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(新人教B版必修4)数学:2.3.3《向量数量积的坐标运算与度量公式》课件_图文

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

一、复习练习: 复习练习:

| 若 , 与夹 为 a 1、 | a |= 2,| b |=1 a b 角 60 ,? b = a || b | cosθ


则 ?b = 1 ) a (

(其中θ是a与 的夹角) b

a 2、 若 ? b =

2 | a |=1 | b |= 2, , ,


| a || b | 则与夹 为 ) a b 角( 45 3、若 与 垂 , a ?b = 0 ) a ⊥ b ? a ? b = 0 a b 直 则 ( ; a ? a = a |2 | , a ( ; 4、 若| a |= 2 则 ? a = 4 )

cosθ =

a? b

r 5、若 , 别 与 轴 y轴 向 i j分 为 x 、 方 相 的 个 位 量 同 两 单 向 , r r r r 则i ? i = ( 1 ); j ? j = ( 1 ); r r r r i ? j = j ? i = ( 0 );

若 ? a = 9 则| a |= 3 ) a , ( 。

| a |=

a? a

提出问题
? 向量的加法、减法、数乘都可以用“坐标 语言”表示,向量的数量积能否用“坐标 语言”表示呢?



r r r 探究练习:若两非零向量a = x1i + y1 j , r r r r r b = x2i + y2 j ,则a ? b =

r r r r 由 a = x1i + y1 j ? a = x1, 1 于 ( y) r r r r b = x2i + y2 j ? b = x2, 2) ( y 从 ? b = x1x2 + y1 y2得 : a 到

也 是 a ? b = x1x2 + y1 y2 就 :

两个向量的数量积等于它们对应坐标 的乘积的和。 的乘积的和。

例、 知 = (?1 2), b = (11 1 已 a , , ), 则 ?b = 1 a
用 一 用

1、向量的模和两点间的距离公式
( )a ? a = a 或a = 1
2

a? a ;

(1)向 量的模 设a = (x, y), 则a = x + y ,或a = x + y ;
2 2 2 2 2

2 两 间 距离 式 () 点 的 公 设 ( 1, y1)、 (x2 , y2 ), 则AB = x2 ? x1, 2 ? y1) A x B ( y 那 么 AB = ( 2 ? x1) + y2 ? y1) x (
2 2

2 例、

r r (1)已 a = ?3 4 、 = 5 2 , 知 ( , ) b (, ) r r |b 求| a | , |。

(2) 知 A(? 3 4 、 ( , , 已 点 , ) B 52 ) 试 向 的 法 出 、 两 用 量 方 求 A B 点 间 距 。 的 离

2、两向量夹角公式的坐标运算 、
r uuu r 设非零 向量a = x1, y1),b =(x2, y2 ), ( r r o o 且a与 夹角为θ, ≤θ ≤180 ) b (0 r r a?b 则cosθ = r r ab ?cosθ = x1x2 + y1y2
2 x1 2 + y1

?

2 x2

2 + y2

解:

r r 例 、设a= (3,-1),= (1,-2) 3 b r r rr 求 a ? b 及a b 、 间的夹角θ

r r a ? b = 3 ? 1 + ? 1 ( ? 2)=5 ( ) ?
cosθ = 2 = 2 5 3 + (?1) + 1 + (?2)
2 2 2 2

变式训练 1
已 A(1,, (3,, (2,, 知 0) B 1) C 0) uuu uur r u 则 与 BC CA 的 角 多 ? 夹 是 少

想 一想 ?

3、两向量垂直的坐标表示 垂直 a ⊥ b ?

a?b = 0 r 设 = x1, y1), a ( r b = (x2 , y2 ),则 r r a ⊥b ?

a ⊥ b ?θ = 90 x1x2 + y1y2 cosθ =
2 2 x1 + y1 ?



2 2 x2 + y2

=0

? x1x2 + y1 y2 = 0

x1x2 + y1 y2 = 0

已知A(1 2),B(2,3), A(1, 例4(P113例2)已知A(1,2),B(2,3), P113例 C(C(-2,5),试判断?ABC的形状,并给出证 5),试判断?ABC的形状, 的形状 明.
证:如右图,在平面坐标系标 如右图,
三点, 出A,B,C三点,猜想 , , 三点 为直角三角形。 △ABC为直角三角形。 为直角三角形

C(-2,5)

y B(2,3) A(1,2)

QAB = (2 ?1,3? 2) = (1,1)
AC = (?2 ?1,5? 2) = (?3,3)
∴AB? AC =1×(?3) +1×3 = 0

∴AB⊥ AC

∴三角形ABC是直角三角形 .

0

x

变式训练2
思 : △ 考 在 ABC中 AB = (2, , , 3) AC = (1 k),且 ∠A为 角 求 值 , 直 , k .

本堂小结
理解和应用向量的坐标表示公式解决问题: 理解和应用向量的坐标表示公式解决问题: 坐标表示公式解决问题
1、数量积的坐标表示 数量积的坐标表示 2、向量坐标表示的求 向量坐标表示的求 模长公式 3、平面内两点间的距 平面内两点间的距 离公式 4、两向量夹角的余弦 两向量夹角的余弦

a ? b = x1x2 + y1 y2
r2 r 2 2 2 2 a = x + y ,或 a = x + y

AB = ( 1 ? x2 ) + y1 ? y2 ) x (
2

2

cosθ =

x1x2 + y1 y2
2 1 2 2

x +y ? x +y
2 1

2 2

5、向量垂直的判定条件 向量垂直的判定条件

a ⊥ b ? x1x2 + y1 y2 = 0


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