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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(五十六) 8.8曲线与方程


课时提升作业(五十六)
曲线与方程 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.方程(x2+y2-4) =0 的曲线形状是 ( ) 60 分)

【解析】选 C.原方程可化为

或 x+y+1=0.

显然方程表示直线 x+y+1=0 和圆 x2+y2-4=0 在直线 x+y+1=0 的右上方部 分,故选 C. 【误区警示】本题易忽视 x+y+1≥0,而误认为 x2+y2-4=0 是一个完整的 圆,从而错选 A. 2.已知定点 A(2,0),它与抛物线 y2=x 上的动点 P 连线的中点 M 的轨迹 方程为 ( A.y2=2(x-1) C.y2=x-1 B.y2=4(x-1) D.y2= (x-1) )

【解析】选 D.设 P(x0,y0),M(x,y),则 即

-1-

故点 P 的坐标为(2x-2,2y), 由点 P 在抛物线 y2=x 上得(2y)2=2x-2, 整理得 y2= (x-1).故选 D. 【加固训练】长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 分别在 x 轴、y 轴上移动, 则 AB 中点 C 的轨迹是 A.线段 B.圆 ( ) C.椭圆 D.双曲线

【解析】选 B.设 C(x,y),A(a,0),B(0,b), 则 x= ,y= ,即 a=2x,b=2y. 代入 a2+b2=9,得 4x2+4y2=9,即 x2+y2= . 3.(2015·咸阳模拟)设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴 的正半轴交于 A,B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点.若 =2 ,且 · =1,则点 P 的轨迹方程是 ( )

A. x2+3y2=1(x>0,y>0) B. x2-3y2=1(x>0,y>0) C.3x2- y2=1(x>0,y>0) D.3x2+ y2=1(x>0,y>0) 【解题提示】利用点 Q 与点 P 关于 y 轴对称求得 Q 点的坐标,然后利用 =2 , · =1 即可求出点 P 的轨迹方程.

【解析】选 A.设 A(a,0),B(0,b),a>0,b>0. 由 =2 ,得(x,y-b)=2(a-x,-y),

即 a= x>0,b=3y>0. 点 Q(-x,y),故由 · =1,

-2-

得(-x,y)·(-a,b)=1,即 ax+by=1. 将 a,b 代入 ax+by=1 得所求的轨迹方程为 x2+3y2=1(x>0,y>0). 4.(2015·长春模拟)设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定 点,Q 为圆周上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 点 M 的轨迹方程为 ( A. C. =1 =1 B. D. + + =1 =1 )

【解析】选 D.因为 M 为 AQ 垂直平分线上一点, 则|AM|=|MQ|, 所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5, 故点 M 的轨迹为椭圆. 所以 a= ,c=1,则 b2=a2-c2= , 所以椭圆的标准方程为 + =1.

【加固训练】如图所示,A 是圆 O 内一定点,B 是圆周上一个动点,AB 的 中垂线 CD 与 OB 交于点 E,则点 E 的轨迹是 ( )

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

-3-

【解析】选 B. 由题意知 ,|EA|+|EO|=|EB|+|EO|=r(r 为圆的半径 ) 且 r>|OA|,故 E 的轨迹为以 O,A 为焦点的椭圆,故选 B. 5.(2015·安庆模拟)平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若 点 C 满足 =λ
1



2

(O 为原点),其中λ 1,λ 2∈R,且λ 1+λ 2=1,则

点 C 的轨迹是 ( A.直线 B.椭圆 C.圆 =(x,y), =(3,1), D.双曲线 =(-1,3), )

【解析】选 A.设 C(x,y),则 因为 所以 又λ1+λ2=1, =λ1 +λ2 ,

所以 x+2y-5=0,表示一条直线. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(-2,1),B(-1,3),若 点 C 满足 方程是 =α . =α +β ,用 x,y 分 +β ,其中α ,β ∈[0,1]且α +β =1,则点 C 的轨迹

【解题提示】设出 C 点坐标(x,y),然后借助

别表示α,β,最后利用α+β=1 求点 C 的轨迹方程. 【解析】设 C(x,y),则

整理得

-4-

将其代入α+β=1 中整理得 2x-y+5=0, 又 x=-2α-β=-2α-(1-α)=-α-1∈[-2,-1], 所以点 C 的轨迹方程是 2x-y+5=0,x∈[-2,-1]. 答案:2x-y+5=0,x∈[-2,-1] 7.(2015·阜阳模拟)如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 AB 上,且 AM= AB,点 P 在平面 ABCD 上,且动点 P 到直线 A1D1 的距离的 平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1,在平面直角坐标系 xAy 中,动点 P 的轨迹方程是 .

