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中考数学总复习 五 因式分解精练精析2 华东师大版


数与式——因式分解 2
一.选择题(共 9 小题) 1.若把多项式 x +px+q 分解因式可以分解成(x﹣3) (x+5) ,则 p 的值是( A.2 B.﹣2 C.15 D.﹣15 2.下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是( A.16x +1
2 2



) ,

B.x +2x﹣1 C.a +2ab+4b
2

2

2

2

D.

3.把代数式 ab ﹣6ab+9a 分解因式,下列结果中正确的是( ) 2 2 2 A.a(b+3) B.a(b+3) (b﹣3) C.a(b﹣4) D.a(b﹣3) 4.下列分解因式正确的是( ) 2 2 2 A.3x ﹣6x=x(3x﹣6) B.﹣a +b =(b+a) (b﹣a) 2 2 2 2 2 C.4x ﹣y =(4x+y) (4x﹣y) D.4x ﹣2xy+y =(2x﹣y) 5.把 a ﹣9a 分解因式,结果正确的是( ) 2 2 A.a(a+3) (a﹣3) B.a(a ﹣9) C.a(a﹣3)
2 2 3

D.a(a+3)

2

6.已知 a、b 是实数,x=a +b +20,y=4(2b﹣a) .则 x、y 的大小关系是( A.x≤y B.x≥y C.x<y D.x>y



7.化简:

,结果是(



A.

B.

C.

D.

8.已知 a、b、c 是△ABC 的三边长,且满足 a +ab +bc =b +a b+ac ,则△ABC 的形状是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 9.分解因式(x﹣1) ﹣2(x﹣1)+1 的结果是( ) 2 2 2 A. (x﹣1) (x﹣2) B.x C. (x+1) D. (x﹣2) 二.填空题(共 7 小题) 10.因式分解:x ﹣1= _________ . 11.分解因式: (2a+1) ﹣a = _________ . 12.当 a=9 时,代数式 a +2a+1 的值为
2 2 2 2 2 2

3

2

2

3

2

2



_________ .

13.分解因式:9a ﹣30a+25= _________ . 14.若 x ﹣9=(x﹣3) (x+a) ,则 a= _________ . 15.分解因式:a ﹣4a +4a= _________ . 16.分解因式:a b﹣b = _________ .
1
2 3 3 2 2

三.解答题(共 7 小题) 17.分解因式:﹣x +2x ﹣x. 18.已知 a、b、c 是△ABC 的三边且满足 a ﹣b +ac﹣bc=0,请判断△ABC 的形状. 19.分解因式:2x y﹣2xy . 20.给出三个单项式:a ,b ,2ab. (1)在上面三个单项式中任选两个相减,并进行因式分解; 2 2 (2)当 a=2010,b=2009 时,求代数式 a +b ﹣2ab 的值.
2 2 3 3 2 2 3 2

21.求多项式

的和,并把结果因式分解.

22.已知:a+b=3,ab=2,求下列各式的值: 2 2 2 2 (1)a b+ab (2)a +b 23.给定一列代数式:a b ,ab ,a b ,a b ,a b ,a b ,…. 4 3 2 (1)分解因式:ab ﹣a b ; (2)根据你发现的规律,试写出给定的那列代数式中的第 100 个代数式.
3 2 4 4 3 2 5 5 4 3 6

2

数与式——因式分解 2 参考 答案与试题解析 一.选择题(共 9 小题) 2 1.若把多项式 x +px+q 分解因式可以分解成(x﹣3) (x+5) ,则 p 的值是( A. 2 B.﹣2 C.15 D. ﹣15



考点: 因式分解的意义. 专题: 计算题. 分析: 根据多项式乘多项式法则计算(x﹣3) (x+5) ,根据多项式相等的条件即可求出 p 的值. 2 2 解答: 解:∵x +px+q=(x﹣3) (x+5)=x +2x﹣15, ∴p=2,q=﹣15. 故选 A 点评: 此题考查了因式分解的意义,熟练掌握多项式乘多项式法则是 解本题的关键. 2.下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是( A. 16x +1
2


2

B.x +2x﹣1

2

C.a +2ab+4b

2

D.



考点: 因式分解-运用公式法. 分析: 根据完全平方公式的结构特点:必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式, 另一项是这两个数(或式)的积的 2 倍,对各选项分析判断后利用排除法求解. 2 解答: 解:A、16x +1 只有两项,不符合完全平方公式; 2 2 B、x +2x﹣1 其中有两项 x 、﹣1 不能写成平方和的形式,不符合完全平方公式; 2 2 C、a +2ab+4b 另一项不是 a、2b 的积的 2 倍,不符合完全平方公式; D、 故选 D. 点评: 2 ; 符合完全平方公式.

