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2017届江苏苏州市高三暑假自主学习测试数学试题(解析版)


2017 届江苏苏州市高三暑假自主学习测试数学试题

一、填空题

2 1.设集合 M ? ?? 1,0,1?, N ? x x ? x ? 0 ,则 M ? N ?

?

?



【答案】 ?? 1,0? 【解析】试题分析:

N ? x x 2 ? x ? 0 =[-1,0]

?

?

,所以 M ? N ? ?? 1,0?

【考点】集合运算 【方法点睛】 1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确 集合类型,是数集、点集还是其他的集合. 2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解. 3.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集 合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点 值的取舍. 2.命题“ ?x ? 1 ,使得 x 2 ? 2 ”的否定是
2 【答案】 ?x ? 1 ,使得 x ? 2



【解析】 试题分析: 因为命题 “ ?p , 使得 q ” 的否定是 “ ?p , 使得 ?q ” , 所以命题 “ ?x ? 1 ,
2 2 使得 x ? 2 ”的否定是: ?x ? 1 ,使得 x ? 2

【考点】命题否定 3.已知 i 是虚数单位,复数 z 的共轭复数为 ? z ,若 2z = ? z ? 2 ? 3 i ,则 z ? 【答案】 2 ? i 【
2a ?






2b ? i


?a


2 ?b


3 i?




2 ?i




?a 2

z ? a ? bi(a, b ? R)


b?


2 ? a, ? b1 ?

,? a 2

?b

?3

?1 z

【考点】复数相等 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数 的 四 则 运 算 , 要 切 实 掌 握 其 运 算 技 巧 和 常 规 思 路 , 如

(a ? bi )(c ? di ) ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ,(a, b, c.d ? R) . 其次要熟悉复数相关基本概
念,如复数 a ? bi (a, b ? R) 的实部为 a 、虚部为 b 、模为 a ? b 、对应点为 (a , b) 、
2 2

共轭为 a ? bi. 4. 现有 4 名学生 A,B,C,D 平均分乘两辆车,则“A,B 两人恰好乘坐在同一辆车” 的概率为________.

1 【答案】 3
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【解析】 试题分析: 4 名学生 A, B, C, D 平均分乘两辆车共有六种坐法: (AB,CD) , (AC,BD) , (AD,BC) , (BC,AD),(BD,AC),(CD,AB) ,其中“A,B 两人恰好乘坐在同一辆车”包

2 1 = . 含两种坐法,因此所求概率为 6 3
【考点】古典概型概率 【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序” 与“无序”区别的题目,常采用树状图法. (3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽 象的题目具体化. (4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 5.曲线 y ? e x 在 x ? 0 处的切线方程是 【答案】 y ? x ? 1
0 ? x 【解析】试题分析:因为 y ? e ,所以在 x ? 0 处的切线斜率为 k ? e ? 1 ,因此切线方



程是 y ? 1 ? 1( x ? 0) ? y ? x ? 1 【考点】导数几何意义 【思路点睛】利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的 关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、 垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解. 6.如图是一个输出一列数的算法流程图,则这列数的第三项是 .

【答案】30 【解析】试题分析:第一次循环: a ? 3, n ? 2 ;第二次循环: a ? 3 ? 2 ? 6, n ? 3 ;第三 次循环: a ? 6 ? 5, n ? 4 ;因此这列数的第三项是 a ? 6 ? 5 ? 30. 【考点】循环结构流程图 【名师点睛】算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流 程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环 次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求 项. 7. 定义在 R 上的奇函数 f ? x ? , 当 x ? 0 时,f ? x ? ? 2 ? x , 则 f0 ) (
x 2

? f1? ? ? =



【答案】 ? 1 【解析】试题分析:因为

f ? x?

为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 所 以 f (0) ? 0 ,

第 2 页 共 19 页

f ? ?1? ? ? f (1) ? ?(2 ?1) ? ?1
【考点】奇函数性质

,因此

f (0) ? f ? ?1? ? ?1.

8.已知等差数列 {an } 的公差为 d,若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的方差为 8, 则 d 的值为 【答案】 ? 2



【解析】试题分析:因为 {an } 成等差数列,所以 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的均值为 a 3 ,所以方差

1 [(?2d )2 ? (?d )2 ? 0 ? (d )2 ? (2d )2 ] ? 2d 2 ? 8 ? d ? ?2. 5 为
【考点】等差数列性质,方差 【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等 比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前 提条件,有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧 用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 9.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm ,则三棱锥

A ? B1 D1 D 的体积为

cm3 .

