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高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 . 双曲线练习 理-课件


第八章 平面解析几何 8.6 双曲线练习 理
[A 组?基础达标练] 1.设双曲线 2- =1(a>0)的渐近线方程为 3x±2y=0,则 a 的值为( a 9 A.4 C.2 答案 C 3 3 解析 由题意得 = ,a=2. a 2 2.双曲线 -y =1 的顶点到渐近线的距离为( 4 A. C. 2 5 2 5 5 B. D. 4 5 4 5 5 2 5 B.3 D.1

x

2

y

2

)

x2

2

)

答案 C 解析 双曲线的右顶点为(2,0),渐近线方程为 x±2y=0,则顶点到渐近线的距离为 = 2 5 . 5 π x y y x 3.已知 0<θ < ,则双曲线 C1: 2 - =1 与 C2: 2 - =1 的( 2 2 4 sin θ cos θ cos θ sin θ A.实轴长相等 C.离心率相等 答案 D 解析
2 2 2 2 2 2

)

B.虚轴长相等 D.焦距相等
2

双 曲 线 C1 的 半 焦 距 c1 = sin θ +cos θ = 1 , 双 曲 线 C2 的 半 焦 距 c2 =
2

sin θ +cos θ =1,故选 D. 4.[2016?芙蓉中学月考]已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点与圆 x +y -10x =0 的圆心重合,且双曲线的离心率等于 5,则该双曲线的标准方程为( A. - =1 5 20 C. - =1 20 5 )

x2 y2 a b

2

2

x

2

y

2

B. D.

- =1 25 20 - =1 20 25

x

2

y

2

x2

y2

x2

y2

答案 A 解析 因为圆 x +y -10x=0 的圆心为(5,0),所以 c=5,又双曲线的离心率等于 5, 所以 a= 5,b=2 5,故选 A. 5. [2015?安徽高考]下列双曲线中, 焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=±2x 的是( A.x - =1 4
2 2 2

)

y

2

B. -y =1 4
1

x

2 2

C. -x =1 4 答案 C

y2

2

D.y - =1 4

2

x2

x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 解析 双曲线 2- 2=1 和 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程分别为 2- 2=0 和 2- 2= a b a b a b a b
0.A、B 选项中双曲线的焦点在 x 轴上,C、D 选项中双曲线的焦点在 y 轴上,又令 -x =0, 4 1 得 y=±2x,令 y - =0,得 y=± x,故选 C. 4 2
2

y2

2

x2

x y 5 6.[2015?广东高考]已知双曲线 C: 2- 2=1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0), a b 4
则双曲线 C 的方程为( A. - =1 4 3 C. - =1 16 9
2

2

2

) B. - =1 9 16 D. - =1 3 4

x

2

y

2

x2

y2

x2

y2

x2 y2

答案 C 解析 由题意得 e=

b 5 2 2 2 2 2 1+ 2= ,又右焦点为 F2(5,0),a +b =c ,所以 a =16,b a 4 x2 y2

=9,故双曲线 C 的方程为 - =1. 16 9 7.已知双曲线 2-y =1(a>0)的一条渐近线为 3x+y=0,则 a=________. 答案 3 3
2

x2 a

2

x 1 1 2 解析 因为双曲线 2-y =1(a>0)的一条渐近线为 y=- 3x,即 y=± x,所以 = 3, a a a
故 a= 3 . 3

8.[2015?浙江高考]双曲线 -y =1 的焦距是________,渐近线方程是________. 2 答案 2 3

x2

2

y=±
2

2 x 2
2 2 2 2

解析 因为 a =2,b =1,c =a +b =3,故焦距为 2c=2 3,渐近线方程为 -y =0, 2 即 y=± 2 x. 2

x2

2

9.[2015?湖南高考]设 F 是双曲线 C: 2- 2=1 的一个焦点.若 C 上存在点 P,使线段

x2 y2 a b

PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为________.
答案 5 解析 由已知不妨设 F(-c,0),虚轴的一个端点为 B(0,b),B 恰为线段 PF 的中点,故
2

