fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

数学物理方程与特征函数-11_图文

贝塞尔函数
? ? x2 y?? ? xy? ? x2 ? n2 y ? 0

? J

n

(

x)

?

? m?0

m!??

(?1)m (n ? m

?

1)

?? ?

x 2

n?2
? ? ?

m

Yn

(x)

?

lim
? ?n

J?

(x)

cos?? ? sin ? ?

J

??

(x)

y ? AJ n (x) ? BYn (x)

性质1 有界性
Jn (x) ? ??

Yn (0) ? ??

x ? 0 Yn (x) ? ??

性质2 奇偶性
J n (?x) ? (?1)n J n (x)
性质3 递推性

Yn (?x) ? (?1)n Yn (x)

? ? d
dx

xnJn (x)

? xn Jn?1(x)

? ? d
dx

x?n Jn (x)

? ?x?n Jn?1(x)

J n?1 (x)

?

J n?1 (x)

?

2n x

J n (x)

J n?1 (x) ? J n?1 (x) ? 2J n? (x)

? ? d
dx

xnYn (x)

? xnYn?1(x)

? ? d
dx

x?nYn (x)

?

?

x

Y ?n n?1

(

x)

Yn?1 ( x)

? Yn?1(x)

?

2n x

Yn (x)

Yn?1(x) ? Yn?1(x) ? 2Yn?(x)

性质4 初值
J 0 (0) ? 1

n ? 0 J n (0) ? 0

J1?(0)

?

1 2

n ? 1 Jn? (0) ? 0

Yn (0) ? ??

性质5 零点 有无穷多个对称分布的零点

J n (x)和 J n?1 (x) 的零点相间分布

? ? J n (x)

的零点趋于周期分布, lim m??

? (n) m?1

?

? (n) m



性质6 半奇数阶的贝塞尔函数

J n?1 (x) ? (?1)n 2

2

x

n? 1 2

??

1

?

d

?n ? sin x ? ?? ?

? ? x dx ? ? x ?

J ?(n?1) (x) ? 2

2

x

n?

1 2

??

1

?

d

?n ? cosx ? ?? ?

? ? x dx ? ? x ?

性质7 大宗量近似

Jn (x) ?

2
x?

cos?? x ?

?

1?
4

?

n?
2

?? ?

Yn (x) ?

2
x?

sin?? x ?

?

1?
4

?

n?
2

?? ?

性质8 正交性

?R 0

rJ

n

????

? (n m R

)

r

????

J

n

????

? (n) k R

r ????dr

?

?? ?

R

2

?? 2

J

2 n?1

(

?

(n) m

)

0, R2
? 2

J

2 n?1

(

?

(n) m

),

m?k m?k

d dx

J0 (?x)

?

?J 0?

(?x)

? ??J1(?x)

?

?

d
d?x

J0 (?x)

? ??J1(?x)

? ? d
dx

xnJn (x)

? xn Jn?1(x)

? ? d
dx

x?n J n (x)

? ?x ?n J n?1 (x)

J n?1 (x) ? J n?1 (x) ? 2J n? (x)

J n?1 (x)

?

J n?1 (x)

?

2n x

Jn

(x)

d dx

?xJ1

(?x)?

?

d
d?x

??xJ1

(?x)?

? ?xJ0 (?x)

? ? d
dx

xnJn (x)

? xn Jn?1(x)

? ? d
dx

x?n J n (x)

? ?x ?n J n?1 (x)

J n?1 (x) ? J n?1 (x) ? 2J n? (x)

J n?1 (x)

?

J n?1 (x)

?

2n x

Jn

(x)

? ? xn?1Jn (?x)dx ?

?? ?

t α

??n?1 ?

J

n

(t

)d

t α

? 1
? ? n?2

t n?1Jn (t)dt

? ?

1
? n?2

dt n?1J n?1(t)

?

t n?1
? n?2

Jn?1(t) ? C

?

x n ?1
?

Jn?1(?x) ? C

? ? d
dx

xnJn (x)

? xn Jn?1(x)

? ? d
dx

x?n J n (x)

? ?x ?n J n?1 (x)

J n?1 (x) ? J n?1 (x) ? 2J n? (x)

J n?1 (x)

?

J n?1 (x)

?