【答案】3 【 解















1 1 1 1 1 VA? B1D1D ? VB1 ? AD1D ? ? S ?AD1D ? B1 A1 ? ? ? AD ? D1 D ? B1 A1 ? ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3. 3 3 2 3 2
【考点】三棱锥体积 【方法点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转 化为平面问题求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. 10.已知 ? ? (0,

3 π π 1 ) , ? ? ( , π ) , cos ? ? , sin(? ? ? ) ? ? ,则 cos ? = 2 2 3 5



4?6 2 15 【答案】 ?
? ? (0,
2 2 π 1 π 3π sin ? ? ) cos ? ? ? ? ? ?( , ) 3 2 , 2 2 , 3, 所以 ; 因为

【解析】 试题分析: 因为

3 4 3π sin(? ? ? ) ? ? ? 0 ? ? ? ? (? , ) cos(? ? ? ) ? ? 2 , 5 5 ,所以

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4 1 3 2 2 cos ? ? cos(? ? ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ? ? ? ? ? ? ? 5 3 5 3

?

4?6 2 15

【考点】三角函数求值

?1 ? , x ? 1, 11.已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f ( x) ? k ( x ? 1) 有两个不同的实 3 ?1 ? x ? 1, ? ?x ,
数根,则实数 k 的取值范围是 .

1 (0, ) 2 【答案】
, B(?1,0) ,由图可知 【解析】试题分析:作函数 y ? f ( x) 及 y ? k ( x ? 1) 图像, A(11),
要使关于 x 的方程 f ( x) ? k ( x ? 1) 有两个不同的实数根,须满足

1 k ? (0, k AB ) ? (0, ). 2

A

B

【考点】函数图像 【思路点睛】 (1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义 及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质. (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结 合图象研究. 12.圆心在抛物线 y ? 为 .

1 2 x 上,并且和该抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程 2

1 ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1 2 【答案】 y?
【解析】 试题分析:

1 2 x ? x 2 ? 2 y ? p ? 1. 2 由题意得圆心到抛物线的准线及 y 轴

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距 离 相 等 , 都 等 于 圆 半 径 , 设 圆 心 ( a, b) , 则 由 抛 物 线 定 义 得

b?

p 1 2 ? , a ? 2b ? 1 ? a ? ?1, r ?| a |? 1 2 2 , 因 此 圆 的 标 准 方 程 为

1 ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1 2
【考点】抛物线定义 【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处 理.本题中充分运用抛物线定义实施转化,其关键在于求圆心的坐标. 2.若 P(x0,y0)为抛物线 y =2px(p>0)上一点,由定义易得|PF|=x0+
2

p ;若过 2

焦点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2 可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数 形结合的方法类似地得到. 13 .已知点 P 是 ?ABC 内一点(不包括边界) ,且 AP ? m AB ? n AC , m, n ? R ,则

(m ? 2)2 ? (n ? 2)2 的取值范围是
9 ( ,8) 【答案】 2



【解析】试题分析:由题意得: m ? 0, n ? 0, m ? n ? 1 ,可行域为一个直角三角形 OAB 内部 , 其中 A(1, 0),B (0,1). 而 (m ? 2) ? (n ? 2) 表示点 C(2, 2)到可行域内点 (m, n) 距
2 2

| 2 ? 2 ? 1| 3 ? 2 2 ,因此取值范围是 离 平 方 , C(2, 2) 到 直 线 m ? n ? 1 距 离 为

9 (d 2 ,OC2 ) ? ( ,8). 2
【考点】向量表示,线性规划 【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线 是实线还是虚线, 其次确定目标函数的几何意义, 是求直线的截距、 两点间距离的平方、 直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范 围.

1 |a| ? b 取最小值时,实数 a 的值是 14.已知 a ? b ? 2, b ? 0 ,当 2 | a |
【答案】 ?2 【 解 析 】 试 题 分 析





1 | a| a?b | a| a b |a| 1 b |a| 3 ? ? ? ? ? ? ?? ?2 ? ? 2| a| b 4| a| b 4| a| 4| a| b 4 4| a| b 4 ,当且仅当
a ? 0, b |a| = 4 | a | b ,即 a ? ?2, b ? 4 时取等号
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【考点】基本不等式求最值 【易错点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满 足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数) 、“定”(不等式的另一边必须为 定值) 、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误. 二、解答题 15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b cos C ? c cos B ? 2a cos A . (1)求 A 的大小; ??? ? ???? (2)若 AB ? AC = 3 ,求△ABC 的面积.
A? π 3 3 (2) 2

【答案】 (1)

【解析】 试题分析: (1) 由正弦定理将边化为角:sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin A cos A ,
A ,解出 再根据两角和正弦公式得 sin A ? 2 sinA cos ??? ? ???? AB ? AC =cbcosA= 3 , 即 bc ? 2 3 , 再 根 据 三 角 形 面 积 公 式 得

A?