【解析】过 P 作 PQ⊥AD 于 Q,再过 Q 作 QH⊥A1D1 于 H, 连接 PH,PM,可证 PH⊥A1D1, 设 P(x,y), 由|PH|2-|PM|2=1, 得 x2+1化简得 y2= x- . 答案:y2= x8.已知 A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点的椭圆经过 A,B 两点, 则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是 . =1,

【解析】由题意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,
-5-

又因为|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, 所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2, 故点 F 的轨迹是以 A,B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的下支. 又 c=7,a=1,b2=48, 所以点 F 的轨迹方程为 y2- =1(y≤-1). 答案:y2- =1(y≤-1) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2015 · 宜 宾 模 拟 ) 已 知 两 点 M(-1,0),N(1,0), 且 点 P 使 · · , · ,

成公差小于零的等差数列,求点 P 的轨迹方程. =(x+1,y),

【解析】设点 P(x,y),则 =(x-1,y), 故 · · 因为 · = =(2,0).

=2(x+1), · =(x+1)〓(x-1)+y2=x2+y2-1,

=-2(x-1)=2(1-x). · , · , · 成公差小于零的等差数列,

所以 2(x2+y2-1)=2(x+1)+2(1-x). 且 · · =2(1-x)-2(x+1)=-4x<0,整理得 x2+y2=3(x>0).

故点 P 的轨迹方程为 x2+y2=3(x>0). 10.已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=-1,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆的圆 心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程.

-6-

(2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于 P,Q 两点,交直线 l1 于点 R,求 小值. 【解析】(1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离, 所以点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, 所以动点 C 的轨迹方程为 x2=4y.

·

的最

(2)由题意知,直线 l2 的方程可设为 y=kx+1(k≠0),与抛物线方程联立消 去 y, 得 x2-4kx-4=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4. 又易得点 R 的坐标为 所以 = =(1+k2)x1x2+ =-4(1+k2)+4k =4 +8. · = , · +(kx1+2)(kx2+2) (x1+x2)+ +4 + +4

因为 k2+ ≥2,当且仅当 k2=1 时取等号, 所以 即 · · ≥4〓2+8=16, 的最小值为 16.

【加固训练】如图所示,圆 O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)为两个定点.直 线 l 是圆 O 的一条动切线,若经过 A,B 两点的抛物线以直线 l 为准线,求 抛物线焦点的轨迹方程.

-7-

【解析】过点 A,B,O 分别作直线 l 的垂线,垂足分别为 A′,B′,O′. 因为|AO|=|BO|, 所以|AA′|+|BB′|=2|OO′|=8, 设抛物线的焦点为 F,则|AF|+|BF|=|AA′|+|BB′|=8,又|AB|=4, 所以点 F 的轨迹在以点 A,B 为焦点的椭圆上, 设所求椭圆方程为 + =1(a>b>0), 则 a2=42=16,b2=42-22=12, 所以抛物线焦点的轨迹方程为 + =1(x≠〒4). (20 分钟 40 分)

1.(5 分)已知点 P 在定圆 O 的圆内或圆周上,动圆 C 过点 P 与定圆 O 相 切,则动圆 C 的圆心轨迹可能是 ( A.圆或椭圆或双曲线 B.两条射线或圆或抛物线 C.两条射线或圆或椭圆 D.椭圆或双曲线或抛物线 【解析】 选 C.当点 P 在定圆 O 的圆周上时,圆 C 与圆 O 内切或外切,O,P,C 三点共线,所以轨迹为两条射线. 当点 P 在定圆 O 内时(非圆心),|OC|+|PC|=r0 为定值,且 r0>|OP|,所以
-8-

)

轨迹为椭圆. 当 P 与 O 重合时,圆心轨迹为圆. 【误区警示】本题易因讨论不全,或找错关系而出现错误. 2.(5 分)如图所示,已知 C 为圆(x+ 圆上的动点,点 Q 在 CP 上,且 则点 Q 的轨迹方程为 )2+y2=4 的圆心,点 A( =2 ,0),P 是

· =0, .

.当点 P 在圆上运动时,

【解析】圆(x+

)2+y2=4 的圆心为 C(-

,0),半径 r=2,

因为

·

=0,

=2

,

所以 MQ⊥AP,点 M 为 AP 的中点, 即 QM 垂直平分 AP. 连接 AQ,则|AQ|=|QP|, 所以||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2. 又|AC|=2 >2,根据双曲线的定义,点 Q 的轨迹是以 C(,0),A( ,0)

-9-

为焦点,实轴长为 2 的双曲线,由 c= 因此点 Q 的轨迹方程为 x2-y2=1. 答案:x2-y2=1

,a=1,得 b2=1,

【加固训练】 动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x+2=0 的距离相等, 则动点 P 的轨迹方程为 .

