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函数的零点及二分法


T-方程的根与函数的零点
知识点概括: 1.函数零点的概念:对于函数 y ? 的零点。 2.函数零点与方程根的关系: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x轴 有点 ? 函数 y ?
f (x) 有零点.因此
f (x) ,我们把方程 f ( x) ? 0 的实数根叫做函数 y ? f (x)

判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程 f (x) ? 0 是否有实数根,有几 个实数根。函数零点的求法:解方程 f (x) ? 0 ,所得实数根就是 f (x) 的零点 3.函数零点的存在性定理: 如果函数 y ? f (x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那 么,函数 y ?
f (x) 在区间 (a, b) 内有零点,即存在 x0 ? (a, b) ,使得 f (x0) ? 0 ,这个 x0 也就是方

程 f (x) ? 0 的根。 但要注意:如果函数 y ? f (x) 在 [a, b] 上的图象是连续不断的曲线,且 x0 是函数在 这个区间上的一个零点,却不一定有 f (a) ? f (b) ? 0. 没有零点。 1. 对函数零点的理解及补充 (1)若 y ?
f (x) 在 x ? a 处其函数值为

注:若 f ( x) ? 0或f ( x) ? 0 恒成立,则

0,即 f (a) ? 0 ,则称 a 为函数 f ( x) 的零点。

(2) 一般结论: 函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 的实数根。 从图像上看, 函数 y ? f (x) 的零点,就是它图像与 x轴 交点的横坐标。

1

(3)更一般的结论:函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? g ( x) 的实数根,也就是 函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像交点的横坐标。 2.函数 y ? f (x) 零点个数(或方程 f ( x) ? 0 实数根的个数)确定方法 1)代数法:函数 y ? f (x) 的零点 ? f ( x) ? 0 的根; 2) (几何法) 对于不能用求根公式的方程, 可以将它与函数 y ? f (x) 的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点。 3)注意二次函数的零点个数问题
? ? 0 ? y ? f (x) 有 ? ? 0 ? y ? f (x) 有

2 个零点 ? f ( x) ? 0 有两个不等实根; 1 个零点 ? f ( x) ? 0 有两个相等实根 对于二次函数在区间 ? a, b ? 上的零点

? ? 0 ? y ? f (x) 无零点 ? f ( x) ? 0 无实根;

个数,要结合图像进行确定 3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。

2

为学习的方便, 在解一元二次不等式和一元二次方程时, 把二次项系数 a 化为正数,

(1) ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 恒成立 ? ?a ? 0 , ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 恒成立 ? ?a ? 0 ? ?
?? ? 0

?? ? 0

( 2 ) ax2 ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 R R ? ?a ? 0 或 ?a ? b ? 0 ? ?
?? ? 0 ?c ? 0

?a ? 0 ?a ? b ? 0 ?? 或? ? ? ? 0 ?c ? 0



ax2 ? bx ? c ? 0 的 解 集 为

(3)对于二次函数在区间 ? a, b ? 上的最值问题. 4)对于函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零点个数问题,可画出两个函数图像,看其交点个数有 几个,则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。 5)方程的根或函数零点的存在性问题,要以根据区间端点处的函数值乘积的正负 来确定,但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性,在给定的 区间上,如果函数是单调的,它至多有一个零点,如果不是单调的,可继续细分 出小的单调区间,再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负,作出正确的判 断。 6)要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。
3

例题精讲: 类型一:求函数零点 例 1、函数 f(x)=-x2+5x-6 的零点是( A.-2,3 B.2,3 C.2,-3 D.-2,-3 )

例 2、函数 f(x)=x3-x2-x+1 在[0,2]上( A.有两个零点 B.有三个零点 C.仅有一个零点 D.无零点

)

例 3、方程 log 3 (2 x ? 1) ? 1 的解 x ?

.