本题主要考查了完全平方公式,熟记公式结构是解题的关键.完全平方公式:a ±2ab+b =(a±b)

2

2

3.把代数式 ab ﹣6ab+9a 分解因式,下列结果中正确的是( ) 2 2 2 A. a(b+3) B.a(b+3) (b﹣3) C.a(b﹣4) D. a(b﹣3) 考点: 提公因式法与公式法的综合运用. 2 2 2 分析: 先提取公因式 a,再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式:a ﹣2ab+b =(a﹣b) . 2 解答: 解:ab ﹣6ab+9a, 2 =a(b ﹣6b+9) , 2 =a(b﹣3) . 故选 D. 点评: 本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解,注意分 解要彻底. 4.下列分解因式正确的是( ) 2 2 2 A. 3x ﹣6x=x(3x﹣6) B. ﹣a +b =(b+a) (b﹣a) 2 2 2 2 2 C. 4x ﹣y =(4x+y) (4x﹣y) D. 4x ﹣2xy+y =(2x﹣y) 考点: 因式分解-运用公式法;因式分解-提公因式法.
3

2

专题: 计算题. 分析: 根据因式分解的定义,把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解,并根据提取公因式法, 利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解. 2 解答: 解:A、3x ﹣6x=3x(x﹣2) ,故本选项错误; 2 2 B、﹣a +b =(b+a) (b﹣ a) ,故本选项正确; 2 2 C、4x ﹣y =(2x+y) (2x﹣y) ,故本选项错误; 2 2 D、4x ﹣2xy+y 不能分解因式,故本选项错误. 故选 B. 点评: 本题主要考查了因式分解的定义,熟记常用的提公因式法,运用公式法分解因式的方法是解题的关 键. 5.把 a ﹣9a 分解因式,结果正确的是( ) 2 2 A. a(a+3) (a﹣3) B.a(a ﹣9) C.a(a﹣3)
3

D. a(a+3)

2

考点: 提公因式法与公式法的综合运用. 分析: 先提取公因式 a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 3 解答: 解:a ﹣9a 2 =a(a ﹣9) =a(a+3) (a﹣3) . 故选 A. 点评: 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用 其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 6.已知 a、b 是实数,x=a +b +20,y=4(2b﹣a) .则 x、y 的大小关系是( A. x≤y B.x≥y C.x<y D. x>y
2 2



考点: 因式分 解的应用. 专题: 因式分解. 分析: 判断 x、y 的大小关系,把 x﹣y 进行整理,判断结果的符号可得 x、y 的大小关系. 2 2 2 2 解答: 解:x﹣y=a +b +20﹣8b+4a=(a+2) +(b﹣4) , 2 2 ∵(a+2) ≥0, (b﹣4) ≥0, ∴x﹣y≥0, ∴x≥y, 故选 B. 点评: 考查比较式子的大小;通常是让两个式子相减,若为正数,则被减数大;反之减数大.

7.化简:

,结果是(



A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 结果. 解答:

因式分解的应用. 计算题. 2 将所求式子的分子分母前两项提取 2012 ,整理后分子提取 2010,分母提取 2013,约分后即可得到

解:原式=

4

=

=

=



故选 A. 点评:

此题考查了因式分解的应用,是一道技巧性较强的题,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
3 2 2 3 2 2

8.已知 a、b、c 是△ABC 的三边长,且满足 a +ab +bc =b +a b+ac ,则△ABC 的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 考点: 因式分解的应用. 专题: 压轴题;因式分解. 3 2 2 3 2 2 分析: 把所给的等式 a +ab +bc =b +a b+ac 能进行因式分解的要因式分解,整理为非负数相加得 0 的形式, 求出三角形三边的关系,进而判断三角形的形状. 3 2 2 3 2 2 解答: 解:∵a +ab +bc =b +a b+ac , 3 3 2 2 2 2 ∴a ﹣b ﹣a b+ab ﹣ac +bc =0, 3 2 2 3 2 2 (a ﹣a b)+(ab ﹣b )﹣(ac ﹣bc )=0, 2 2 2 a (a﹣b)+b (a﹣b)﹣c (a﹣b)=0, 2 2 2 (a﹣b) (a +b ﹣c )=0, 2 2 2 所以 a﹣b=0 或 a +b ﹣c =0. 2 2 2 所以 a=b 或 a +b =c . 故△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形. 故选 C. 点评: 本题考查了分组分解法分解因式,利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于 0 的形式是解题的关 键. 9.分解因式(x﹣1) ﹣2(x﹣1)+1 的结果是( ) 2 2 A. (x﹣1) (x﹣2) B.x C. (x+1) 考点: 分析: 解答: 故选:D. 点评:
2

