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凌源市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

凌源市民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知圆 C1:x +y =4 和圆 C2:x +y +4x﹣4y+4=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( A.x+y=0 B.x+y=2 C.x﹣y=2 D.x﹣y=﹣2 2. 如果 A.1 (m∈R,i 表示虚数单位),那么 m=( B.﹣1 C.2 ) D.0 )
2 2 2 2

姓名__________

分数__________


3. 设集合 A={x||x﹣2|≤2,x∈R},B={y|y=﹣x2,﹣1≤x≤2},则? R(A∩B)等于( A.R 4. B.{x|x∈R,x≠0} C.{0} D.? )

已知直线 a 平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,则(
B.与异面

A. a b

C.与相交 对称”是“θ=﹣

D.与无公共点 ”的( )

5. 若 f(x)=sin(2x+θ),则“f(x)的图象关于 x= A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6. 下面各组函数中为相同函数的是( A.f(x)= ,g(x)=x﹣1

B.f(x)=

,g(x)=

C.f(x)=ln ex 与 g(x)=elnx

D.f(x)=(x﹣1)0 与 g(x)= = ﹣

7. 如图,△ ABC 所在平面上的点 Pn(n∈N*)均满足△ PnAB 与△ PnAC 的面积比为 3;1, (2xn+1) ( ) (其中,{xn}是首项为 1 的正项数列),则 x5 等于

A.65

B.63

C.33

D.31

8. 命题“?x∈R,使得 x2<1”的否定是( A.?x∈R,都有 x <1
2

) B.?x∈R,使得 x2>1

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C.?x∈R,使得 x2≥1
2 2 2

D.?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1 )1111] D. [

9. 在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是( A. (0,

?
6

]

B. [

?
6

,? )

C. (0,

?
3

]

?
3

,? )

10.已知 f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数,且 f(x)>xf′(x)恒成立,则不等式 x2f( )﹣f(x) >0 的解集为( ) D.(2,+∞) ) A.(0,1) B.(1,2) C.(1,+∞)

11.已知直线 y=ax+1 经过抛物线 y2=4x 的焦点,则该直线的倾斜角为( A.0 B. C. D.

12.已知球的半径和圆柱体的底面半径都为 1 且体积相同,则圆柱的高为( A.1 B. C.2 D.4



二、填空题
13.若复数 z1 , z2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称,且 z1 ? 2 ? i ,则复数 ( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

z1 在复平面内对应的点在 | z1 |2 ? z2

A.第一象限

【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识,意在考查转化思想与计算能力. 14.i 是虚数单位,化简: = . .

15.已知集合 M={x||x|≤2,x∈R},N={x∈R|(x﹣3)lnx2=0},那么 M∩N= 抽到的概率都为 ,则总体的个数为
2 m2 ?2m?1

16.一个总体分为 A,B,C 三层,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 15 的样本,若 B 层中每个个体被 . 在区间 ?0,??? 上是增函数,则 m ? .

17.幂函数 f ( x) ? (m ? 3m ? 3) x

18.如图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温 的范围是.已知样本中平均气温不大于 22.5℃的城市个数为 11,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数 为 .

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三、解答题
19.已知数列{an}和{bn}满足 a1?a2?a3…an=2 (1)求 an 和 bn; (2)设 cn=
* (n∈N ),记数列{cn}的前 n 项和为 Sn,求 Sn.

(n∈N ),若{an}为等比数列,且 a1=2,b3=3+b2.

*

20.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 C1:

为参数),曲线 C2:

=1.

(Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)射线 θ= (ρ≥0)与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的交点为 B,求|AB|.

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21.在 (1)求 (2)若

中, 、 、 是 角 的大小; ,





所对的边, 是该三角形的面积,且

,求 的值。

22.在极坐标系内,已知曲线 C1 的方程为 ρ2﹣2ρ(cosθ﹣2sinθ)+4=0,以极点为原点,极轴方向为 x 正半轴 方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方程为 (Ⅰ)求曲线 C1 的直角坐标方程以及曲线 C2 的普通方程; (Ⅱ)设点 P 为曲线 C2 上的动点,过点 P 作曲线 C1 的切线,求这条切线长的最小值. (t 为参数).

