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龙文区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

龙文区外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中,最大的是( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A. B.8 C. D. x 2 2. 已知 f(x)=m?2 +x +nx,若{x|f(x)=0}={x|f(f(x))=0}≠?,则 m+n 的取值范围为( A.(0,4) B.[0,4) C.(0,5] D.[0,5]



3. 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题,《张丘建算经》卷上第 22 题为: “今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织 5 尺布,现在一月 (按 30 天计),共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天比前一天多织( A. B. C. D. )尺布.

2 4. 已知集合 A ? x y ? ln(1 ? 2 x ) , B ? x x ? x ,全集 U ? A

?

?

?

?

B ,则 CU ? A B? ? (



?1 ? ? 1 ? ? 1 ? (C) ? ??, 0 ? ? ? ,1? (D) ? ? , 0 ? ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? 5. 在等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 82 , a3 ? an?2 ? 81,且数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 121,则此数列的项数 n
(A)

? ??,0?


( B ) ? ? ,1?

等于( A.4

B.5

C.6

D.7

【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式,对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一 定要求,难度中等.

1 ,则 | MN |? ( ) 2 A. 10 B. 180 C. 6 3 D. 6 5 7. 如图, ABCD ? A1B1C1D1 为正方体,下面结论:① BD // 平面 CB1D1 ;② AC1 ? BD ;③ AC1 ? 平
6. 过点 M (?2, a) , N ( a,4) 的直线的斜率为 ? 面 CB1D1 .其中正确结论的个数是( )

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A.

B.

C.

D.

8. 已知数列{ an }满足 an ? 8 ? 和 m ,则 M ? m ? ( A. )

2n ? 7 ? ( n ? N ).若数列{ an }的最大项和最小项分别为 M 2n 27 2
) C.

11 2

B.

259 32

D.

435 32

9. 若 f ( x) ? ? A.8

? f ( x ? 2), ( x ? 2) 则 f (1) 的值为( ?x 2 , ( x ? 2 ) ? 1 1 B. C.2 D. 2 8

10.高三年上学期期末考试中,某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示,数据分组依次如下:[70,90), [90,110),[100,130),[130,150),估计该班级数学成绩的平均分等于( )

A.112 B.114 C.116 D.120 11.已知 f(x)= A.﹣1 B.0 ,则 f(2016)等于( C.1 ) D.2 )

12.如图,棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为线段 A1B 上的动点,则下列结论正确的有( ①三棱锥 M﹣DCC1 的体积为定值 ③∠AMD1 的最大值为 90° ②DC1⊥D1M ④AM+MD1 的最小值为 2.

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A.①②

B.①②③ C.③④

D.②③④

二、填空题
13.函数 y=1﹣ (x∈R)的最大值与最小值的和为 2 .

14.已知直线 l 过点 P(﹣2,﹣2),且与以 A(﹣1,1),B(3,0)为端点的线段 AB 相交,则直线 l 的斜 率的取值范围是
2

. .
2

15.【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】函数 f(x)=x﹣lnx 的单调减区间为 16. F1 , F2 分别为双曲线

x y ? 2 ? 1 ( a , b ? 0 )的左、右焦点,点 P 在双曲线上,满足 PF 1 ? PF 2 ?0, 2 a b 3 ?1 若 ?PF1F2 的内切圆半径与外接圆半径之比为 ,则该双曲线的离心率为______________. 2
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识,意在考查 基本运算能力及推理能力. 17.设函数 f(x)= 若 f[f(a)] ,则 a 的取值范围是 .

18.已知一个算法,其流程图如图,则输出结果是



三、解答题
19.如图,正方形 ABCD 中,以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F,连接 CF 并 延长交 AB 于点 E. (Ⅰ)求证:AE=EB; (Ⅱ)若 EF?FC= ,求正方形 ABCD 的面积.

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20.(本小题 12 分)在多面体 ABCDEFG 中,四边形 ABCD 与 CDEF 是边长均为 a 正方形, CF ? 平面

ABCD , BG ? 平面 ABCD ,且 AB ? 2 BG ? 4 BH .
(1)求证:平面 AGH ? 平面 EFG ; (2)若 a ? 4 ,求三棱锥 G ? ADE 的体积.