D. (x﹣2)

2

因式分解-运用公式法. 首先把 x﹣1 看做一个整体,观察发现符合完全平方公式,直接利用完全平方公式进行分解即可. 2 2 2 解: (x﹣1) ﹣2(x﹣1)+1=(x﹣1﹣1) =(x﹣2) . 此题主要考查了因式分解﹣运用公式法,关键是熟练掌握完全平方公式:a ±2ab+b =(a±b) .
2 2 2

二.填空题(共 7 小题) 2 10.因式分解:x ﹣1= (x+1) (x﹣1) . 考点: 因式分解-运用公式法. 专题: 因式分解. 分析: 方程利用平方差公式分解即可. 解答: 解:原式=(x+1) (x﹣1) . 故答案为: (x+1) (x﹣1) . 点评: 此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

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11.分解因式: (2a+1) ﹣a = (3a+1) (a+1) . 考点: 因式分解-运用公式法. 专题: 因式分解. 分析: 直接利用平方差公式进行分解即可. 解答: 解:原式=(2a+1+a) (2a+1﹣a)=(3a+1) (a+1) , 故答案为: (3a+1) (a+1) . 2 2 点评: 此题主要考查了公式法分解因式,关键是掌握平方差公式:a ﹣b =(a+b) (a﹣b) . 12.当 a=9 时,代数式 a +2a+1 的值为
2

2

2

100 .

考点: 因式分解-运用公式法;代数式求值. 专题: 计算题. 分析: 直接利用完全平方公式分解因式进而将已知代入求出即可. 2 2 解答: 解:∵a +2a+1=(a+1) , 2 ∴当 a=9 时, 原式=(9+1) =100. 故答案为:100. 点评: 此题主要考查了因式分解法以及代数式求值,正确分解因式是解题关键. 13.分解因式:9a ﹣30a+25= (3a﹣5)
2 2



考点: 因式分解-运用公式法. 专题: 计算题. 分析: 原式利用完全平方公式分解即可. 2 2 2 解答: 解:原式=(3a) ﹣2×3a×5+5 =(3a﹣5) . 2 故答案为: (3a﹣5) 点评: 此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 14.若 x ﹣9=(x﹣3) ( x+a) ,则 a= 3 . 考点: 专题: 分析: 解答: ∴a=3. 故答案为:3. 点评: 因式分解-运用公式法. 计算题. 直接利用平方差公式进行分解得出即可. 2 解:∵x ﹣9=(x+3) (x﹣3)=(x﹣3) (x+a) ,
2

此题主要考查了公式法分解因式,熟练掌握平方差公式是解题关键.
3 2 2

15.分解因式:a ﹣4a +4a= a(a﹣2)



考点: 提公因式法与公式法的综合运用. 专题: 因式分解. 3 2 2 分析: 观察原式 a ﹣4a +4a,找到公因式 a,提出公因式后发现 a ﹣4a+4 是完全平方公式,利用完全平方 公式继续分解可得. 3 2 解答: 解:a ﹣4a +4a, 2 =a(a ﹣4a+4) , 2 =a(a﹣2) . 2 故答案为:a(a﹣2) .

6

点评: 本题考查了对一个多项式因式分解的能力.一般地,因式分解有两种方法,提公因式法,公式法, 能提公因式先提公因式,然后再考虑公式法(完全平方公式) .要求灵活运用各种方法进行因式分解. 16.分解因式:a b﹣b = b(a+b) (a﹣b) . 考点: 提公因式法与公式法的综合运用. 2 2 分析: 先提取公因式,再利用平方差公式进行二次因式分解.平方差公式:a ﹣b =(a+b) (a﹣b) . 2 3 解答: 解:a b﹣b , 2 2 =b(a ﹣b ) , (提取公因式) =b(a+b) (a﹣b) . (平方差公式) 故答案为:b(a+b) (a﹣b) . 点评: 本题考查提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,注意分解因 式要彻底. 三.解答题(共 7 小题) 3 2 17.分解因式:﹣x +2x ﹣x. 考点: 提公因式法与公式法的综合运用. 2 2 2 分析: 先提取公因式﹣x,再根据完全平方公式进行二次分解即可.完全平方公式:a ﹣2ab+b =(a﹣b) . 3 2 解答: 解:﹣x +2x ﹣x, 2 =﹣x(x ﹣2x+1) , 2 =﹣x(x﹣1) . 点评: 本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解,注意分 解要彻底. 18.已知 a、b、c 是△ABC 的三边且满足 a ﹣b +ac﹣bc=0,请判断△ABC 的形状. 考点: 因式分解的应用. 分析: 由 a、b、c 是△ABC 的三边可知,三边都大于 0,解其方程得到 a=b,从而知道三角形一定是等腰三 角形. 2 2 解答: 解:a ﹣b +ac﹣bc=0, 由平方差公式得: (a+b) (a﹣b)+c(a﹣b)=0, (a﹣b) (a+b+c)=0, ∵a、b、c 三边是三角形的边, ∴a、b、c 都大于 0, ∴本方程解为 a=b, ∴△ABC 一定是等腰三角形. 点评: 本题考查了因式分解的应用,利用三角形三边都大于 0 这一条件,解其方程而判定为等腰三角形. 19.分解因式:2x y﹣2xy . 考点: 提公因式法与公式法的综合运用. 分析: 先提取公因式 2xy,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 3 3 解答: 解:2x y﹣2xy , 2 2 =2xy(x ﹣y ) , =2xy(x+y) (x﹣y) . 点评: 此题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后 再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
7
3 3 2 2 2 3

