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4-4 1.2平面直角坐标系中的伸缩变换导学案


选修 4—4 第一讲

坐标系

平面直角坐标系中的伸缩变换导学案
学习目标 1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用. 2.通过具体例子,了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况,掌握平面直 角坐标系中的伸缩变换. 教学重点:根据问题的几何特征,选择坐标系,运用坐标法解决几何问题. 教学难点:准确理解伸缩变换的意义并会用于解题. 学习过程: 一、自主学习 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用下,点 P

(x,y) 对应到 P ' ( x ' , y ' ) ,称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.简称伸缩变换. 二、思考探究 1.如何根据几何图形的特征建立恰当的坐标系?

2. (1)怎样由正弦曲线 y= (2) 怎样由正弦曲线 y= (3)怎样由正弦曲线 y= 一、 例题讲解:

得到曲线 y= 得到曲线 y= 得到曲线 y=

例 1::求点 (

?

? x' ? 2 x ,1) 经过伸缩变换 ? 后的点的坐标. 2 ? y' ? 3 y ? x' ? 3x 后的点的坐标是 (3? ,?4) ,则 x ? ? y' ? 2 y

变式:已知点 ( x, y ) 经过伸缩变换 ?

,y ?

.

例 2:求图形的伸缩变换:直线 x ? 4 y ? 6 ? 0 变成直线 2X-Y=3.

变式练习:求图形的伸缩变换:直线 2 x ? 3 y ? 0 变成直线 X-Y=0.

1

例 3:在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换

后的图形.

(1)2x+3y=0;

(2)

+

=1.

变式练习:求下列方程所表示的图形经过伸缩变换

后的图形.

(1)x – y =0. 当堂检测

(2)

+

=1.

1.求下列点经过伸缩变换 ?

? x' ? 2 x 后的点的坐标:(1)(1,2); (2)(-2,-1). ? y' ? 3 y

1 ? ? x' ? 2 x ? 2.点(2,-3)经过伸缩变换 ? 后的点的坐标是 1 ? y' ? y ? 3 ?



1 ? ? x' ? x 3.点 ( x, y ) 经过伸缩变换 ? 2 后的点的坐标是(-2,6),则 x ? ? y' ? 3 y ?
1 ? ? x' ? 2 x ? 2 2 4.曲线 9 x ? 4 y ? 36 经过伸缩变换 ? 后的曲线方程是 1 ? y' ? y ? 3 ?
5.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ? (1) 2 x ? 3 y ? 0 ;(2) x ? y ? 1 .
2 2

,y ?



.

? x' ? 2 x 后的图形: ? y' ? 3 y

1 ? ? x' ? 3 x ? 2 2 6. 曲 线 C 经 过 伸 缩 变 换 ? 后 的 曲 线 方 程 是 4 x' ?9 y' ? 36 , 则 曲 线 C 的 方 程 ? y' ? 1 y ? 2 ?
是 .
2

7.将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是( )

? ? x' ? ? A. ? ? y' ? ? ?

2 x 3 3 y 2

? ? x' ? ? B. ? ? y' ? ? ?

3 x 2 2 y 3

C. ?

? x' ? y ? y' ? x

D. ?

? x' ? x ? 1 ? y' ? y ? 1

8.将直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2 x'? y' ? 4 的伸缩变换是

.

9.在伸缩变换 ? 形?

? x' ? 2 x ? x' ? 2 x 与伸缩变换 ? 的作用下,单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 分别变成什么图 ? y' ? y ? y' ? 2 y
x ? ), x ? R 的图像,只需将函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的 3 6

10.要得到函数 y ? 2 sin( ? 点

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3 6 ? 1 B.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3 6 ? C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? D.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6
A.向左平移 11.线 y ? sin( x ?

?

? x' ? 3x ) 经过伸缩变换 ? 后的曲线方程是 6 ? y' ? 2 y
2 2



12.曲线 x ? y ? 2x ? 0 变成曲线 x' ?16y' ?4x' ? 0 的伸缩变换是
2 2

.

13.函数 y ?

1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 1, x ? R . 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y ? sin x( x ? R) 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

3


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