【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识,间在考查空间想象 能力、逻辑推理能力,以及转化的思想、方程思想.

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21.已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,f(1)=1,且若? a、b∈[﹣1,1],a+b≠0,恒有 0, (1)证明:函数 f(x)在[﹣1,1]上是增函数; (2)解不等式 ;



2 (3)若对? x∈[﹣1,1]及? a∈[﹣1,1],不等式 f(x)≤m ﹣2am+1 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边为 a, b, c ,已知

A ? (cos B ? 3 sin B ) cos C ? 1 . 2 (I)求角 C 的值; 2 cos 2
(II)若 b = 2 ,且 ?ABC 的面积取值范围为 [

3 , 3] ,求 c 的取值范围. 2

【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识,意在考查基本运算能力.

23.已知向量 , 满足| |=1,| |=2, 与 的夹角为 120°. (1)求 及| + |; (2)设向量 + 与 ﹣ 的夹角为 θ,求 cosθ 的值.

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24.设 F 是抛物线 G:x2=4y 的焦点. (1)过点 P(0,﹣4)作抛物线 G 的切线,求切线方程; (2)设 A,B 为抛物线上异于原点的两点,且满足 FA⊥FB,延长 AF,BF 分别交抛物线 G 于点 C,D,求四 边形 ABCD 面积的最小值.

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龙文区外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】 【分析】通过三视图分析出几何体的图形,利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值. 【解答】解:由题意可知,几何体的底面是边长为 4 的正三角形,棱锥的高为 4,并且高为侧棱

垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥, 两个垂直底面的侧面面积相等为:8, 底面面积为: 另一个侧面的面积为: 四个面中面积的最大值为 4 故选 C. 2. 【答案】B ∴f(x1)=f(f(x1))=0, ∴f(0)=0, 即 f(0)=m=0, 故 m=0;
2 故 f(x)=x +nx,

=4

, =4 ; ,

【解析】解:设 x1∈{x|f(x)=0}={x|f(f(x))=0},

f(f(x))=(x2+nx)(x2+nx+n)=0, 当 n=0 时,成立;
2 当 n≠0 时,0,﹣n 不是 x +nx+n=0 的根, 2 故△=n ﹣4n<0,

故 0<n<4; 综上所述,0≤n+m<4; 故选 B. 【点评】 本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用, 同时考查了方程的根的判断, 属于中档题. 3. 【答案】D

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【解析】解:设从第 2 天起每天比前一天多织 d 尺布 m 则由题意知 解得 d= . ,

故选:D. 【点评】本题考查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的通项公式的求解. 4. 【答案】C 【解析】

1? ? ? 1? A ? ? ??, ? , B ? ?0,1? , A B ? ?0, ? , U ? ? ??,1? ,故选 C. 2? ? ? 2?
5. 【答案】B

6. 【答案】 D 【解析】

考点:1.斜率;2.两点间距离. 7. 【答案】 D 【解析】

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考 点:1.线线,线面,面面平行关系;2.线线,线面,面面垂直关系. 【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题,属于中档题型,多项选择题是容易出错的一个题,当考察线面平 行时, 需证明平面外的线与平面内的线平行, 则线面平行, 一般可构造平行四边形, 或是构造三角形的中位线, 可证明线线平行,再或是证明面面平行,则线面平行,一般需在选取一点,使直线与直线外一点构成平面证明 面面平行,要证明线线垂直,可转化为证明线面垂直,需做辅助线,转化为线面垂直. 8. 【答案】D 【解析】

2n ? 7 2n ? 5 2n ? 5 2n ? 7 ,? an ?1 ? 8 ? n ?1 ,? an ?1 ? an ? n ?1 ? n 2 2 2 2n 2n ? 5 ? 2 ? 2n ? 7 ? ?2n ? 9 ? ? ,当 1 ? n ? 4 时, an?1 ? an ,即 a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ;当 n ? 5 时, an?1 ? an , 2n ?1 2n ?1 259 11 ? a1 ? ,? 最小 即 a5 ? a6 ? a7 ? ....因此数列 ?an ?先增后减,? n ? 5, a5 ? 为最大项,n ? ?, an ? 8 , 32 2 11 11 259 435 ? 项为 ,? m ? M 的值为 ? .故选 D. 2 2 32 32
试题分析:? 数列 an ? 8 ? 考点:数列的函数特性. 9. 【答案】B 【解析】 试题分析: f ?1? ? f ? 3? ? 2 考点:分段函数。 10.【答案】B 【解析】解:根据频率分布直方图,得; 该班级数学成绩的平均分是 =80×0.005×20+100×0.015×20 +120×0.02×20+140×0.01×20 =114. 故选:B.
?3

?