π 3 ( 2 )根据向量数量积得

S = 1 bc sin A ? 1 ? 2 3 sin 60? ? 3 2 2 2

试题解析:解: (1) 法一:在△ABC 中,由正弦定理,及 b cos C ? c cos B ? 2a cos A , 得 sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin A cos A , 即 sin A ? 2sin A cos A ,

因为 A ? (0,π) ,所以 sin A ? 0 ,所以
A? π 3.

cos A ?

1 2,

所以

解法二:在△ABC 中,由余弦定理,及 b cos C ? c cos B ? 2a cos A ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a ? b ? c ? c a ? c ? b ? 2a b ? c ? a 2ab 2ac 2bc 得 ,
2 2 2 所以 a ? b ? c ? bc ,

2 2 2 cos A ? b ? c ? a ? 1 2bc 2, 所以

A? π 3. 因为 A ? (0,π) ,所以 ??? ? ??? ? (2)由 AB ? AC =cbcosA= 3 ,得 bc ? 2 3 ,

S = 1 bc sin A ? 1 ? 2 3 sin 60? ? 3 2 2 2. 所以△ABC 的面积为

【考点】正弦定理,向量数量积,三角形面积公式 【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支,内容繁杂,且平面向量 第 6 页 共 19 页

与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进 行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,都会出现交汇问题中的难点,对 于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”, 再利用三角函数的相关知识进行求解. 16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD , 且 PA ? PD ?

2 AD ,若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2

(1)求证: EF ∥平面 PAD ; (2)求证: EF ? 平面 PDC . 【答案】 (1)详见解析(2)详见解析 【解析】试题分析: (1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出 发给予证明,而线线平行的寻找与论证,往往需结合平几条件,如三角形中位线定理得 (2)证明线面垂直,一般利用线面垂直判定定理,即从线线垂直出发给予证明,而线 线垂直的证明,不仅需多次利用线线垂直判定与性质定理,而且还需将面面垂直转化为 线面垂直,有时还需结合平几条件论证线线垂直.本题先根据面面垂直性质定理,转化 为线面垂直,再利用勾股定理论证线线垂直,最后结合线面垂直性质与判定定理进行论 证 试题解析:证明: (1)连结 AC,因为正方形 ABCD 中 F 是 BD 的中点,则 F 是 AC 的中 点,又 E 是 PC 的中点,在△ CPA 中,EF∥PA 且 PA ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,∴EF∥平面 PAD (2)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD ? 平面 ABCD,又 CD⊥AD, 所以 CD⊥平面 PAD, 又 PA ? 平面 PAD,∴CD⊥PA ,因为 EF//PA, ∴CD⊥EF

? 2 ?APD ? 2 ,即 PA⊥PD 又 PA=PD= 2 AD,所以△PAD 是等腰直角三角形,且
又 EF//PA, ∴PD⊥EF 而 CD∩PD=D,∴ PA⊥平面 PDC,又 EF∥PA,所以 EF⊥平面 PDC 【考点】线面平行判定定理,线线垂直判定与性质定理,面面垂直性质定理 【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. 17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点 a2 b2

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分别为 F1 , F2 ,点 P (3,1) 在椭圆上, ?PF 1 F2 的面积为 2 2

(1)① 求椭圆 C 的标准方程; ② 若 ?F 1QF2 ?

? ,求 QF 1 ? QF 2 的值. 3

(2)直线 y ? x ? k 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆经过坐标原点,求 实数 k 的值.

x2 y2 16 ? ?1 【答案】 (1)① 12 4 ,② 3 , (2) k ? ? 6
【解析】试题分析: (1)①求椭圆标准方程,一般根据条件联立两个独立条件,解对应
1 F2 的面积为 2 2 得两个条件: 方程组即可,本题利用 P (3,1) 在椭圆上及, ?PF

9 1 ? 2 ?1 2 2 2 a b , c ? 2 2 ,解得 a ? 12, b ? 4 ②解焦点三角形,一般利用余弦定理结
合 椭 圆 定 义 进 行 化 简 :

QF12 ? QF22 ? QF1 ? QF2 ? (2c)2 ? (QF1 ? QF2 )2 ? 3QF1 ? QF2 ? (2c)2 ? (2a)2 ? 3QF1 ? QF2 ? (2c)2
??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,再联立直线方程 (2)以 AB 为直径的圆经过坐标原点等价于
与椭圆方程的方程组,结合韦达定理代入化简求实数 k 的值.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 试题解析:解: (1)① 由条件,可设椭圆的标准方程为 a ,
9 1 ? 2 ?1 2 b 可知 a ,c ? 2 2
2 2 2 又a ?b ?c ,

所以 a ? 12, b ? 4 ,
2 2

x2 y2 ? ?1 所以椭圆的标准方程为 12 4

? ?QF1 ? QF2 ? 2a ? 4 3, ? 2 ?? ?QF ? QF22 ? QF1 ? QF2 ? (2c) 2 ? 32 3 ② 当 时,有 ? 1

?

