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2013安徽高考数学(文科)


一、选择题 1.D 解: a ?

10 10(3 ? i ) 10(3 ? i ) 10(3 ? i ) ?a? ?a? ?a? ? a ? (3 ? i ) ? (a ? 3) ? i ,所以 a=3,故选择 2 3?i (3 ? i )(3 ? i ) 9?i 10

D 【考点定位】考查纯虚数的概念,及复数的运算,属于简单题.
2.A 解:A: x ? ?1 , C R A ? {x | x ? ?1} , (C R A) ? B ? {?1,?2} ,所以答案选 A

【考点定位】考查集合的交集和补集,属于简单题.
3.C 解: n ? 2, s

1 1 ? ; 2 2 1 1 1 3 n ? 4, s ? , s ? ? ? ; 2 2 4 4 3 3 1 11 n ? 6, s ? , s ? ? ? 4 4 6 12 11 n ? 8, s ? ,输出 12 ? 0, s ? 0 ?

所以答案选择 C 【考点定位】本题考查算法框图的识别,逻辑思维,属于中等难题.
4.B 解: ( 2 x ? 1) x ? 0, x ? 0或

1 ,所以答案选择 B 2

【考点定位】考查充分条件和必要条件,属于简单题.
5.D 解:总的可能性有 10 种,甲被录用乙没被录用的可能性 3 种,乙被录用甲没被录用的可能性 3 种,

甲乙都被录用的可能性 3 种,所以最后的概率 p ?

3?3?3 ?1 10

【考点定位】考查古典概型的概念,以及对一些常见问题的分析,简单题.
6 . C 解 : 圆 心 (1, 2) , 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ?

1+4-5+ 5 5

=1 , 半 径 r ? 5 , 所 以 最 后 弦 长 为

2 ( 5) 2 ? 12 ? 4 .
【考点定位】考查解析几何初步知识,直线与圆的位置关系,点到直线的距离,简单题.
7.A 解:

S8 ? 4a3 ? ? a6 ? 0

8(a1 ? a8 ) ? 4a3 ? a3 ? a6 ? a3 2

d ? ?2 a9 ? a7 ? 2d ? ?6
【考点定位】考查等差数列通项公式和前 n 项公式的应用,以及数列基本量的求解.
8.B 解:

f ( x1 ) f ( x1 ) ? 0 表示 ( x1 , f ( x1 )) 到原点的斜率; ? x1 x1 ? 0 f ( x1 ) f ( x2 ) ? ? x1 x2 ? f ( xn ) 表 示 ( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f (x2 )), , (xn , f (xn )) 与 原 点 连 线 的 斜 率 , 而 xn

( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 )), , ( xn , f ( xn )) 在曲线图像上,故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个,
很明显有 3 个,故选 B. 【考点定位】考查数学中的转化思想,对函数的图像认识.
9.B 解:? 3 sin

5 A ? 5 sin B 由正弦定理,所以 3a ? 5b, 即a ? b ; 3 7 因为 b ? c ? 2a ,所以 c ? a , 3

cos C ?

2? a2 ? b2 ? c2 1 ,答案选择 B ? ? ,所以 C ? 3 2ab 2

【考点定位】考查正弦定理和余弦定理,属于中等难度.
10.A 解:
2

f '( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b , x1 , x2 是方程 3 x 2 ? 2ax ? b ? 0 的两根,

由 3( f ( x)) ? 2af ( x) ? b ? 0 ,则又两个 f ( x) 使得等式成立, x1 ? f ( x1 ) , x2 ? x1 ? f ( x1 ) ,其函数图象 如下:

如图则有 3 个交点,故选 A. 【考点定位】考查函数零点的概念,以及对嵌套型函数的理解.

11.

? 0,1?

解: ?

? 1 ?1 ? ? 0 ? x ? 0或x ? ?1 ,求交集之后得 x 的取值范围 ? 0,1? x 2 ? ? 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1

【考点定位】考查函数定义域的求解,对数真数位置大于 0,分母不为 0,偶次根式底下大于等于 0.
12.4 解:由题意约束条件的图像如下:

当直线经过 (4, 0) 时, z ? x ? y ? 4 ? 0 ? 4 ,取得最大值. 【考点定位】考查线性规划求最值的问题,要熟练掌握约束条件的图像画法,以及判断何时 z 取最大.

13. ?
2

1 3
2

解:等式平方得: a ? 9 b ? a ? 4 b ? 4a ? b
2 2 2

2

2

2

2

则 a ? a ? 4 b ? 4|a|?|b|cos? ,即 0 ? 4 b ? 4 ? 3|b| cos? 得 cos ? ? ?

1 3

【考点定位】考查向量模长,向量数量积的运算,向量最基本的化简.

14. f ( x) ? ?

x( x ? 1) 2

解:当 ?1 ? x ? 0 ,则 0 ? x ? 1 ? 1 ,故 f ( x ? 1) ? ( x ? 1)(1 ? x ? 1) ? ? x( x ? 1)

又 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ,所以 f ( x) ? ?

x( x ? 1) 2

【考点定位】考查抽象函数解析式的求解.

15.①②③⑤

解: (1) CQ ?

1 ,S 等腰梯形,②正确,图如下: 2

(2) CQ ? 1 ,S 是菱形,面积为 2 ?

3 6 ,⑤正确,图如下: ? 2 2

(3) CQ ?