23.为了培养学生的安全意识,某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动,共有 800 名学生参加了这次竞 赛.为了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计, 得到如下的频率分布表,请你根据频率分布表解答下列问题: (1)求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值; (2)为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识,成绩不低于 85 分的学生能获奖,请估计在参加的 800 名学生 中大约有多少名学生获奖?

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(3)在上述统计数据的分析中,有一项指标计算的程序框图如图所示,则该程序的功能是什么?求输出的 S 的值. 序号 (i) 1 2 3 4 合计 分组 (分数) 组中值 频数 (人数) ① 20 ③ ④ 50 频率 (Fi) 0.10 ② 0.20 ⑤ 1 (Gi) [60,70) 65 [70,80) 75 [80,90) 85 [90,100) 95

24.已知函数 f(x)=e﹣x(x2+ax)在点(0,f(0))处的切线斜率为 2. (Ⅰ)求实数 a 的值;

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(Ⅱ)设 g(x)=﹣x(x﹣t﹣ )(t∈R),若 g(x)≥f(x)对 x∈[0,1]恒成立,求 t 的取值范围; (Ⅲ)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=(1+ )an, 求证:当 n≥2,n∈N 时 f( )+f( )+L+f( )<n?( )(e 为自然对数的底数,e≈2.71828).

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凌源市民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】【分析】由题意可得圆心 C1 和圆心 C2,设直线 l 方程为 y=kx+b,由对称性可得 k 和 b 的方程组,解 方程组可得. 【解答】解:由题意可得圆 C1 圆心为(0,0),圆 C2 的圆心为(﹣2,2), 2 2 2 2 ∵圆 C1:x +y =4 和圆 C2:x +y +4x﹣4y+4=0 关于直线 l 对称, ∴点(0,0)与(﹣2,2)关于直线 l 对称,设直线 l 方程为 y=kx+b, ∴ ?k=﹣1 且 =k? +b,

解得 k=1,b=2,故直线方程为 x﹣y=﹣2, 故选:D. 2. 【答案】A 【解析】解:因为 而 所以,m=1. 故选 A. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的概念,两个复数相等,当且仅当实部等于实 部,虚部等于虚部,此题是基础题. 3. 【答案】B 【解析】解:A=[0,4],B=[﹣4,0],所以 A∩B={0},?R(A∩B)={x|x∈R,x≠0}, 故选 B. 4. 【答案】D 【解析】 试题分析:因为直线 a 平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,所以 a // b 或与异面,故选 D. 考点:平面的基本性质及推论. 5. 【答案】B 【解析】解:若 f(x)的图象关于 x= 则 2× +θ= +kπ, 对称, (m∈R,i 表示虚数单位), ,

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解得 θ=﹣ 反之成立,

+kπ,k∈Z,此时 θ=﹣

不一定成立,

即“f(x)的图象关于 x= 故选:B

对称”是“θ=﹣

”的必要不充分条件,

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合三角函数的对称性是解决本题的关键. 6. 【答案】D 【解析】解:对于 A:f(x)=|x﹣1|,g(x)=x﹣1,表达式不同,不是相同函数; 对于 B:f(x)的定义域是:{x|x≥1 或 x≤﹣1},g(x)的定义域是{x}x≥1},定义域不同,不是相同函数; 对于 C:f(x)的定义域是 R,g(x)的定义域是{x|x>0},定义域不同,不是相同函数; 对于 D:f(x)=1,g(x)=1,定义域都是{x|x≠1},是相同函数; 故选:D. 【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题,考查指数函数、对数函数的性质,是一道基础题.