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所以

QF1 ? QF2 ?

16 3

? x2 y2 ? ? ?1 ?12 4 2 2 ? y ? x?k (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? ,得 4 x ? 6kx ? 3k ? 12 ? 0

3k 3k 2 ? 12 k 2 ? 12 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , y1 y2 ? 2 4 4 ,
因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点,则 OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? k ? 6 ? 0 ,
2

解得 k ? ? 6 ,此时 ? ? 120 ? 0 ,满足条件 因此 k ? ? 6 【考点】椭圆标准方程,椭圆定义,直线与椭圆位置关系 18.如图,某城市小区有一个矩形休闲广场, AB ? 20 米,广场的一角是半径为 16 米 的扇形 BCE 绿化区域,为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松,现决定在广场上 安置两排休闲椅,其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅 MN (宽度不计) ,点 M 在 线段 AD 上, 并且与曲线 CE 相切; 另一排为单人弧形椅沿曲线 CN(宽度不计) 摆放. 已 知双人 靠背直排椅的造价每米 为 2 a 元,单人弧形椅的造 价每米为 a 元,记锐 角 ?NBE ? ? ,总造价为 W 元.

(1)试将 W 表示为 ? 的函数 W (? ) ,并写出 cos ? 的取值范围; (2)如何选取点 M 的位置,能使总造价 W 最小.

W (? ) ? 2a ?
【答案】 (1)

20 ? 16 cos ? ? 4 ? 16a( ? ? ), cos ? ? (0, ) 5 (2) AM ? 4 3 sin ? 2 CN ? 16(

?
2

?? )


【解析】试题分析: (1)总造价由两部分组成,根据弧长公式可求得

而切线长 MN 需构造直角三角形或借助坐标求解,最后由线段长为正,可得 cos ? 的取 值范围(2)利用导数求函数最值,先求导数,确定导函数零点,列表分析函数单调性 变化趋势,确定极值点,即最值点. 试题解析:解: (1)过 N 作 AB 的垂线,垂足为 F ;过 M 作 NF 的垂线,垂足为 G .

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D

C N G E F B

M A

在 RT ?BNF 中, BF ? 16 cos ? ,则 MG ? 20 ? 16 cos ?

在 RT ?MNG 中,

MN ?

20 ? 16 cos ? sin ? ,

CN ? 16(
由题意易得

?
2

?? )

W (? ) ? 2a ?
因此,

20 ? 16 cos ? ? ? 16a( ? ? ), sin ? 2

4 cos ? ? (0, ) 5 W, (? ) ? ?16a ? 8a
(2)

4 ? 5cos ? (2 cos ? ? 1)(cos ? ? 2) =8a 2 sin ? sin 2 ?

令 W (? )=0 ,


cos ? ?

? 1 ? (?1 , ) ?? 2 ,所以 2 ,因为 3 ,
4 ? ?1 ? (0, ) 3 5,

设锐角 ? 1 满足

cos ?1 ?



? ? ? (?1 , )

, 3 时, W (? )<0 , W (? ) 单调递减;

? ? ? ?( , )


, 3 2 时, W (? )>0 , W (? ) 单调递增.

??
所以当

?
3
,总造价 W 最小,最小值为

(16 3 ?

8? )a 3 , 此 时 MN ? 8 3 ,

NG ? 4 3 , NF ? 8 3 ,因此当 AM ? 4 3 米时,能使总造价最小.
【考点】利用导数求函数最值 【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用 f′(x)>0 或 f′(x) <0 求单调区间;第二步:解 f′(x)=0 得两个根 x1、x2;第三步:比较两根同区间端 点的大小;第四步:求极值;第五步:比较极值同端点值的大小. 19.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2 , an?1 =3an ? 2n ?1 . (1)求证:数列 ?an +n? 为等比数列;

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(2) 记 bn ? an ? ( 1 ?? ) n ,且数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若 T3 为数列 ?Tn ? 中的最小项, 求 ? 的取值范围.

