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上海市嘉定区2013届高三上学期期末教学质量调研数学理试题


2012 学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷(理)
考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料,解答必须在答题纸上进行,写在试卷或草稿纸 上的解答一律无效. 2.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚,并在规定的区域内 贴上条形码. 3.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个 空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若

z i ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? ___________. 1 i

2 . 已 知 集 合

A ? {x ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 , x ? R} , B ? {x x ? 1 ? 0 , x ? R} , 则

A? B ? _____________. 3.函数 f ( x) ? (sinx ? cosx) 2 ? 1的最小正周期是___________. 4.一组数据 8 , 9 , x , 11 , 12 的平均数是 10,则这组数据的方差是_________.
5.在等差数列 {an } 中, a1 ? ?10 ,从第 9 项开始为正数, 则公差 d 的取值范围是__________________. 6.执行如图所示的程序框图,则输出的 a 的 值为_____________.
否 开始

i ?0 a ?4 i?3
是 输出 a

i ? i ?1
a? a?2 a?2

结束

(第 6 题图) 7.小王同学有 4 本不同的数学书, 3 本不同的物理书和 3 本不同的化学书,从中任取 2 本,则这 2 本 书属于不同学科的概率为______________(结果用分数表示) . 8.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 R 的半圆,则这个圆锥的体积是________. 9.点 M 是曲线 y ?

1 2 x ? 1 上的一个动点,且点 M 为线段 OP 的中点,则动点 P 的轨迹方程为 2 1 3 , tan B ? ,且△ ABC最大边的长为 17 ,则△ ABC最小边 4 5

__________________. 10.在△ ABC中,已知 tan A ?

的长为____________. 11.将直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 , l 2 : nx ? y ? n ? 0 , l 3 : x ? ny ? n ? 0 ( n ? N , n ? 2 )围成的
*

三角形面积记为 S n ,则 limS n ? ___________. 大值是___________. 13.观察下列算式:

n?? ? ? ? ? ? ? ? ? 12.已知 a 、 b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c ) ? (b ? c ) ? 0 ,则 | c | 的最

13 ? 1 ,
23 ? 3 ? 5 , 33 ? 7 ? 9 ? 11 , 4 3 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ,
? ?
3

?

?

若某数 m 按上述规律展开后,发现等式右边含有“ 2013 ”这个数,则 m ? _______. 14.设 m 、 n ? R ,定义在区间 [ m , n] 上的函数 f ( x) ? log 2 (4? | x |) 的值域是 [0 , 2] ,若关于 t 的 方程 ? ? ? m ? 1 ? 0 ( t ? R )有实数解,则 m ? n 的取值范围是___________. 二.选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编 号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
2 15.已知 x ? R ,条件 p : x ? x ,条件 q :

?1? ?2?

|t |

1 ? 1 ,则 p 是 q 的???????( x



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 16.以下说法错误的是???????????????????????????( A.直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是 [0 , ? )



? ?? ? 2? ? C.平面内两个非零向量的夹角的取值范围是 [0 , ? )
B.直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是 ?0 , D.空间两条直线所成角的取值范围是 ?0 ,

? ?

??
2? ?

17. 在平面直角坐标系内, M ( x1 , y1 ) 、N ( x2 , y2 ) 为不同的两点, 设 直线 l 的方程为 ax ? by ? c ? 0 ,

??

ax1 ? by1 ? c .有四个命题:①存在实数 ? ,使点 N 在直线 l 上;②若 ? ? 1,则过 M 、 N 两 ax2 ? by2 ? c

点的直线与直线 l 平行;③若 ? ? ?1,则直线 l 经过线段 MN 的中点;④若 ? ? 1 ,则点 M 、 N 在 直 线 l 的 同 侧 , 且 直 线 l 与 线 段 MN 的 延 长 线 相 交 . 上 述 命 题 中 , 全 部 真 命 题 的 序 号 是???????????????????????( ) A.① ② ③ B.② ③ ④ C.① ③ ④ D.① ② ③ ④ 18.设函数 y ? f (x) 是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 在区间 [ 2 , 3] 上的 值域为 [?2 , 6] ,则 g (x) 在区间 [?12 , 12 ] 上的值域为????????( )

A. [?2 , 6]

B. [?24 , 28]

C. [?22 , 32 ]

D. [?20 , 34 ]

三.解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 设复数 z ? (a 2 ? 4 sin2 ? ) ? 2(1 ? cos? ) ? i ,其中 a ? R , ? ? (0 , ? ) , i 为虚数单位.若 z 是
2 方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个根,且 z 在复平面内对应的点在第一象限,求 ? 与 a 的值.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图,在三棱锥 P ? ABC中, PA ? 底面 ABC, AC ? BC , AC ? BC ? PA ? 2 . (1)求异面直线 AB 与 PC 所成角的大小; P (2)求三棱锥 P ? ABC的表面积 S .

