 3k 2 ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,即 k 2 ? 且 3k 2 ? m 2 ? 1 . 3 2 ?6km 3(m ? 1) . y1 ? y 2 ? 2 , y y ? 1 2 3k ? 1 3k 2 ? 1 6k (m2 ? 1) 6km(m ? t ) 1 代入③ ,得 ? ? 0 ,化简得 kmt ? k .当 t ? 时,上式恒成立. 2 2 m 3k ? 1 3k ? 1 ??? ? ???? ? ???? 1 因此,在 x 轴上存在定点 G ( ,0) ,使 BC ? (GM ? ?GN ) . m
把 x ? m ? ky 代入 x2 ?


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