9?? ?
【答案】 (1)详见解析(2)

81 4

【解析】试题分析: (1)证明等比数列,一般从定义出发,即证明相邻两项的比值为非

an?1 ? n ? 1 ?3 a ? 0 , a ? n ? 0 a ? n n n n 零常数,先说明非零: ,再证比值为常数: (2)先
求等比数列通项

an +n ? 3n , 从 而 得 到 bn ? 3n ? n? , 再 根 据 分 组 求 和 得

3 n(n ? 1) Tn ? (3n ? 1) ? ? ?T ? T 2 2 ,将条件: 3 为数列 n 中的最小项,转化为对应不等式
恒成立问题,最后结合变量分离法将其转化为对应函数最值问题 试题解析:解(1)∵

an?1 =3an ? 2n ?1 ,∴ an?1 ? n ? 1 ? 3(an ? n) .

an?1 ? n ? 1 ?3 a ? 0 , a ? n ? 0 a ? 2 a ? n n n 1 n 又 ,∴ ,故 ,

??a n ?n?

是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列

(2)由(1)知道

an +n ? 3n ,?bn ? 3n ? n? .

3 n(n ? 1) ?Tn ? 31 ? 32 ? L ? 3n ? (1 ? 2 ? 3 ? L ? n)? ? (3n ? 1) ? ? 2 2 . 3 n n(n ? 1) (3 ? 1) ? ? ? 39 ? 6? T ?T ? 2 若 3 为数列 n 中的最小项,则对 ?n ? N 有 2 恒成立
*

即3

n?1

? 81 ? (n2 ? n ?12)? 对 ?n ? N* 恒成立
T1 ? T3 ? ? ? 36 5 ;

1 当 n ? 1 时,有
?

2? 当 n ? 2 时,有 T2 ? T3 ? ? ? 9 ;
2 3? 当 n ? 4 时, n ? n ?12 ? (n ? 4)(n ? 3) ? 0 恒成立,

?? ?

3n?1 ? 81 n 2 ? n ? 12 对 ?n ? 4 恒成立.

f ( n) ?
令 恒成立,

3n?1 (2n 2 ? 26) ? 162(n ? 1) 3n ?1 ? 81 f ( n ? 1 ) ? f ( n ) ? ?0 (n 2 ? 3n ? 10)(n 2 ? n ? 12) n 2 ? n ? 12 ,则 对 ?n ? 4

第 11 页 共 19 页

? f ( n) ?

3n ?1 ? 81 n 2 ? n ? 12 在 n ? 4 时为单调递增数列.

?? ? f (4) ,即

??

81 4 .

9?? ?
综上,

81 4 .

【考点】等比数列定义,等比数列通项与求和,不等式恒成立 【方法点睛】 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法, 其他方法只用于选择、 填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列 即可. 等比数列的判定方法 20.已知函数 f ( x) ? x ? ln x, g ( x) ? x2 ? ax . (1)求函数 f ( x ) 在区间 ?t , t ? 1? (t ? 0) 上的最小值 m(t ) ; (2) 令 hx () ? gx () f ( x ? ,)Ax ( , hx ( ,) ( Bx ,1( hx )1 两点,且满足
2 2

( x1 ? x2 ) 是函数 h( x) 图象上任意

h( x1 ) ? h( x2 ) ? 1, 求实数 a 的取值范围; x1 ? x2
a ? g ( x) 成立,求实数 a 的最大值. x

(3)若 ?x ? (0,1] ,使 f ( x ) ?

【答案】 (1)当 0 ? t ? 1 时, m(t ) ? 1 ;当 t ? 1 时, m(t ) ? t ? ln t .(2) a ? 2 2 ? 2 (3) 1 .

f ?( x) ? 1 ?
【解析】试题分析: (1)先求导数

1 x ,再求导函数零点 x ? 1 ,根据零点与

?t, t ?1? 上单调递增,当 定义区间位置关系分类讨论函数单调性:当 t ? 1 时, f ( x ) 在
0 ? t ? 1 时, f ( x) 在区间 ? t ,1? 上为减函数,在区间 ?1, t ?1? 上为增函数,最后根据单
调性确定函数最小值(2)先转化不等式

h( x1 ) ? h( x2 ) x ? x2 , 则 ? 1, 不 妨 取 1 x1 ? x2

h( x ( x 1 )? h( x 2 )? x 1? x 2, 即 h( x 1 )? x 1 ? h 2 )? x 2 成 立 , 即 F ( x) ? h( x) ? x 在 恒
(0, ??) 上单调递增,然后利用导数研究函数单调性:F ?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立.最后
利用变量分离转化为对应函数最值,求参数.(3)不等式有解问题与恒成立问题一样,

a?
先利用变量分离转化为对应函数最值,

2 x 2 ? x ln x x ?1 的最大值,再利用导数求函数

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t ( x) ?

