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高三数学2.2.2抛物线的简单性质 课件 (北师大选修1-1)


2.2《抛物线的简单几何性质》 教学目标 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 知识与技能目标 使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准 方程出发,推导这些性质. 从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学 生分析、归纳、推理等能力 过程与方法目标 复习与引入过程 1.抛物线的定义是什么? 请一同学回答.应为:“平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.” 2.抛物线的标准方程是什么? 再请一同学回答.应为:抛物线的标准方程是y2=2px(p>0), y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0)和x2=-2py(p>0). 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方 程y2=2px(p>0)出发来研究它的几何性质.《板书》抛物线 的几何性质 复习 标准方程 图形 y 2 ? 2 px( p ? 0) K y d F x o﹒ M 焦点和准线 p p 焦点 F ( , 0) 和准线 l : x ? ? 2 2 你认为这个标准方程对应的抛物线 还有什么几何性质呢? 类比探索 结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质: Y (1)范围 x≥0,y∈R X (2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点 抛物线和它的轴的交点. (4)离心率 始终为常数1 |PF|=x0+p/2 y P (5)焦半径 (6)通径 O F x 通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相 交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。 通径的长度:2P 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。 思考:通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗? 特点 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2 y =4x y2=2x 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心 ; 2 4 3 2 1 -2 2 4 6 8 10 2 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线 ; -1 -2 y =x 1 2 y = x 4.抛物线的离心率是确定的,为1; -3 -4 -5 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔 图 形 y l O F 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 x≥0 y∈R x≤0 x轴 e y2 = 2px p p F ( , 0 ) x?? x (p>0) 2 2 l y F O y2 = -2px p p F ( ? ,0) x ? 2 x(p>0) 2 x2 = 2py p p F (0, ) y ? ? 2 2 x (p>0) x2 y∈R (0,0) 1 y≥0 x∈R y轴 y≤0 y O F l y O F = -2py F (0,? p ) y ? p 2 x(p>0) 2 l x∈R 典型例题: 例1.已知抛物线关于x轴对称,顶点在坐标 原点,并且过点M(2, ?2 2 ),求它的标准方程. 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论 解:因为抛物线关于 x轴对称,它的顶点在原 点,并且经过 点M (2,?2 2 ),所以,可设它的标准方 程为y 2 ? 2 Px( P ? 0) 因为点M在抛物线上,所以 (?2 2 )2 ? 2P ? 2,即p ? 2 因此,所求抛物线的标 准方程是y ? 4x 2 变式:

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