3 1 ,画图如下: C1 R ? ,③正确 4 3

(4)

3 ? CQ ? 1 ,如图是五边形,④不正确; 4

(5) 0 ? CQ ?

1 ,如下图,是四边形,故①正确 2

【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题,以及如何确定平面。

16.解: (1)

f ( x) ? sin x ? sin x cos

?
3

? cos x sin

?
3

1 3 3 3 ? sin x ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 2 2 2 2

3 3 ? ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 sin( x ? ) ? 3 sin( x ? ) 2 2 6 6
3? 4? ? 2k? ,? x ? ? 2k? , (k ? Z ) 6 6 2 3 4? 所以, f ( x) 的最小值为 ? 3 ,此时 x 的集合 {x | x ? ? 2k? , k ? Z } . 3
当 sin( x ?

?

) ? ?1 时, f ( x) min ? ? 3 ,此时 x ?

?

?

(2) y ? sin x 横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,得 y ? 3 sin x ; 然后 y ? 3 sin x 向左平移

? ? 个单位,得 f ( x) ? 3 sin( x ? ) 6 6

【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和 运算求解能力,中等难度.
17.解: (1)

30 30 ? 0.05 ? n ? ? 600 n 0.05 25 5 p? ? 30 6

(2) x1 ?

7 ? 40 ? 13 ? 50 ? 4 ? 24 ? 60 ? 9 ? 26 ? 70 ? 9 ? 22 ? 80 ? 5 ? 2 ? 90 ? 2 30 2084 = 30 5 ? 40 ? 14 ? 50 ? 3 ? 17 ? 60 ?10 ? 33 ? 70 ?10 ? 20 ? 80 ? 5 ? 90 x2 ? 30 2069 = 30

x2 ? x1 ?

2084 2069 15 ? ? ? 0.5 30 30 30

【考点定位】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识,考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理 能力.
18.解:

(1)证明:连接 BD, AC 交于 O 点

PB ? PD ? PO ? BD ? BD ? AC 又? ABCD 是菱形 而 AC ? PO ? O ? BD ⊥面 PAC (2) 由(1) BD ⊥面 PAC

? BD ⊥ PC

S△ PEC ?

2 1 1 ?3 S△ PAC ? ? 6 ? 2 3 ? sin 45? = 6 ? 3 ? 2 2 2
1 1 1 1 ? S ?PEC ? BO ? ? 3 ? ? 2 3 2 2

VP ? BEC ? VB ? PEC ?

【考点定位】考查空间直线与直线,直线与平面的位置,.三棱锥体积等基础知识和基本技能,考查空间观 念,推理论证能力和运算能力.
19.解:由 a1

?2

a2 ? a4 ? 8

f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x ? an ? 2 ? sin x ? x) f( ? an ? an ?1 ? an ? 2 ? an ?1 ? sin x ? an ? 2 ? cos x
f '( ) ? an ? an ?1 ? an ? 2 ? an ?1 ? 0 2
所以, 2an ?1 ? an ? an ? 2

?

??an ? 是等差数列.
而 a1 ? 2

a3 ? 4

d ?1

? an ? 2 ? (n -1 ) ?1 ? n ? 1
(2) bn ? ( 2 an ?

1 1 1 ) ?( 2 n ? 1 ? n ?1 ) ?( 2 n ?1 ) ? n an 2 2 2

1 1 ( 1- n ) ( 2 2 ? n ?1 )n 2 2 Sn ? ? 1 2 1 1 1=( n n ? 3) ? 1 ? n ? n 2 ? 3n ? 1 ? n 2 2 2
【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式,等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推 理能力和运算能力.
20.解: (1)令 f ( x) ? x ? - 1 ? a )x ? ?a ( ??0
2

解得 x1 ? 0 (2) k ? ? 0,1? 由 (1) I ?

x2 ?

a a a ? ? ? I 的长度 x2 - x1 ? ? I ? ?x | 0 ? x ? 2 2? 1? a 1 ? a2 1? a ? ?

则 0 ? 1? k ? a ? 1? k ? 2 ,I'?

a 1 ? a2

1 ? a2 ? 0 ,则 0 ? a ? 1 (1 ? a 2 ) 2

故 I 关于 a 在 (1 ? k ,1) 上单调递增,在 (1,1 ? k ) 上单调递减.

I1 ?

1- k 1 ? ?1- k ?
2

?

1- k 2 ? 2k ? k 2

,

I2 ?

1? k 2 1? ( 1 ? k)

, I min ?

1- k 2 ? 2k ? k 2

【考点定位】考查二次不等式的求解,以及导数的计算和应用,并考查分类讨论思想和综合运用数学知识 解决问题的能力.

21.解: (1)因为椭圆过点 P ( 2,3)

?
(2)

2 3 ? ? 1 且 a 2 ? b2 ? c2 a 2 b2

? a 2 ? 8 , b2 ? 4 , c2 ? 4

椭圆 C 的方程是

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

由题意,各点的坐标如上图所示,

8 x0 y?0 则 QG 的直线方程: ? 8 y0 x0 ? x0 x?

化简得 x0 y0 x ? ( x0 2 ? 8) y ? 8 y0 ? 0

2 2 x y 又 x0 ? 2 y0 ? 8 ,所以 x0 x ? 2 y0 y ? 8 ? 0 带入 ? ?1

2

2

8

4

求得最后 ? ? 0 ,所以直线 QG 与椭圆只有一个公共点. 【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质,直线和椭圆的位置关系,并考查数形结合思想,逻辑推 理能力及运算能力.


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