2 x 2 ? x ln x x ?1 的最值,这要用到二次求导,才可确定函数单调性: t ( x) 在 (0,1] 上

单调递增,进而确定函数最值

f ?( x) ? 1 ?
试题解析:解(1)

1 x ,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? 1 ,

?t, t ?1? 上单调递增, 当 t ? 1 时, f ( x ) 在
f ( x) 的最小值为 f (t ) ? t ? ln t ;

?t,1? 上为减函数,在区间 ?1, t ?1? 上为增函数, 当 0 ? t ? 1 时, f ( x ) 在区间
f ( x) 的最小值为 f (1) ? 1 .
综上,当 0 ? t ? 1 时, m(t ) ? 1 ;当 t ? 1 时, m(t ) ? t ? ln t .
2 x , x ? (0, ??) , 不 妨 取 x1 ? x2 , 则 ( 2 ) h( x) ? x ? (a ? 1) x ? ln x , 对 于 任 意 的 1 2

x1 ? x2 ? 0 ,
h( x1 ) ? h( x2 ) ? 1, h( x1 ) ? h( x2 ) ? x1 ? x2 , x1 ? x2 则由 可得
变形得

h( x1 ) ? x1 ? h( x2 ) ? x2 恒成立,
2

令 F ( x) ? h( x) ? x ? x ? (a ? 2) x ? ln x , 则 F ( x) ? x ? (a ? 2) x ? ln x 在 (0, ??) 上单调递增,
2

F ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?


1 ?0 x 在 (0, ??) 恒成立,

? 2x ?

1 ? ( a ? 2) x 在 (0, ??) 恒成立. 1 2 ?2 2 x? x 2 时取 " ? " , ,当且仅当

? 2x ?

?a ? 2 2 ? 2 .
? f ( x) ?
(3)

a ? g ( x) x ,

? a( x ? 1) ? 2 x2 ? x ln x .

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? x ? (0,1] ,? x ? 1? (1, 2] ,??x ? (0,1] 使得

a?

2 x 2 ? x ln x x ?1 成立.

t ( x) ?


2 x 2 ? 3x ? ln x ? 1 2 x 2 ? x ln x t ?( x) ? ( x ? 1)2 x ?1 ,则 ,
y? ? ( x ? 1)(4 x ? 1) 1 ?0 x? x 4 或 x ? ?1 (舍) 可得

2 令 y ? 2 x ? 3x ? ln x ? 1,则由

1 1 x ? (0, ) (0, ) 2 4 时 y? ? 0 ,则 y ? 2 x ? 3x ? ln x ? 1在 4 上单调递减; 当 1 1 x ? ( , ??) ( , ??) 2 ? 4 当 时 y ? 0 ,则 y ? 2 x ? 3x ? ln x ? 1在 4 上单调递增. ? y ? ln 4 ? 1 ?0 8

? t ?( x) ? 0 在 x ? (0,1] 上恒成立.

? t ( x) 在 (0,1] 上单调递增.
? a ? t (1) ,即 a ? 1 .

? 实数 a 的最大值为 1 .
【考点】利用导数研究函数单调性,利用导数求函数最值 【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 (1)分离参数法:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导 数求该函数的最值, 根据要求得所求范围.一般地, f (x) ≥a 恒成立, 只需 f (x) min≥a 即可;f(x)≤a 恒成立,只需 f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法:将不等式转化 为某含待求参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的极值(最值) ,然后构建不等 式求解. 21.选修 4—1:几何证明选讲 如图,?ABC 是圆 O 的内接三角形, PA 是圆 O 的切线, A 为切点, PB 交 AC 于点 E , PB ? 9 ,求 EC . 交圆 O 于点 D ,若 PE ? PA , ?ABC ? 60? ,且 PD ? 1,

【答案】4 【解析】试题分析:求线段长,一般利用切割线定理及相交弦定理进行求解:由切割线
2 定理有 PA ? PD ? PB ? 9 ,易得 △ PAE 为等边三角形,从而可得 EA,EB,ED 的值,

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最后由相交弦定理有: EC ? EA ? EB ? ED ,得 EC ? 12 ? 3 ? 4 . 试题解析:解:弦切角 ?PAE ? ?ABC ? 60? ,又 PA ? PE ,
2 所以 △ PAE 为等边三角形,由切割线定理有 PA ? PD ? PB ? 9 ,

所以 AE ? EP ? PA ? 3 , ED ? EP ? PD ? 2 , EB ? PB ? PE ? 6 , 由相交弦定理有: EC ? EA ? EB ? ED ? 12 , EC ? 12 ? 3 ? 4 . 【考点】切割线定理及相交弦定理 【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 (1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论; (2)当比例式(等积式)中的线段分别 在两个三角形中时,可转化为证明三角形相似,一般思路为“相似三角形→比例式→等 积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换,解题时应灵活把握. 2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:如线段成比例与相似三角形、 圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等. 22.选修 4—2:矩阵与变换 已知 ? ? ? ? 为矩阵 A ? ?