2n x

Jn

(x)

? ? xJ2 (x)dx ? x2x?1J2 (x)dx ? ? ? x2dx?1J1(x) ? ? ?xJ1(x) ? x?1J1(x)dx2 ? ? ?xJ1(x) ? 2 J1(x)dx ? ? ?xJ1(x) ? 2 dJ0 (x)
? ?xJ1(x) ? 2J0 (x) ? C

? ? d
dx

xnJn (x)

? xn Jn?1(x)

? ? d
dx

x?n J n (x)

? ?x ?n J n?1 (x)

J n?1 (x) ? J n?1 (x) ? 2J n? (x)

J n?1 (x)

?

J n?1 (x)

?

2n x

Jn

(x)

? ? x3J0 (x)dx ? x2dxJ1(x) ? ? x3J1(x) ? 2 x2J1(x)dx ? ? x3J1(x) ? 2 dx2J2 (x)
? x3J1(x) ? 2x2J2 (x) ? C

? ? d
dx

xnJn (x)

? xn Jn?1(x)

? ? d
dx

x?n J n (x)

? ?x ?n J n?1 (x)

J n?1 (x) ? J n?1 (x) ? 2J n? (x)

J n?1 (x)

?

J n?1 (x)

?

2n x

Jn

(x)

? ? R 0

J0 (x) cos

xdx

?

xJ0 (x) cos

x

|0R

?

R 0

xdJ0 (x) cos

x

? ? RJ0 (R) cos R ?

R 0

x?J

0?

(

x)

cos

x

?

J

0

(

x)

sin

x?dx

? ? RJ0(R) cosR ?

R 0

? ??

xJ1

(

x)

c

os

x

?

?xJ1

(

x)??

sin

x???dx

? ? RJ0 (R) cos R ?

R 0

?xJ1

(

x)

s

in

x??

dx

? RJ0 (R) cos R ? RJ1(R) sin R

? ? d
dx

xnJn (x)

? xn Jn?1(x)

? ? d
dx

x?n J n (x)

? ?x ?n J n?1 (x)

J n?1 (x) ? J n?1 (x) ? 2J n? (x)

J n?1 (x)

?

J n?1 (x)

?

2n x

Jn

(x)

J

0??(

x)

?

1 x

J 0?

(x)

?

?

J1?( x)

?

1 x

J1(x)

?

?

1 2

J0

(x)

?

1 2

J2

(x)

?

1 x

J1(x)

?

?

1 2

J0

(x)

?

1 2

J

2

(

x)

?

1 2

J0

(x)

?

1 2

J

2

(x)

? J2(x)

? ? d
dx

xnJn (x)

? xn Jn?1(x)

? ? d
dx

x?n J n (x)

? ?x ?n J n?1 (x)

J n?1 (x) ? J n?1 (x) ? 2J n? (x)

J n?1 (x)

?

J n?1 (x)

?

2n x

Jn

(x)

3J0? (x) ? 4J0???(x) ? ? 3J1(x) ? 4J1??(x) ? ?3J1(x) ? 2J0? (x) ? 2J2? (x)
? ?3J1(x) ? 2J1(x) ? J1(x) ? J3(x) ? ?J3(x)

? ? d
dx

xnJn (x)

? xn Jn?1(x)

? ? d
dx

x?n J n (x)

? ?x ?n J n?1 (x)

J n?1 (x) ? J n?1 (x) ? 2J n? (x)

J n?1 (x)

?

J n?1 (x)

?

2n x

Jn

(x)

证明

y?? ? 1? 2?
x

y? ? ??? ? 2
?

? 2 ? m2
? x2

???? y

?

0 的解为

y

?

x? Jm (?x)

y? ? ?x? ?1J m (?x) ? x? ?J m? (?x)
y?? ? ? ?? ?1?x? ?2 Jm (?x) ? ?x? ?1?Jm? (?x) ? ?x? ?1?Jm? (?x) ? x? ? 2 Jm??(?x)

? x? ? 2 Jm??(?x) ? 2?x? ?1?Jm? (?x) ? ? ?? ?1?x? ?2 Jm (?x)

x? ? 2 Jm??(?x) ? 2?x? ?1?Jm? (?x) ? ? ?? ?1?x? ?2 Jm (?x)

? ? ? 1? 2? x

?x? ?1Jm (?x) ? x? ?Jm? (?x)

?

????

?

2

?

?

2

? m2 x2

????

x?