7. 【答案】 D 【解析】解:由 得 设 +(2xn+1) = = , ﹣(2xn+1) , ,

以线段 PnA、PnD 作出图形如图,





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,∴ ,∴ ,

, ,





即 xn+1=2xn+1,∴xn+1+1=2(xn+1), 则{xn+1}构成以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,
4 ∴x5+1=2?2 =32,

则 x5=31. 故选:D. 【点评】本题考查了平面向量的三角形法则,考查了数学转化思想方法,训练了利用构造法构造等比数列,考 查了计算能力,属难题. 8. 【答案】D 【解析】解:命题是特称命题,则命题的否定是?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1, 故选:D. 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 9. 【答案】C 【 解 析 】

考点:三角形中正余弦定理的运用. 10.【答案】C 【解析】解:令 F(x)= ,(x>0),

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则 F′(x)=



∵f(x)>xf′(x),∴F′(x)<0, ∴F(x)为定义域上的减函数,
2 由不等式 x f( )﹣f(x)>0,

得:





∴ <x,∴x>1, 故选:C. 11.【答案】D
2 2 【解析】解:抛物线 y =4x 的焦点(1,0),直线 y=ax+1 经过抛物线 y =4x 的焦点,可得 0=a+1,解得 a=﹣1,

直线的斜率为﹣1, 该直线的倾斜角为: 故选:D. 【点评】本题考查直线的倾斜角以及直线的斜率的关系,抛物线的简单性质的应用,考查计算能力. 12.【答案】B 【解析】解:设圆柱的高为 h,则 V 圆柱=π×12×h=h,V 球= ∴h= . = , .

故选:B.

二、填空题
13.【答案】D 【 解 析 】

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14.【答案】 ﹣1+2i . 【解析】解: 故答案为:﹣1+2i. 15.【答案】 {1,﹣1} . =

【解析】解:合 M={x||x|≤2,x∈R}={x|﹣2≤x≤2}, N={x∈R|(x﹣3)lnx2=0}={3,﹣1,1}, 则 M∩N={1,﹣1}, 故答案为:{1,﹣1}, 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 16.【答案】 300 . 【解析】解:根据分层抽样的特征,每个个体被抽到的概率都相等, 所以总体中的个体的个数为 15÷ 故答案为:300. 【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题,是基础题目. 17.【答案】 【解析】 =300.

【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点: (1)若幂

?? ? R? 是偶函数,则 ? 必为偶数.当 ? 是分数时,一般将其先化为根式,再判断;(2)若幂函 ? 数 y ? x ?? ? R? 在 ? 0, ??? 上单调递增,则 ? ? 0 ,若在 ? 0, ??? 上单调递减,则 ? ? 0 ;(3)在比较幂值
函数 y ? x
?

的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 1 18.【答案】 9 . 【解析】解:平均气温低于 22.5℃的频率,即最左边两个矩形面积之和为 0.10×1+0.12×1=0.22,

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所以总城市数为 11÷0.22=50, 平均气温不低于 25.5℃的频率即为最右面矩形面积为 0.18×1=0.18, 所以平均气温不低于 25.5℃的城市个数为 50×0.18=9. 故答案为:9

三、解答题
19.【答案】 【解析】解: (1)设等比数列{an}的公比为 q,∵数列{an}和{bn}满足 a1?a2?a3…an=2 ∴ ∴b1=1,
3 2 又 b3=3+b2.∴2 =2q ,解得 q=2. n ∴an=2 . * (n∈N ),a1=2,



, =2q>0,

, =2q2,

∴ ∴ (2)cn=

=a1?a2?a3…an=2×22×…×2n= . = = = ﹣



, ﹣ +…+

∴数列{cn}的前 n 项和为 Sn=

=

﹣2

= = ﹣

﹣2+ ﹣1.

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、递推式的应用、“裂项求和”,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. 20.【答案】

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【解析】解:(Ⅰ)曲线 由 (Ⅱ)射线 射线 所以 21.【答案】 【解析】 解 : ( 1

2 2 为参数)可化为普通方程:(x﹣1) +y =1,

2 2 可得曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=2cosθ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ (1+sin θ)=2.

与曲线 C1 的交点 A 的极径为 与曲线 C2 的交点 B 的极径满足 .