【解析】 由抛物线定义知点 P 的轨迹是以 F(2,0)为焦点的抛物线,设抛 物线的方程为 y2=2px,从而可知 p=4,所以动点 P 的轨迹方程为 y2=8x. 答案:y2=8x 3.(5 分)设椭圆方程为 x2+ =1,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A,B 两 点,O 是坐标原点,点 P 满足 的轨迹方程为 . = ( + ),当 l 绕点 M 旋转时,动点 P

【解题提示】设直线 l 的斜率为 k,用参数法求解,但需验证斜率不存在 时是否符合要求. 【解析】直线 l 过点 M(0,1),当斜率存在时,设其斜率为 k,则 l 的方程 为 y=kx+1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 题 设 可 得 点 A,B 的解, 将①代入②并化简得,(4+k2)x2+2kx-3=0, 所以 的 坐 标 (x1,y1),(x2,y2) 是 方 程 组

- 10 -

于是 =

= (

+ .

)=

设点 P 的坐标为(x,y),则

消去参数 k 得 4x2+y2-y=0, ③

当斜率不存在时,A,B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点 P 的轨迹方程为 4x2+y2-y=0. 答案:4x2+y2-y=0 【方法技巧】利用参数法求轨迹方程的技巧 参数法是求轨迹方程的一种重要方法,其关键在于选择恰当的参数.一 般来说,选参数时要注意: ①动点的变化是随着参数的变化而变化的 ,即参数要能真正反映动点 的变化特征;②参数要与题设的已知量有着密切的联系 ;③参数要便于 轨迹条件中的各种相关量的计算,也要便于消去.常见的参数有角度、 斜率、点的横坐标、纵坐标等. 4.(12 分)(2015· 湖州模拟)已知以 C(2,0)为圆心的圆 C 和两条射线 y= ±x(x≥0)都相切,设动直线 l 与圆 C 相切,并交两条射线于 A,B,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程. 【 解 析 】 设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx+b.A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y), 由

得A 由

,(k≠0). 得B ,

- 11 -

所以 由①②得:k= ,b= ③ .

因为圆 C 与 y=〒x 都相切,所以圆 C 的半径 r= 因为 AB:kx-y+b=0 与圆 C 相切, 所以 = ,即 2k2+4kb+b2-2=0 ④

将③代入④得(y2-x2)2+4x(y2-x2)-2(y2-x2)=0, 因为 y2≠x2,所以 y2-x2+4x-2=0 即(x-2)2-y2=2(y≠0) 当 l⊥x 轴时,线段 AB 的中点 M(2〒 ∠AOB 内. 5.(13 分)(能力挑战题)如图,动圆 C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆 C2: +y2=1 相交于 A,B,C,D 四点,点 A1,A2 分别为 C2 的左,右顶点. ,0)也符合上面的方程,其轨迹在

(1)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积. (2)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程. 【解题提示】(1)由于 A,B,C,D 四点的对称性,可设出它们的坐标,利用 坐标的某个变量来表示矩形面积,建立函数,求最值. (2)利用点的坐标,据直线方程的点斜式写出直线方程,求交点坐标,用 交轨法求轨迹方程. 【解析】(1)由于 A,B,C,D 四点的对称性,
- 12 -

设 A(x0,y0),B(x0,-y0),C(-x0,-y0),D(-x0,y0), 则矩形 ABCD 的面积为 S=AB〓BC=2|y0|〓2|x0|=4|x0y0|, 由点 A(x0,y0)在椭圆 +y2=1 上, 所以 + 从而 故 = , =1? =1- .

= (1- )=- ( - )2+ , = 时, 取得最大值 . =5?

从而 S=AB〓BC=2|y0|〓2|x0|=4|x0y0|取得最大值 6.此时 t2= + t= .

(2) 由 A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0) 可 得 直 线 AA1 的 方 程:y= (x+3) ① 直线 A2B 的方程:y= (x-3) ②

设直线 AA1 与直线 A2B 的交点 M(x,y) 由①②得 y2= 由(1)知 =1(x2-9) ③ ④

④代入③整理得 -y2=1(x<-3,y<0) 因此点 M 的轨迹方程为 -y2=1(x<-3,y<0).

- 13 -


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