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第三章3.4基本不等式(一)


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3.4(一)

【读一读学习要求,目标更明确】 1.理解基本不等式的内容及证明. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式. 【看一看学法指导,学习更灵活】 1. 应用基本不等式解决有关问题必须紧扣它的适用条件, 否 则就会得出错误的结论. 2.应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、 “凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形,构造出符合 基本不等式的条件结构.

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填一填· 知识要点、记下疑难点

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1.如果 a,b∈R,那么 a2+b2 ≥ 2ab(当且仅当 a=b 时取 “=”号). 2.若 a,b 都为 正 数,那么 a+b ≥ 2 ab(当且仅当 a = b 时,

a+b 等号成立),称上述不等式为 基本 不等式,其中 2 称 为 a,b 的算术平均数, ab 称为 a,b 的几何平均数.

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3.基本不等式的常用推论 ?a+b? a2+b2 ?2 (1)ab≤? (a,b∈R); ? 2 ? ≤ 2 ? ? 1 1 (2)当 x>0 时,x+x≥ 2 ;当 x<0 时,x+x≤-2 . b a b a (3)当 ab>0 时,a+b≥ 2 ;当 ab<0 时,a+b≤ -2 . (4)a2+b2+c2≥ ab+bc+ca,(a,b,c∈R).

研一研· 问题探究、课堂更高效

3.4(一)

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问题探究一 基本不等式的引入 问题 1 如图所示,是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标,在正 方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三 角形.设直角三角形的两条边长分 别为 a、b,那么正方形的边长为 a2+b2,请问 4 个直角 三角形的面积之和与正方形的面积之间有什么关系吗? 1 解 如图所示,因为 4 个直角三角形的面积之和为 4·· ab= 2
2ab,正方形的面积为 a2+b2,所以 4 个直角三角形的面积之 和小于正方形 ABCD 的面积,即 a2+b2>2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,
正方形 EFGH 缩为一个点,这时有 a2+b2=2ab. 综上可以得出 a2+b2≥2ab.

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问题 2

a+b 下面是基本不等式 ab≤ 的 2

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一种几何解释,请你补充完整. 如图所示,AB 为⊙O 的直径,AC=a, CB=b,过点 C 作 CD⊥AB 交⊙O 上半圆于 D,连结 AD, BD.由射影定理可知,CD= a+b ≥ ab,当且仅当 C 与 O重合,即 OD ≥ CD,所以 2 a=b 时,等号成立.
a+b ab ,而 OD= 2 ,因为

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问题探究二

基本不等式的证明

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问题 1 利用作差法证明:a∈R,b∈R,a2+b2≥2ab. 证明 ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,
∴a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,取“=”.
问题 2 当 a>0,b>0 时,a=( a)2,b=( b)2. 据此证明:a>0,b>0 时,a+b≥2 ab.

证明

∵a+b-2 ab=( a)2+( b)2-2 a· b

=( a- b)2≥0.
∴a+b≥2 ab.

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问题探究三 问题 基本不等式的拓展 a+b 2 当 a>0,b>0 时, ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 a+b

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a2+b2 这是 2

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一条重要的基本不等式链,请你给出证明. a+b 证明 由于 ab≤ 2 成立, a2+b2 a+b 2 只须证明 ab≥1 1和 2 ≥ 2 成立即可. + a b 2 2ab (a+b) ab-2ab ∵ ab-1 1= ab- = a+b a+b + a b
ab(a+b-2 ab) ab( a- b)2 = = ≥0, a+b a+b

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∴ ab ≥
? ∵? ? ?

,即 ≤ ab. 1 1 1 1 a+b a+b

2

2

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2 2 2 a2+b2?2 ?a+b?2 a +b (a+b) ? ? -? = - 2 4 2 ? ? 2 ? ? ? ? 2(a2+b2)-(a+b)2 a2+b2-2ab (a-b)2 = = = 4 ≥0. 4 4



a2+b2 a+b a+b 2 ≥ 2 ,即 2 ≤
2 a+b ab≤ 2 ≤

a2+b2 2 .

所以1 1≤ + a b

a2+b2 2 .

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典型例题 例 1 已知正数 0<a<1,0<b<1, a≠b, a+b, ab, 且 则 2 2ab, a2+b2,其中最大的一个是 A.a2+b2 B.2 ab C.2ab ( D ) D.a+b

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解析 因为 a、 b∈(0,1), a≠b, 所以 a+b>2 ab, 2+b2>2ab, a 所以,最大的只能是 a2+b2 与 a+b 之一.
而 a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1), 0<a<1,0<b<1, 又 所以 a-1<0,b-1<0,因此 a2+b2<a+b,所以 a+b 最大.

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小结

(1)大小比较除了用比较法,也可利用已知的不等式.

(2)本题是选择题,因此也可以采用赋值法,取特殊值解决.