c2 ?2b?2 c2 2 P(c,2b),代入双曲线方程,由 2- =1 得 2=5,即 e =5,又 e>1,故 e= 5. 2 a b a
10.[2016?潍坊质检]已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的 距离等于 3,过右焦点 F2 的直线 l 交双曲线于 A、B 两点,F1 为左焦点. (1)求双曲线的方程; (2)若△F1AB 的面积等于 6 2,求直线 l 的方程. 解 (1)依题意,b= 3, =2? a=1,c=2,
2

x2 y2 a b

c a

∴双曲线的方程为 x - =1. 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由(1)知 F2(2,0). 易验证当直线 l 斜率不存在时不满足题意,

y2

y=k?x-2?, ? ? 故可设直线 l:y=k(x-2),由? 2 y2 x - =1, ? 3 ?
消元得(k -3)x -4k x+4k +3=0, 4k 4k +3 k≠± 3时,x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k -3 k -3
2 2 2 2 2 2

y1-y2=k(x1-x2),△F1AB 的面积 S=c|y1-y2|=2|k|?|x1-x2|
=2|k|? 16k -4?k -3??4k +3? 2 |k -3|
2 4 2 2

k +1 =12|k|? 2 =6 2. |k -3|
得 k +8k -9=0,则 k=±1. 所以直线 l 方程为 y=x-2 或 y=-x+2. [B 组?能力提升练] 1.[2016?衢州模拟]过双曲线 2- 2=1(b>a>0)的左焦点 F(-c,0)(c>0)作圆 x +y = → → 1 a 的切线,切点为 E,延长 FE 交抛物线 y =4cx 于点 P,O 为坐标原点,若OE= (OF+OP), 2
2 2 4 2

x a

2

y2 b

2

2



则双曲线的离心率为( A. C. 3+ 3 2 5 2

) B. D. 1+ 3 2 1+ 5 2

答案 D 解析 抛物线的焦点坐标为 F2(c,0),
3

准线方程为 x=-c. → → 1 圆的半径为 a,OE= (OF+OP), 2 →

所以 E 是 FP 的中点, 又 E 是切点, 所以 OE⊥FP,连接 PF2,则 PF2⊥FP, 且 OE=a,所以 PF2=2a,FE=b,PF=2b, 过 P 作准线的垂线 PM,则 PM=PF2=2a, 所以 MF= PF -PM = ?2b? -?2a? =2 b -a , 在直角三角形 FPF2 中,PF?PF2=FF2?MF, 即 2b?2a=2c?2 b -a , 所以 c (b -a )=a b , 即 c (c -2a )=a (c -a ), 整理得 c -3a c +a =0, 即 e -3e +1=0, 3± 9-4 3± 5 3- 5 3+ 5 3+ 5 2 2 2 2 解得 e = = ,根据题意舍去 e = ,所以 e = ,即 e = 2 2 2 2 2 = 6+2 5 ? 5+1? 1+ 5 = ,即 e= ,故选 D. 4 4 2 2.[2015?湖北高考]将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时 增加 m(m>0)个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则( A.对任意的 a,b,e1>e2 B.当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 C.对任意的 a,b,e1<e2 D.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2 答案 D )
2 4 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

a2+b2 解析 依题意,e1= = a e2=
?a+m? +?b+m? = a+m
2 2

1+? ? , a 1+?

?b?2 ? ?

?b+m?2. ? ?a+m?

因为 - <1,0<

b b+m ab+bm-ab-am m?b-a? b = = ,由于 m>0,a>0,b>0,所以当 a>b 时,0< a a+m a?a+m? a?a+m? a

b+m <1, a+m

b b+m ?b?2 ?b+m?2 < ,? ? <? ? ,所以 e1<e2;当 a<b 时, a a+m ?a? ?a+m? b b+m b b+m ?b?2 ?b+m?2,所以 e >e .所以当 a>b 时,e <e ;当 a<b >1, >1,而 > ,所以? ? >? ? 1 2 1 2 a a+m a a+m ?a? ?a+m?
时,e1>e2,故选 D. 3.已知点 P 在曲线 C1: - =1 上,点 Q 在曲线 C2:(x-5) +y =1 上,点 R 在曲线 16 9

