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专题07 探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练(选修2-1解析

一、解答题 1. 【陕西省榆林市第二中学 2018 届高三上学期期中】 已知椭圆 的左右焦点分别为 , 离心率为 ;圆 过椭圆 的三个顶点.过点 且斜率不为 0 的直线与椭圆交于 两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)证明:在轴上存在定点 ,使得 为定值;并求出该定点的坐标. 【答案】 (1) (2) 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 设圆 过椭圆的上、 下、 右三个顶点, 可求得 可得椭圆的方程; (Ⅱ)设直线的方程为 , 再根据椭圆的离心率求得 , ,将方程与椭圆方程联立求得 。 设 两点的坐标,计算得 , 可 得 x 轴 上 的 定 点 为 ,由定值可得需满足 ,解得 可得定点坐标。 ∴椭圆的标准方程为 (Ⅱ)证明: 由题意设直线的方程为 由 消去 y 整理得 . , , 设 , , 要使其为定值,需满足 解得 . . , 故定点 的坐标为 点睛:解析几何中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个 关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意. 2. 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知离心率为 6 的椭圆 C 的一个焦点坐 3 标为 ? 2, 0 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 P ? 0,2? 的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 E、F ,求 PE ? PF 的取值范围. 【答案】 (1) ? ? x2 ? 9? ? y 2 ? 1 ;(2) PE ? PF ? ?3, ? 3 ? 2? 6 ,及一个焦点坐标为 ? 2, 0 ,求出基本量,可得椭圆 C 的标准 3 【解析】试题分析: (1)由离心率为 方程; ? ? (2)设出直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及向量数量积公式,即可求得 PE ? PF 的取值范围. x1 ? x2 ? ? 12k 9 , x1 x2 ? , 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 2 由 ? ? ?12k ? ? 36 1 ? 3k ? 2 ??0?k 2 ?1 PE ? PF ? ? x1 , y1 ? 2 ? ? ? x2 , y2 ? 2 ? ? 1 ? k 2 x1 x2 ? 2 由 k ? 1 知 PE ? PF ? ? 3, ? ; ? ? 9 ? 9k 2 2 ? ? ? 3 ?1 ? 2 2 ? 1 ? 3k ? 1 ? 3k ? ? 9? ? 2? 综上所述: PE ? PF ? ?3, ? . 【点睛】本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系,向量知识的运用,以及分析解决问题的能力, 其中灵活应用韦达定理是解题的关键 3. 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知抛物线 C : y ? mx ? m ? 0? 过点 2 ? 9? ? 2? ?1, ? 2? , 标为 ? P 是 C 上一点,斜率为 ?1 的直线 l 交 C 于不同两点 A, B ( l 不过 P 点) ,且 ?PAB 的重心的纵坐 2 . 3 (1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标; (2)记直线 PA, PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,求 k1 ? k2 的值. 【答案】 (1)方程为 y 2 ? 4 x ;其焦点坐标为 ?1,0 ? (2) k1 ? k2 ? 0 【解析】试题分析; (1)将 ?1, ?2 ? 代入 y 2 ? mx ,得 m ? 4 ,可得抛物线 C 的方程及其焦点坐标; 2 2 b ? 2)x ? b2 ? 0 ,利用韦达定理,结合斜 (2)设直线 l 的方程为 y ? ? x ? b ,将它代入 y ? 4 x 得 x2 ? ( 率公式以及 ?PAB 的重心的纵坐标 ? 2 ,化简可 k1 ? k2 的值; 3 因为 ?PAB 的重心的纵坐标为 ? 2 , 3 所以 y1 ? y2 ? y p ? ?2 ,所以 y p ? 2 ,所以 xp ? 1 , 所以 k1 ? k2 ? y1 ? 2 y2 ? 2 ? y1 ? 2?? x2 ? 1?? y2 ? 2 ?? x1 ? 1? , ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ?1?? x2 ?1? 又 ? y1 ? 2?? x2 ?1? ? ? y2 ? 2?? x1 ?1? ?? ? ? x1 ? ? b ? 2 ? ? ? ? x2 ? 1? ? ? ? ? x2 ? ? b ? 2 ? ? ? ? x1 ? 1? ? ?2x1x2 ? ?b ?1?? x1 ? x2 ? ? 2 ?b ? 2? ? ?2b2 ? 2 ?b ?1??b ? 2? ? 2 ?b ? 2? ? 0 . 所以 k1 ? k2 ? 0 . 4. 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知椭圆 x2 y 2 + ? 1 的长轴两端点为双曲 9 7 线 E 的焦点,且双曲线 E 的离心率为 (1)求双曲线 E 的标准方程; 3 . 2 (2)若斜率为 1 的直线 l 交双曲线 E 于 A, B 两点,线段 AB 的中点的横坐标为 4 2 ,求直线 l 的方程. 【答案】 (1) x2 2 ? ? 1 ;(2) x ? y ? 2 ? 0 4 5 x2 y 2 3 + ? 1 有公共焦点,且离心率为 .,求出基本量, 【解析】试题分析: (1)利用双曲线 E 与椭圆 2 9 7 即可求双曲线 E 的方程; (2)设直线 l 的方程为 y ? x ? t ,与双曲线 E 的方程联立,结合弦长公式,即可求 l 方程. (2)设直线 l 的方程为 y ? x ? t , x2 2 ? ?1 2 2 由{ 4 5

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