, ,解得 ,







,即

(2)

22.【答案】 【解析】 【专题】计算题;直线与圆;坐标系和参数方程. 【分析】(Ⅰ)运用 x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,即可得到曲线 C1 的直角坐标方程,再由代入法,即可化 简曲线 C2 的参数方程为普通方程; (Ⅱ)可经过圆心(1,﹣2)作直线 3x+4y﹣15=0 的垂线,此时切线长最小.再由点到直线的距离公式和勾 股定理,即可得到最小值.
2 【解答】解:(Ⅰ)对于曲线 C1 的方程为 ρ ﹣2ρ(cosθ﹣2sinθ)+4=0, 2 2 可化为直角坐标方程 x +y ﹣2x+4y+4=0, 2 2 即圆(x﹣1) +(y+2) =1;

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曲线 C2 的参数方程为

(t 为参数),

可化为普通方程为:3x+4y﹣15=0. (Ⅱ)可经过圆心(1,﹣2)作直线 3x+4y﹣15=0 的垂线,此时切线长最小. 则由点到直线的距离公式可得 d= 则切线长为 = . . =4,

故这条切线长的最小值为

【点评】 本题考查极坐标方程、 参数方程和直角坐标方程、 普通方程的互化, 考查直线与圆相切的切线长问题, 考查运算能力,属于中档题. 23.【答案】 【解析】解:(1)由分布表可得频数为 50,故①的数值为 50×0.1=5, ②中的值为 =0.40,③中的值为 50×0.2=10, =0.30;

④中的值为 50﹣(5+20+10)=15,⑤中的值为 (2)不低于 85 的概率 P= ×0.20+0.30=0.40,

∴获奖的人数大约为 800×0.40=320; (3)该程序的功能是求平均数, S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82, ∴800 名学生的平均分为 82 分 24.【答案】
x 2 【解析】解:(Ⅰ)∵f(x)=e﹣ (x +ax), x 2 x x 2 ∴f′(x)=﹣e﹣ (x +ax)+e﹣ (2x+a)=﹣e﹣ (x +ax﹣2x﹣a);

则由题意得 f′(0)=﹣(﹣a)=2, 故 a=2.
x 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=e﹣ (x +2x),

由 g(x)≥f(x)得,
x 2 ﹣x(x﹣t﹣ )≥e﹣ (x +2x),x∈[0,1];

当 x=0 时,该不等式成立;
x 当 x∈(0,1]时,不等式﹣x+t+ ≥e﹣ (x+2)在(0,1]上恒成立, x 即 t≥[e﹣ (x+2)+x﹣ ]max.

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设 h(x)=e﹣ (x+2)+x﹣ ,x∈(0,1], h′(x)=﹣e﹣x(x+1)+1, h″(x)=x?e﹣x>0, ∴h′(x)在(0,1]单调递增, ∴h′(x)>h′(0)=0, ∴h(x)在(0,1]单调递增, ∴h(x)max=h(1)=1, ∴t≥1. (Ⅲ)证明:∵an+1=(1+ )an, ∴ = ,又 a1=1, ?…? =1? ?…? =n;

x

∴n≥2 时,an=a1? 对 n=1 也成立, ∴an=n.

∵当 x∈(0,1]时,f′(x)=﹣e﹣ (x ﹣2)>0, ∴f(x)在[0,1]上单调递增,且 f(x)≥f(0)=0. 又∵ f( )(1≤i≤n﹣1,i∈N)表示长为 f( ),宽为 的小矩形的面积, ∴ f( )< ∴ < [f( )+f( f(x)dx,(1≤i≤n﹣1,i∈N), )+…+f( )]= [f( )+f( )+…+f( )]

x

2

f(x)dx.

2 又由(Ⅱ),取 t=1 得 f(x)≤g(x)=﹣x +(1+ )x,

∴ ∴

f(x)dx≤

g(x)dx= +

, , ).

[f( )+f( )+…+f( )+f( )+…+f(

)]< + )<n( +

∴f(

【点评】本题考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力和运算求解能力,考查函数与方程的思想、化归 与转化的思想、数形结合的思想,考查运用数学知识分析和解决问题的能力.

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