20.给出三个单项式:a ,b ,2ab. (1)在上面三个单项式中任选两个相减,并进行因式分解; 2 2 (2)当 a=2010,b=2009 时,求代数式 a +b ﹣2ab 的值. 考点: 因式分解-提公因式法;整式的加减—化简求值. 专题: 开放型. 分析: 本题要灵活运用整式的加减运算、平方差公式和完全平方公式. 2 2 解答: 解: (1)a ﹣b =(a+b) (a﹣b) , 2 2 b ﹣a =(b+a) (b﹣a) , 2 a ﹣2ab=a(a﹣2b) , 2 2ab﹣a =a(2b﹣a) , 2 b ﹣2ab+b(b﹣2a) , 2 2ab﹣b =b(2a﹣b) ; (写对任何一个式子给五分) (2)a +b ﹣2ab=(a﹣b) , 2 2 当 a=2010,b=2009 时,原式=(a﹣b) =(2010﹣2009) =1. 点评: 本题考查了提公因式法,平方差公式,完全平方公式分解因式,关键是熟记并会灵活运用,注意结 果能进行因式分解.
2 2 2

2

2

21.求多项式

的和,并把结果因式分解.

考点: 分析: 解答:
2

因式分解-运用公式法;整式的加减. 可以先相加,然后合并同类项,再利用平方差公式进行因式分解. 解: x +2x﹣2+ x ﹣2x+1
2 2

=( + )x +(2﹣2)x+(﹣2+1) =x ﹣1 =(x+1) (x﹣1) . 点评: 本题考查整式的加减,公式法分解因式,对于因式分解有公因式的一定先提公因式,没有公因式的 再考虑用平方差公式或完全平方公式等. 22.已知:a+b=3,ab=2,求下列各式的值: 2 2 2 2 (1)a b+ab (2)a +b 考点: 因式分解-提公因式法;完全平方公式. 专题: 计算题. 分析: (1)把代数式提取公因式 ab 后把 a+b=3,ab=2 整体代入求解; (2)利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解. 2 2 解答: 解: (1)a b+ab =ab(a+b)=2×3=6; (2)∵(a+b) =a +2ab+b 2 2 2 ∴a +b =(a+b) ﹣2ab, 2 =3 ﹣2×2, =5.
2 2 2 2

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点评: 本题考查了提公因式法分解因式,完全平方公式,关键是将原式整理成已知条件的形式,即转化为 两数和与两数积的形式,将 a+b=3,ab=2 整体代入解答. 23.给定一列代数式:a b ,ab ,a b ,a b ,a b ,a b ,…. 4 3 2 (1)分解因式:ab ﹣a b ; (2)根据你发现的规律,试写出给定的那列代数式中的第 100 个代数式. 考点: 提公因式法与公式法的综合运用. 专题: 规律型. 2 分析: (1)先提取公因式 ab ,再根据平方差公式进行二次分解; 50 53 (2)观察归纳,即可求得:那列代数式中的第 1 00 个代数式为 a b . 4 3 2 2 解答: 解: (1)ab ﹣a b =ab (b+a) (b﹣a) ; (3 分) (未分解彻底扣 1 分) 50 53 (2)a b (3 分) (若 a 或 b 的指数只写对一个,可得 1 分) . 点评: 此题考查了提公因式法, 公式法分解因式与规律的知识. 解题的关键时注意仔细观察, 找到规律. 还 要注意分解要彻底.
3 2 4 4 3 2 5 5 4 3 6

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