J

m

(?x)

? ? ? x? ? 2 Jm??(?x) ? x? ?1?Jm? (?x) ? x2? 2 ? m2 x? ?2 Jm (?x)

? ? ? ? ? x? ?2 x2? 2 Jm??(?x) ? x?Jm? (?x) ? x2? 2 ? m2 Jm (?x)

? ? ? ? ? x? ?2 t 2Jm??(t) ? tJm? (t) ? t 2 ? m2 Jm (t)

?0

把定义在?0, R?上的函数

f

(r

)展成贝塞尔函数

J

n

(

? (n i R

)

r)

的级数形式

? f

(r)

?

? i ?1

Ci

J

n

(

? (n) i R

r)

? ? ? R
0

f

(r

)rJ

n

(

? (n) j R

r)dr

?

R 0

rJ

n

(

? (n) j R

r)

? i?1

Ci

J

n

(

? (n) i R

r)dr

? ? ?

?
Ci
i?1

R 0

rJ

n

(

? (n) j R

r

)

J

n

(

? (n) i R

r)dr

? ? C j

R 0

rJ

2 n

(

? (n j R

)

r)dr

? Ci ?

R 0

rf

(r

)

J

n

(

? (n) i R

r)dr

R2 2

J

2 n ?1

(?i(

n)

)

? ? ? C j

R2 2

J

2 n?1

(

?

( j

n)

)

?
f (r) ?
i ?1

2

R 0

rf

(r) J n (

? (n) i R

r)dr

R

2

J

2 n ?1

(

?i(

n)

)

J

n

(

? (n) i R

r)

?R 0

rJ

n

????

? (n) m R

r

????

J

n

????

? (n) k R

r ????dr

?

?? ?

R

2

?? 2

J

2 n?1

(

?

(n) m

)

0, ? R2
2

J

2 n?1

(?

(n m

)

),

m?k m?k

将1在 0 ? x ? 1 区间内展成 J 0 (?i(0) x) 的级数形式

?

? 1 ?

C

i

J

0

(

?

(0) i

x)

i ?1

? ? ? ? ? 1 0

xJ0 (?

(0) j

x)dx

?

1 0

xJ

0

(?

(0) j

x)

?

Ci

J

0

(

? (0) i

x)dx

i ?1

?

?
Ci
i ?1

1 0

xJ

0

(?

(0) j

x)

J

0

(

? (0) i

x)dx

? ? ? ?

1
? (0) 2 j

? 0

(0) j

tJ

0

(t

)dt

? ? C j

1 0

xJ

2

0

(?

(0) j

x)dx

? ? ? ?

1
? (0) 2 j

?

(0 j

)

0

dtJ1(t)

?

Cj

1 2

J12

(?

(0) j

)

?

1
? (0) j

J1

(?

(0) j

)

Cj

?

2

?

(0) j

J1

(?

(0) j

)

??
1? 2

J 0 (?i(0) x)

i ?1

?

(0) i

J1

(?i(

0)

)

? ? d
dx

xnJn (x)

? xn Jn?1(x)

? ? d
dx

x?n J n (x)

? ?x ?n J n?1 (x)

J n?1 (x) ? J n?1 (x) ? 2J n? (x)

J n?1 (x)

?

J n?1 (x)

?

2n x

Jn

(x)

?R 0

rJ

n

????

? (n) m R

r

????

J

n

????

? (n) k R

r ????dr

?

?? ?

R

2

?? 2

J

2 n?1

(?

(n m

)

)

0, ? R2
2

J

2 n?1

(?

(n m

)

),

m?k m?k

将x在0<x<2区间内展成

J1

(

? (1) i 2

x

)

的级数形式

? x

?

? i ?1

Ci

J1

(

?

(1) i
2

x

)

2
? ? ? ? ? 0

xxJ1(

?

(1) j
2

x

)dx

?

? ? ? ? ?

8
? (1) 3 j

? 0

(1) j

t

2

J1

(t

)dt

? ? ? ?

8
? (1) 3 j

?

(1) j

0

dt

2

J

2

(t)

? ?? ? ? ?

8
? (1) j

J

2

(

?

(1) j

)

2 0

xJ1

(

?

(1) j
2

x

)

? i?1

Ci

J1

(

? (1) i 2

x

)dx

? ?

?
i?1
Cj

2
Ci 0
2
xJ
0

xJ1(

2 1

(

?

?

(1) j

x

)

J

2

(1) j

x

)dx

2

0

(

? (1) i 2

x

)dx

?