1 ,故选 B。 8

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【点评】本题考查了根据频率分布直方图,求数据的平均数的应用问题,是基础题目. 11.【答案】D 【解析】解:∵f(x)= ,

∴f(2016)=f(2011)=f(2006)=…=f(1)=f(﹣4)=log24=2, 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数求值,难度不大,属于基础题. 12.【答案】A 【解析】解:①∵A1B∥平面 DCC1D1,∴线段 A1B 上的点 M 到平面 DCC1D1 的距离都为 1,又△DCC1 的面积 为定值 ,因此三棱锥 M﹣DCC1 的体积 V= = 为定值,故①正确.

②∵A1D1⊥DC1,A1B⊥DC1,∴DC1⊥面 A1BCD1,D1P?面 A1BCD1,∴DC1⊥D1P,故②正确. ③当 0<A1P< 时,在△AD1M 中,利用余弦定理可得∠APD1 为钝角,∴故③不正确;

④将面 AA1B 与面 A1BCD1 沿 A1B 展成平面图形,线段 AD1 即为 AP+PD1 的最小值, 在△D1A1A 中, ∠D1A1A=135°, 利用余弦定理解三角形得 AD1= 故④不正确. 因此只有①②正确. 故选:A. = <2,

二、填空题
13.【答案】2 【解析】解:设 f(x)=﹣ 即 f(x)的最大值与最小值之和为 0. 将函数 f(x)向上平移一个单位得到函数 y=1﹣ 的最大值与最小值的和为 2. 的图象,所以此时函数 y=1﹣ (x∈R) ,则 f(x)为奇函数,所以函数 f(x)的最大值与最小值互为相反数,

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故答案为:2. 【点评】 本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系, 奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决 本题的关键. 14.【答案】 [ ,3] . 【解析】解:直线 AP 的斜率 K= 直线 BP 的斜率 K′= = =3,

由图象可知,则直线 l 的斜率的取值范围是[ ,3], 故答案为:[ ,3],

【点评】本题给出经过定点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点,求 l 的斜率取值范围.着重考查了直线的斜率与 倾斜角及其应用的知识,属于中档题. 15.【答案】(0,1)

【解析】 考点:本题考查函数的单调性与导数的关系 16.【答案】 3 ? 1
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17.【答案】 【解析】解:当 ∵ 当 ,由

或 a=1 . 时, . ,解得: ,所以 ;

,f(a)=2(1﹣a), ,则 ,

∵0≤2(1﹣a)≤1,若 分析可得 a=1. 若 由 综上得: 故答案为: 中档题. 18.【答案】 5 . 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 a=1,a=2 不满足条件 a >4a+1,a=3 不满足条件 a >4a+1,a=4
2 2

,即 ,得: 或 a=1. 或 a=1. .

,因为 2[1﹣2(1﹣a)]=4a﹣2,

【点评】本题考查了函数的值域,考查了分类讨论的数学思想,此题涉及二次讨论,解答时容易出错,此题为

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不满足条件 a >4a+1,a=5
2 满足条件 a >4a+1,退出循环,输出 a 的值为 5.

2

故答案为:5. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,依次正确写出每次循环得到的 a 的值是解题的关键,属于基本 知识的考查.

三、解答题
19.【答案】 【解析】证明:(Ⅰ)∵以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径半圆交于点 F, 且四边形 ABCD 为正方形, ∴EA 为圆 D 的切线,且 EB 是圆 O 的切线,
2 由切割线定理得 EA =EF?EC,

故 AE=EB. (Ⅱ)设正方形的边长为 a,连结 BF, ∵BC 为圆 O 的直径,∴BF⊥EC,
2 在 Rt△BCE 中,由射影定理得 EF?FC=BF = ,

∴BF=

=

,解得 a=2,

∴正方形 ABCD 的面积为 4.