? 2? ?1 ?

? 1 a? 2 属于 ? 的一个特征向量,求实数 a , ? 的值及 A . ? ??1 4 ?

? ?1 10? A2 ? ? ? ??5 14? 【答案】 a ? ? ? 2 , ? 1 a ? ? 2? ? 2? ? ? ??1 4 ? ?1 ? ?1 ? ?? ? ? ? ,解得 【解析】试题分析:由特征值及对应特征向量关系得 ? ? ?1 10? A2 ? ? ? a ? ? ? 2 ,再根据矩阵运算得 ??5 14? ? 1 a ? ? 2? ? 2? ??1 4 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ?? ? ? ?, 试题解析:解:由条件可知 ? ?2 ? a ? 2? ? ?2 ? 4 ? ? ,解得 a ? ? ? 2 . ∴? ? 1 2? ? 1 2? ? 1 2? ? ?1 10? A?? A2 ? ? ? ? ??1 4? ? ??5 14? ? 1 4 ? 1 4 ? ? ? ?? ? ? ?. 因此 ,所以
【考点】特征值与特征向量 23.选修 4—4:坐标系与参数方程 自极点 O 任意作一条射线与直线 ? cos? ? 3 相交于点 M,在射线 OM 上取点 P,使得
OM ? OP ? 12 ,求动点 P 的极坐标方程,并把它化为直角坐标方程.
2 2 【答案】 ? ? 4cos? , x ? y ? 4 x ? 0

【解析】试题分析:相关点法求动点轨迹方程:设出动点与相关点的坐标 P ( ? ,? ) ,M

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12
( ? ?,? ) , 列 出 关 系 ?? ? ? 12 , 代 入 相 关 点 方 程 ? ? cos? ? 3 , 解 得 ?

? cos ? ? 3
,即

? ? 4 cos ? ,最后根据 x ? ? cos ? , y ? ? s i? n 将极坐标方程化为直角坐标方程:
x2 ? y 2 ? 4 x ? 0

? 试题解析:解:设 P ( ? ,? ) ,M ( ? ,? ) , ? ∵ OM ? OP ? 12 ,∴ ?? ? 12 .

12
? ∵ ? cos? ? 3 ,∴ ?

? cos ? ? 3


则动点 P 的极坐标方程为 ? ? 4cos? . ∵极点在此曲线上,∴方程两边可同时乘 ? ,
2 得 ? ? 4? cos? .

2 2 ∴ x ? y ? 4x ? 0 .

【考点】相关点法求动点轨迹方程,极坐标方程化为直角坐标方程 24.选修 4—5:不等式选讲 已知: a≥2 ,x ? R.求证: | x ? 1 ? a | ? | x ? a | ≥3 . 【答案】详见解析 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 绝 对 值 三 角 不 等 式 得

| x ? 1 ? a | ? | x ? a |≥|x ? 1 ? a ? ( x ? a) |=| 2a ? 1| ,而 a ≥2,故|2a ? 1| ≥3.
试题解析:解:证明:因为|m|+|n|≥|m-n|,

|=| 2a ? 1| . 所以 | x ? 1 ? a | ? | x ? a |≥|x ? 1 ? a ? ( x ? a)
又 a ≥2,故|2a ? 1| ≥3. 所以 | x ? 1 ? a | ? | x ? a | ≥3 . 【考点】绝对值三角不等式 【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是 利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将 绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化 化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向. 25.在公园游园活动中有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球,乙箱 子里装有 1 个白球和 2 个黑球,这些球除颜色外完全相同;每次游戏都从这两个箱子里 各随机地摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回 原箱) (1)求在一次游戏中摸出 3 个白球的概率; (2)在两次游戏中,记获奖次数为 X ,求 X 的数学期望.
1 7 E( X ) ? 5 5 【答案】 (1) , (2)

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【解析】试题分析: (1)一次游戏中摸出 3 个白球,必然是从甲箱中摸出 2 个白球,乙
1 C32 C2 1 ? 2 2 C5 C3 5