例 4、方程 9x ? 6 ? 3x ? 7 ? 0 的解是



T-二分法

4

4.用二分法求方程的近似解: (1)二分法的定义:对于在区间 [a, b] 上连续不断且 f (a) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断 地把函数 y ?
f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进

而得到零点的近似值的方法叫做二分法; (2) 用二分法求方程的近似解的步骤: ①确定区间 [a, b] ,验证 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精确度 ? ; ②求区间 (a, b) 的中点 c ; ③计算 f (c) ; (ⅰ)若 f (c) ? 0 ,则 c 就是函数的零点; (ⅱ) 若 f (a) ? f (c) ? 0 ,则令 b ? c (此时零点 x0 ? (a, c) ); (ⅲ) 若 f (c) ? f (b) ? 0 ,则令 a ? c (此时零点 x0 ? (c, b) )

④判断是否达到精确度 ? ,即 a ? b ? ? ,则得到零点近似值为 a (或 b );否则重复②至 ④步.

类型二:函数的零点分布: 例 1.下列函数图象与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求函数零点的是( )

5

例 2、(2013· 烟台)设 f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数 f(x)有零点的区间 是( ) A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0]

例 3、(2013· 天津,文)函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是( A.(-2,1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

)

例 4.设 x0 是方程 lnx+x=4 的解,则 x0 属于区间( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

)

1 例 5、函数 f(x)=lnx- 的零点的个数是( x-1 A.0 B.1
6

)

C.2 D.3 例 6.(2010· 天津,理)函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

)

例 7、函数 f(x)=3x-7+lnx 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n= ________.

例 8、若 f(x)的图象关于 y 轴对称,且 f(x)=0 有三个零点,则这三个零点之和 等于________.

例 9、已知函数 f(x)=4x+m·x+1 仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出 2 零点.

例 10、已知函数 f(x)=x2+ax+3-a,当 x∈[-2,2]时,函数至少有一个零点, 求 a 的范围.

7

例 11、 (山东卷文)若函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的 取值范围是 .

? ?2x-1,x>0, 例 12、已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则 ?-x -2x,x≤0, ?

实数 m 的取值范围是________.

巩固练习: 1.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下的 x,f(x)的对应表 x f(x)
8

1 136.1

2 15.55

3 -

4 10.88

5 -

6 -

3

2

3.92 )

52.488

232.064

则函数 f(x)存在零点的区间有(

A.区间[1,2]和[2,3] C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5]

B.区间[2,3]和[3,4] D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]

?2x-1,x≤1, ? 2.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点为( ?1+log2x,x>1, ?

)

1 A.2,0 1 C.2

B.-2,0 D.0 )

1 3. (2013· 天津模拟)函数 f(x)=-x+log2x 的一个零点落在下列哪个区间( A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4)

4、设 f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈[1,2]上近似解的 过程中,计算得到 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在的区间为( A.[1,1.25] C.[1.5,2] B.[1.25,1.5] D.不能确定 )

5.若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x)且 x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数 g(x)

9

?lg x?x>0?, =? 1 ?-x?x<0?,
A.5

则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为(

)

B.7 C.8

D.10

6、 用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时, 第一次经计算 f(0)<0, f(0.5)>0 可得其中一个零点 x0∈________,第二次应计算________.

7、若函数 f(x)=log2(x+1)-1 的零点是抛物线 y2=ax 的焦点的横坐标,则 a =________.

? 1 ? 8.若 A={a,0,-1},B=?c+b,b+a,1?,且 A=B,f(x)=ax2+bx+c. ? ?

(1)求 f(x)零点的个数; (2)当 x∈[-1,2]时,求 f(x)的值域; (3)若 x∈[1,m]时,f(x)∈[1,m],求 m 的值.

10

9. 对于函数 f(x)=x2+mx+n,若 f(a)>0,f(b)>0,则函数 f(x)在区间 (a,b)内( (A)一定有零点 (B)一定没有零点 点 (C)可能有两个零点

)

(D)至多有一个零

10、 已知函数 f ( x) ? ?

?2? x ? 1 ? f ( x ? 1)

x?0 ( x ? 0)

,

若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是(
11

)

(A)(-∞,0]

(B)(-∞,1)

(C)[0,1]

(D)[0,+∞)

11、在用二分法求方程 x3-2x-1=0 的一个近似解时,已经将一根锁定在区间(1,2) 内,则下一步可断定该根所在的区间为______.

12.某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划 第一年维修、保养费用 12 万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一 年增加 4 万元,该机床使用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床 的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值) ;

12

13


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