【点评】本题考查两线段相等的证明,考查正方形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维 能力的培养.

20.【答案】 【解析】(1)连接 FH ,由题意,知 CD ? BC , CD ? CF ,∴ CD ? 平面 BCFG . 又∵ GH ? 平面 BCFG ,∴ CD ? GH .

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CD ,∴ EF ? GH ……………………………2 分 1 3 1 5 2 2 2 2 a , 由题意,得 BH ? a , CH ? a , BG ? a ,∴ GH ? BG ? BH ? 4 4 2 16 5 25 2 FG 2 ? (CF ? BG ) 2 ? BC 2 ? a 2 , FH 2 ? CF 2 ? CH 2 ? a , 4 16 2 2 2 则 FH ? FG ? GH ,∴ GH ? FG .……………………………4 分
又∵ EF 又∵ EF

FG ? F , GH ? 平面 EFG .……………………………5 分

∵ GH ? 平面 AGH ,∴平面 AGH ? 平面 EFG .……………………………6 分

21.【答案】 【解析】解:(1)证明:任取 x1、x2∈[﹣1,1],且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2) ∵ 即 ∵x1﹣x2<0, ∴f(x1)﹣f(x2)<0. >0, >0,

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则 f(x)是[﹣1,1]上的增函数; (2)由于 f(x)是[﹣1,1]上的增函数, 不等式 ﹣1≤x+ < ≤1, 即为

解得﹣ ≤x<﹣1, 即解集为[﹣ ,﹣1);
2 (3)要使 f(x)≤m ﹣2am+1 对所有的 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,

只须 f(x)max≤m ﹣2am+1,即 1≤m ﹣2am+1 对任意的 a∈[﹣1,1]恒成立, 亦即 m ﹣2am≥0 对任意的 a∈[﹣1,1]恒成立.令 g(a)=﹣2ma+m , 只须 ,
2 2

2

2

解得 m≤﹣2 或 m≥2 或 m=0,即为所求. 22.【答案】 【解析】(I)∵ 2 cos 2

A ? (cos B ? 3 sin B ) cos C ? 1 , 2

∴ cos A ? cos B cosC ? 3 sin B cosC ? 0 , ∴ ? cos(B ? C) ? cos B cosC ? 3 sin B cosC ? 0 , ∴ ? cos B cosC ? sin B sin C ? cos B cosC ? 3 sin B cosC ? 0 , ∴ sin B sin C ? 3 sin B cosC ? 0 ,因为 sin B > 0 ,所以 tanC ? 3 又∵ C 是三角形的内角,∴ C ?

?
3

.

23.【答案】

【解析】解:(1) ∴ =

=

; ;

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; ; ; . 求 的方法,以及向量夹角

(2)同理可求得



=

【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式,根据 余弦的计算公式. 24.【答案】 【解析】解:(1)设切点 由 . ,

,知抛物线在 Q 点处的切线斜率为 .

故所求切线方程为
2 即 y= x0x﹣ x0 .

因为点 P(0,﹣4)在切线上. 所以 , ,解得 x0=±4.

所求切线方程为 y=±2x﹣4. (2)设 A(x1,y1),C(x2,y2). 由题意知,直线 AC 的斜率 k 存在,由对称性,不妨设 k>0. 因直线 AC 过焦点 F(0,1),所以直线 AC 的方程为 y=kx+1. 点 A,C 的坐标满足方程组 得 x ﹣4kx﹣4=0, 由根与系数的关系知 |AC|= , =4(1+k2),
2



因为 AC⊥BD,所以 BD 的斜率为﹣ ,从而 BD 的方程为 y=﹣ x+1. 同理可求得|BD|=4(1+ ),

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SABCD= |AC||BD|= 当 k=1 时,等号成立.

=8(2+k2+

)≥32.

所以,四边形 ABCD 面积的最小值为 32. 【点评】本题考查抛物线的方程和运用,考查直线和抛物线相切的条件,以及直线方程和抛物线的方程联立, 运用韦达定理和弦长公式,考查基本不等式的运用,属于中档题.

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