箱中摸出 1 个白球 1 个黑球,利用组合数计算概率:

(2)先确定随机变量取

法 0,1,2,再求一次游戏中不获奖的概率:一次游戏中摸出 0 个白球,必然是从甲箱 中摸出 2 个黑球,乙箱中摸出 2 个黑球;一次游戏中摸出 1 个白球,一是从甲箱中摸出 1 个白球 1 个黑球,乙箱中摸出 2 个黑球,二是从甲箱中摸出 2 个黑球,乙箱中摸出 1
2 2 1 1 2 1 C2 C2 +C3 C2 +C2 C2 3 ? 10 C52 C32

个白球 1 个黑球,即

,两次游戏相当于两次独立重复试验,因此

X ~ B(2,

7 ) 10

试题解析:解: (1)记“在一次游戏中摸出 3 个白球”为事件 A .
P( A) ?
1 C32 C2 1 ? 2 2 C5 C3 5



1 故在一次游戏中摸出 3 个白球的概率 5 .

(2) X 的所有可能取值为 0,1,2
P( X ? 0) ? 3 3 9 3 21 7 7 49 1 7 ? ? , P( X ? 1) ? C2 ? ? , P( X ? 2) ? ? ? 10 10 100 10 10 50 10 10 100 .

X 的分布列为
X

0
9 100

1
21 50

2
49 100

P

········8 分 故 X 的数学期望
E( X ) ? 0 ? 9 21 49 7 ? 1? ? 2 ? ? 100 50 100 5 .

······10 分

X ~ B(2,
(或:∵

7 7 7 ) E( X ) ? 2 ? ? 10 5 ,同样给分) 10 ,∴

【考点】概率分布与数学期望 【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为: 第一步是“判断取值”, 即判断随机变量的所有可能取值, 以及取每个值所表示的意义; 第二步是“探求概率”, 即利用排列组合、 枚举法、 概率公式 (常见的有古典概型公式、 几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率 公式等) ,求出随机变量取每个值时的概率; 第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的 分布列或某事件的概率是否正确; 第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于 有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 X~ B(n,p) ) ,则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np) 求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度. 26.已知抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,点 R(1, 2) 在抛物线 C 上.

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y
M B N O Q R

x

A

(1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 Q(1,1)作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A,B.若直线 AR,BR 分别交直 线 l : y ? 2 x ? 2 于 M,N 两点,求线段 MN 最小时直线 AB 的方程. 【答案】 (1) y ? 4 x (2) x ? y ? 2 ? 0
2

【解析】试题分析: (1)将点的坐标代入抛物线方程求参数 p ? 2 ,即得抛物线方程为

y 2 ? 4x (2)关键表示出线段 MN,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则由题意可得直线 AR,BR
2 2 4 4 xM ? ? xN ? ? y1 , y2 , 因 此 y ? 2 , y2 ? 2 , 再 根 据 两 直 线 交 点 得 斜率为 1 | MN |? 5 | xM ? xN | =2 5 | y1 ? y2 | y1 y2 ,最后利用直线 AB 方程与抛物线方程联立方程

| MN |? 2 5
组,结合韦达定理化简得

m2 ? m ? 1 | m ? 1| ,最后根据求函数最值方法求最值.
2

试题解析:解: (1)将 R(1,2) 代入抛物线中,可得 p ? 2 ,所以抛物线方程为 y ? 4 x (2)设 AB 所在直线方程为 x ? m( y ? 1) ? 1(m ? 0) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 与抛物线联立

? y2 ? 4x ? ? x ? my ? m ? 1 得:
y 2 ? 4my ? 4(m ?1) ? 0 ,所以 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? 4(m ?1)
设 AR :

y ? k1 ( x ?1) ? 2 ,
y ? 2 y1 ? 2 4 k1 ? 1 ? 2 ? k1 x1 ? 1 y1 y1 ? 2 xM ? ?1 k1 ? 2 ,而 4 得



? y ? k1 ( x ? 1) ? 2 ? ? y ? 2x ? 2
xM ? ?

可得

2 2 xN ? ? y1 ,同理 y2

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所以

| MN |? 5 | xM ? xN |? 2 5

m2 ? m ? 1 | m ? 1|

令 m ? 1 ? t (t ? 0) ,则 m ? t ? 1

1 1 3 | MN |? 5 | xM ? xN |? 2 5 ( ? ) 2 ? ? 15 t 2 4 所以
此时 m ? ?1 , AB 所在直线方程为: x ? y ? 2 ? 0 【考点】抛物线方程,直线与抛物线位置关系

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