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2016赤峰工业职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)

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一、选择题 2 1.已知 sinα= ,则 cos(π-2α)=( 3 5 A.- 3 1 B.-9 C. 1 9 5 3 )

D.

解析:选 B.由诱导公式,得 cos(π-2α)=-cos2α. 4 1 1 ∵cos2α=1-2sin2α=1-2× = ,∴cos(π-2α)=- . 9 9 9 π 1 2.设 sin?4+θ?=3,则 sin 2θ=(

?

?

)

7 A.-9 1 B.-9 1 C.9 7 D.9 π 2 1 1 1 解析:选 A.sin?4+θ?= 2 (sin θ+cos θ)=3,将上式两边平方,得2(1+sin 2θ)=9, ? ? 7 ∴sin 2θ=- . 9 3.在△ABC 中,A=60° ,b=5,这个三角形的面积为 10 3,则△ABC 外接圆的直 径是( )

A.7 3

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B. 14 3 3

7 3 C. 3 D.14 3 1 解析:选 B.由于 S=2bc· sinA=10 3, 3 即 5c· =20 3,得 c=8. 2 又由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA, a 14 3 即得 a=7,2R=sinA= 3 ,故选 B. cos?θ1-θ0?+cos?θ2-θ0?+?+cos?θn-θ0? 4.定义 为集合{θ1,θ2,?,θn}相对常数 n 2π 2π θ0 的“余弦平均数”.则集合{- 3 ,0, 3 }相对常数 θ0 的“余弦平均数”是( A.0 1 B.2 1 C.-3 D.与 θ0 的取值有关 解析:选 A.依题意, 2π 2π cos?- 3 -θ0?+cos?0-θ0?+cos? 3 -θ0? 3 2π 2π 2π 2π cos?- 3 ?cosθ0+sin?- 3 ?sinθ0+cosθ0+cos 3 cosθ0+sin 3 sinθ0 = 3 -cosθ0+cosθ0 = =0. 3 5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac, 则角 B 的值为( ) )

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π A. 6 π 5π C.6或 6 B. π 2π D.3或 3 π 3

解析:选 D.由(a2+c2-b2)tanB= 3ac, a2+c2-b2 3 cosB 得 2ac = 2 · sinB , 即 cosB= 3 cosB 3 · ,∴sinB= . 2 sinB 2

π 2π 又∵角 B 在三角形中,∴角 B 为3或 3 .故选 D. 二、填空题 6.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 c= 2,b= 6,B=120° ,则 a=________. 6 2 1 解析:由正弦定理得sin120° =sinC,得 sinC=2,于是有 C=30° .从而 A=30° .于是 △ABC 是等腰三角形,a=c= 2. 答案: 2 2 5 7.设 f(x)是以 2 为周期的奇函数,且 f(-5)=3,若 sinα= 5 ,则 f(4cos2α)的值等 于________. 解析:∵sinα= 5 , 5

1 12 ∴4cos2α=4(1-2sin2α)=4×(1-2× )= , 5 5 12 12 ∴f(4cos2α)=f( 5 )=f[ 5 +2×(-1)] 2 2 =f(5)=-f(-5)=-3. 答案:-3 8.sin40° (tan10° - 3)的值为______.

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sin10° 解析:原式=sin40° ( - 3) cos10° sin40° ?sin10° - 3cos10° ? = cos10° 1 3 2sin40° ? sin10° - cos10° ? 2 2 = cos10° 2sin40° ?sin30° sin10° -cos30° cos10° ? = cos10° -2sin40° cos40° -sin80° = = sin80° =-1. cos10° 答案:-1 三、解答题 1 9.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(2,cos2θ)在角 α 的终边上,点 Q(sin2θ,-1) 1 → → 在角 β 的终边上,且OP· OQ=-2. (1)求 cos2θ 的值; (2)求 sin(α+β)的值. 1 1 1 → → 解:(1)∵OP· OQ=-2,∴2sin2θ-cos2θ=-2, 1 1 2 即 (1-cos2θ)-cos2θ=- ,∴cos2θ= , 2 2 3 1 ∴cos2θ=2cos2θ-1=3. 2 1 (2)∵cos2θ=3,∴sin2θ=3, 1 2 1 1 2 ∴点 P(2,3),点 Q(3,-1).又点 P(2,3)在角 α 的终边上, 4 3 ∴sinα=5,cosα=5. 3 10 10 同理 sinβ=- 10 ,cosβ= 10 ,

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4 10 3 3 10 10 ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= × + ×(- )=- . 5 10 5 10 10 π 1 10.在△ABC 中,C-A=2,sinB=3. (1)求 sinA 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. π π B 解:(1)∵C-A=2且 C+A=π-B,∴A=4- 2 . π B 2 B B ∴sinA=sin( - )= (cos -sin ). 4 2 2 2 2 1 B B 1 1 ∴sin2A= (cos -sin )2= (1-sin B)= . 2 2 2 2 3 又 sinA>0,∴sinA= 3 . 3 3 6·3 π B =3 2.由 A= - 知,A、B 1 4 2 3

AC BC AC· sinA (2)由正弦定理得 = ,∴BC= = sinB sinA sinB 均为锐角, 1 3 由 sinB=3,sinA= 3 ,得 2 2 6 cosB= 3 ,cosA= 3 .

3 2 2 6 1 6 又 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 3 × 3 + 3 ×3= 3 , 1 ∴S△ABC= AC· BC· sinC 2 1 6 =2× 6×3 2× 3 =3 2. 11.(1)①证明两角和的余弦公式 C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; ②由 C(α+β)推导两角和的正弦公式 S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. 1 → → 3 (2)已知△ABC 的面积 S=2,AB· AC=3,且 cosB=5,求 cosC.

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解:(1)①证明:如图,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角 α,β 与-β, 使 α 的始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于点 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙ O 于点 P3;角-β 的始边为 OP1,终边交⊙O 于点 P4. 则 P1(1,0),P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)). 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β) =[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2. 展开并整理,得 2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ), ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. π π ②由①易得,cos( -α)=sinα,sin( -α)=cosα. 2 2 π π sin(α+β)=cos[2-(α+β)]=cos[(2-α)+(-β)] π π =cos(2-α)cos(-β)-sin(2-α)sin(-β) =sinαcosβ+cosαsinβ, ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (2)由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c, 1 1 → → 则 S=2bcsinA=2,AB· AC=bccosA=3>0, π ∴A∈(0,2),cosA=3sinA. 又 sin2A+cos2A=1, ∴sinA= 10 3 10 ,cosA= . 10 10

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3 4 由 cosB= ,得 sinB= , 5 5 10 ∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB= 10 . 10 故 cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=- 10 .


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