x2

y2

2

2

C3:(x+5)2+y2=1 上,则|PQ|-|PR|的最大值为________.
答案 10 解析 依题意知 P 在曲线 C1 的左支上时|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值为|PC2| + 1, |PR|的最小值为|PC3| -1,则 |PQ|- |PR|的最大值是|PC2|+ 1- (|PC3|- 1) =|PC2| - |PC3|+2=8+2=10. 4. [2016?贵州六校联考]我们把焦点相同, 且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对 “相关曲线”.已知 F1、F2 是一对相关曲线的焦点,P 是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2 =60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是________. 答案 3 解析 设椭圆的半长轴为 a1,椭圆的离心率为 e1, 则 e1= ,a1= . 设双曲线的实半轴为 a,双曲线的离心率为 e,

c a1

c e1

c c e= ,a= . a e
|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0), 则由余弦定理得 4c =x +y -2xycos60°=x +y -xy, 当点 P 看作是椭圆上的点时, 有 4c =(x+y) -3xy=4a1-3xy,① 当点 P 看作是双曲线上的点时, 有 4c =(x-y) +xy=4a +xy,② ①②联立消去 xy 得 4c =a1+3a , 即 4c =? ? +3? ? ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? c ?2 ?e1?

?c?2 ?e?

? 1 ?2 ?1?2 所以? ? +3? ? =4, e e ? 1? ? ?
5

1 又因为 =e,

e1

3 2 所以 e + 2=4,

e

整理得 e -4e +3=0,解得 e =3, 所以 e= 3, 即双曲线的离心率为 3.

4

2

2

5.[2014?湖南高考]如图,O 为坐标原点,双曲线 C1: 2- 2=1(a1>0,b1>0)和椭圆 C2:

x2 y2 a1 b1

y2 x2 ?2 3 ? + 2=1(a2>b2>0)均过点 P? 且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是 ,1?, a2 b 2 2 ? 3 ?
面积为 2 的正方形. (1)求 C1,C2 的方程; → → (2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1 交于 A,B 两点,与 C2 只有一个公共点,且|OA+OB|= → |AB|?证明你的结论. 解 (1)设 C2 的焦距为 2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2. 从而 a1=1,c2=1. 因为点 P? 所以?

y ?2 3 ? 2 ,1?在双曲线 x - 2=1 上, b1 ? 3 ?
2

?2 3?2 1 2 ? - 2=1.故 b1=3. ? 3 ? b1 ?2 3?2 2 ? ? +?1-1? + ? 3 ?
2 2 2

由椭圆的定义知 2a2=

?2 3?2 2 ? ? +?1+1? =2 3. ? 3 ?

于是 a2= 3,b2=a2-c2=2.

6

故 C1,C2 的方程分别为 x - =1, + =1. 3 3 2 (2)不存在符合题设条件的直线. ①若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2 只有一个公共点, 所以直线 l 的方程为 x= 2或 x=- 2. 当 x= 2时,易知 A( 2, 3),B( 2,- 3), → → → → → → → → → 所以|OA+OB|=2 2,|AB|=2 3. 此时,|OA+OB|≠|AB|. 当 x=- 2时,同理可知,|OA+OB|≠|AB|. ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y=kx+m.

2

y2

y2 x2

y=kx+m, ? ? 由? 2 y2 x - =1 ? 3 ?
得(3-k )x -2kmx-m -3=0. 当 l 与 C1 相交于 A,B 两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1,x2 是上述方程的两个实根, 2km m +3 从而 x1+x2= . 2,x1x2= 2 3-k k -3 3k -3m 2 2 于是 y1y2=k x1x2+km(x1+x2)+m = 2 . k -3
2 2 2 2 2 2

y=kx+m, ? ? 2 2 由?y x + =1 ? ?3 2

得(2k +3)x +4kmx+2m -6=0.

2

2

2

因为直线 l 与 C2 只有一个公共点, 所以上述方程的判别式 Δ =16k m -8(2k +3)(m -3)=0. 化简,得 m =2k +3. → → 因此OA?OB=x1x2+y1y2= →
2 2 2 2 2 2 2

m2+3 3k2-3m2 -k2-3 + 2 = 2 ≠0, k2-3 k -3 k -3

2


2

→ → → →


2

→ → →

于是OA +OB +2OA?OB≠OA +OB -2OA?OB, → →
2

→ →
2

即|OA+OB| ≠|OA-OB| .故|OA+OB|≠|AB|. 综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.

7


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