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是 1 A. B.b C.2ab D.a2+b2 2 ?a+b? 1 ? ?2 解析 方法一 ∵ab<? ? ,∴ab<4, ? 2 ? 1 ∴2ab< . 2 a2+b2 a+b a2+b2 1 ∵ > >0,∴ > , 2 2 2 2 1 ∴a2+b2> . 2

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跟踪训练 1 设 0<a<b,且 a+b=1,在下列四个数中最大的 ( B )

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∵b-(a2 +b2)=(b-b2)-a2 =b(1-b)-a2 =ab-a2 =a(b- a)>0,∴b>a2+b2,∴b 最大.
方法二 (取特殊值) 1 3 3 5 2 2 取 a=4,b=4,则 2ab=8,a +b =8, 1 2 2ab<2<a +b2<b,故选 B.

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b+c c+a a+b 例 2 设 a,b,c 都是正数,求证: a + b + c ≥6. b+c c+a a+b 证明 + + a b c
b c c a a b = + + + + + a a b b c c ?b a? ? c a? ?c b? =?a+b?+?a+ c?+?b+c ? ? ? ? ? ? ? ∵a>0,b>0,c>0,
b a ba ∴a+b≥2 a·=2, b c a c b 同理,a+c≥2,b+c≥2. b+c c+a a+b ∴ a + b + c ≥6. 小结 在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合
理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式,以 便于利用基本不等式.

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1 跟踪训练 2 已知 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,求证:a+ 1 1 b+c ≥9. 证明 ∵a+b+c=1,
1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+c= a + b + c b c a c a b =3+a+a+b+b+c+c ?b a? ? c a? ?c b? =3+?a+b?+?a+c?+?b+c ? ? ? ? ? ? ?
≥3+2+2+2=9. 1 当且仅当 a=b=c=3时,取等号.

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1 1 n 例 3 a>b>c,n∈M 且 + ≥ ,求 n 的最大值. a-b b-c a-c 1 1 n 解 ∵ + ≥ ,且 a>b>c. a-b b-c a-c a-c a-c (a-c)2 ∴n≤ + = . a-b b-c (a-b)(b-c)
∵对 a、b、c 上式都成立, ? (a-c)2 ? ? ∴n≤? ?(a-b)(b-c)?min, ? ? 2 (a-c) (a-c)2 ∵ ≥ =4. (a-b)(b-c) ?(a-b)+(b-c)?2 ? ? ? ? 2 ? ? ∴n≤4,∴n 的最大值为 4.
小结 一般地,若函数 y=f(x),x∈D 既存在最大值,也存在 最小值,则: a>f(x),x∈D 恒成立?a>f(x)max; a<f(x),x∈D 恒成立?a<f(x)min.

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跟踪训练 3

?1 a? 已知不等式(x+y)?x+ y ?≥9 ? ?

对任意正实数 x,y ( C ) D.2

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恒成立,则正实数 a 的最小值为 A.8 B.6 C.4

?1 a ? 解析 只需求(x+y)?x+y ?的最小值大于等于 9 即可, ? ? ?1 a ? x y xy ? + ? =1+a·+ +a≥a+1+2 又(x+y) x y a··=a+2 y x yx ? ?

a

x y +1,等号成立仅当 a·=x即可,所以( a)2+2 y
即( a)2 +2 a≥4,即 a 的最小值为 4.

a+1≥9,

a-8≥0 求得 a≥2 或 a≤-4(舍去),所以

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1.若 0<a<b,则下列不等式一定成立的是 a+b a+b A.a> > ab>b B.b> ab> >a 2 2 a+b a+b C.b> > ab>a D.b>a> > ab 2 2 a+b 解析 ∵0<a<b,∴2b>a+b,∴b> . 2 a+b 2 ∵b>a>0,∴ab>a ,∴ ab>a.故 b> > ab>a. 2

( C )

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2.下列函数中,最小值为 4 的函数是 ( C ) 4 4 A.y=x+x B.y=sin x+ (0<x<π) sin x C.y=ex+4e-x D.y=log3x+logx81

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3.若不等式 x2-ax+1≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立,则 a 的取 值范围是________.

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解析 x2-ax+1≥0,x∈(0,1]恒成立
?ax≤x2+1,x∈(0,1]恒成立. 1 ?a≤x+x ,x∈(0,1]恒成立 1 ∵x∈(0,1],x+x ≥2,∴a≤2. 答案 a≤2

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4.a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
证明 ∵a2+b2≥2ab;b2+c2≥2bc;c2+a2≥2ca,
∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca), ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

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1.设 a,b 是两个正实数,用 min(a,b)表示 a,b 中的较小 的数, max(a, 用 b)表示 a, 中的较大的数, b 则有 min(a, a+b a2+b2 2 b)≤ ≤ ab≤ ≤ ≤max(a,b).当且仅 1 1 2 2 a +b 当 a=b 时,取到等号. a+b 2.两个不等式 a +b ≥2ab 与 ≥ ab都是带有等号的不 2
2 2

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等式, 对于“当且仅当?时, 取‘=’号”这句话的含义 要有正确的理解. a+b a+b 一方面: a=b 时, 当 = ab; 另一方面: 当 = ab 2 2 时,也有 a=b.


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