C

j

2J

2 2

(?

(1) j

)

4

Cj

?

?

(1) j

J

2

(?

(1) j

)

?
x?4

J1(?i(1) x / 2)

d dx

xnJn (x)

? xn Jn?1(x)

d dx

x?n J n (x)

? ?x ?n J n?1 (x)

i ?1

? (1) i

J

2

(?i(1)

)

J n?1 (x) ? J n?1 (x) ? 2J n? (x)

J n?1 (x)

?

J n?1 (x)

?

2n x

Jn

(x)

?R 0

rJ

n

????

? (n) m R

r

????

J

n

????

? (n) k R

r ????dr

?

?? ?

R

2

?? 2

J

2 n?1

(?

(n m

)

)

0, ? R2
2

J

2 n?1

(?

(n m

)

),

m?k m?k

? 将

1?

x2 在0<x<1区间内展成

J

0

(

?

( i

0)

x)

的级数形式

?

1? x2 ?

Ci

J

0

(?

(0) i

x)

? ? ? ? ? ? ? 1 1? x2 0

xJ 0

(?

(0) j

x)dx

?

1 0

xJ

0

(?

(0) j

x)

?

Ci J0 (?i(0) x)dx ?

?

Ci

i ?1

1 0

xJ

0

(?

(0) j

x)

J

0

(?i(0)

x)dx

? ? ? ? ? ? ? ?

1
? (0) 2 j

?

(0 j

)

0

1?t2

/

? (0) j

2

tJ0 (t)dt

i ?1

i ?1

? ? C j

1 0

xJ

2

0

(?

(0) j

x)dx

? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?? ?? ? ? ? ? ?

1
? (0) j 2
? (0) j 2
? (0) j

2 4 2

?

( j

0

)

0

1?t2 /

? (0) j

2

dtJ1(t)

? 0

(0 j

)

t

2

J1

(t

)dt

Cj ?

4

J

2

(?

(0) j

)

? (0) j

2

J12

(

?

(0) j

)

J

2

(?

(0) j

)

?

4
? (0) 2 j

2
? (0) j

J1

(?

(0) j

)

?

J12

(

?

(0) j

? ? ? ? ?

8

? (0) j

3

J1

(?

(0) j

)

?
? 1? x2 ? 8
? ? i?1

J

0

(

? (0) i

x)

? (0) i

3 J1(?i(0) )

J )

0

(

?

(0 j

? ))

Cj

1 2

J12

(?

(0) j

)

d dx

xnJn (x)

? xn Jn?1(x)

d dx

x?n J n (x)

? ?x ?n J n?1 (x)

J n?1 (x) ? J n?1 (x) ? 2J n? (x)

J n?1 (x)

?

J n?1 (x)

?

2n x

Jn

(x)

?R 0

rJ

n

????

? (n) m R

r

????

J

n

????

? (n) k R

r ????dr

?

?? ?

R

2

?? 2

J

2 n?1

(?

(n m

)

)

0, ? R2
2

J

2 n?1

(?

(n m

)

),

m?k m?k

设?i (i ? 1,2,3,?)是方程 J0 (2x) ? 0

的正根,将函数

? 1, f (x) ? ??1/ 2,

展成贝塞尔函数 J0(?i x) 的级数。

?? 0,

?
? f (x) ? Ci J 0 (?i x) i ?1

0? x ?1 x ?1
1? x ? 2

2

1

? ? ? Cj ?

0

f

(x)xJ0 (?i x)dx 2J12 (2?i )

?

0 xJ0 (?i x)dx 2J12 (2?i )

?

1
2??i ?2 J12 (2?i )

?i 0

tJ0 (t)dt

?

J1(?i ) 2?i J12 (2?i )

? f

(x)

?

? i ?1

J1(?i ) 2?i J12 (2?i )

J0 (?i x)

? ? f

(r)

?

? i ?1

2

R 0

rf

(r

)

J

n

(

? (n) i R

r)dr

R

2

J

?( 2

(

n?1 i

n

)

)

J

n

(

? (n) i R

r)

? ? d
dx

xnJn (x)

? xn Jn?1(x)

? ? d
dx

x?n J n (x)

? ?x ?n J n?1 (x)

J n?1 (x) ? J n?1 (x) ? 2J n? (x)

J n?1 (x)

?

J n?1 (x)

?

2n x

Jn

(x)


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图