A C

B

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

? 6 x2 y2 3? ? 两点,过原点的直线 l 与椭圆 , 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )经过 (1 , 1) 与 ? ? 2 2 ? a b ? ?

C 交于 A 、 B 两点,椭圆 C 上一点 M 满足 | MA |?| MB | .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求证: y M A O B x

1 1 2 ? ? 为定值. 2 2 | OA | | OB | | OM | 2

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 S n?1 ? pSn ? q( n ? N , p 、q 为常数) a1 ? 2 ,a 2 ? 1 , ,
*

a3 ? q ? 3 p .
(1)求 p 、 q 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式;

Sn ? m 2m ? m (3)是否存在正整数 m , n ,使得 成立?若存在,请求出所有符合条件的有 S n ?1 ? m 2 ? 1
序整数对 (m , n) ;若不存在,请说明理由.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设 a ? R ,函数 f ( x) ? x? | x ? a | ?2 x . (1)若 a ? 2 ,求函数 f (x ) 在区间 [0 , 3] 上的最大值; (2)若 a ? 2 ,写出函数 f (x ) 的单调区间(不必证明) ; (3) 若存在 a ? [?2 , 4], 使得关于 x 的方程 f ( x) ? t ? f (a) 有三个不相等的实数解, 求实数 t 的 取值范围.

2012 学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷(理)参考答案与评分标准
一.填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1. 2 ? i 2. {x ? 2 ? x ? ?1} 3. ? 4. 2

? 5 10 ? 5. ? , ? ?4 7 ? 1 9. y ? x 2 ? 2 4 13. 45

7 6. 3
10. 2 14. [1 , 2)

11 7. 15 1 11. 2

3?R 3 8. 24
12. 2

二.选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15.A 16.C 17.B 18.D 三.解答题 19. (本题满分 12 分) 方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的根为 x ? 1 ? i .??????(3 分) 因为 z 在复平面内对应的点在第一象限,所以 z ? 1 ? i ,??????(5 分)
2

?a 2 ? 4 sin2 ? ? 1 2? 1 ,解得 cos? ? ? ,因为 ? ? (0 , ? ) ,所以 ? ? ,??(8 分) 3 2 ?2(1 ? cos? ) ? 1 3 2 2 所以 sin2 ? ? ,所以 a ? 1 ? 4 sin ? ? 4 ,故 a ? ?2 .????(11 分) 4 ?? 所以 ? ? , a ? ?2 .????(12 分) 3
所以 ? 20. (本题满分 14 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分) (1)取 PA 中点 E , PB 中点 F , BC 中点 G , 连结 EF , FG , EG ,则 EF ∥ AB , FG ∥ PC , 所以 ?EFG就是异面直线 AB 与 PC 所成的角(或 其补角) .????(2 分) 连结 AG ,则 AG ?

P E A G C F B

AC 2 ? CG 2 ? 5 ,??(3 分)

EG ? EA 2 ? AG 2 ? 6 , ????(4 分)
又 AB ? PC ? 2 2 ,所以 EF ? FG ? 在△ EFG中, cos ?EFG ?

2 .????(5 分)

EF 2 ? FG 2 ? EG 2 1 ? ? ,??(7 分) 2 EF ? FG 2

故 ?EFG? 120 .所以异面直线 AB 与 PC 所成角的大小为 60? .????(8 分) ? (2)因为 PA ? 底面 ABC,所以 PA ? AB , PA? BC , PA? AC , 又 BC ? AC,所以 BC ? 平面 PAC,所以 BC ? PC ,????(2 分) 所以△ ABC、△ PAB 、△ PBC、△ PAC都是直角三角形.??(3 分)

所以, S ?

1 1 1 1 AC ? BC ? PA? AB ? BC ? PC ? PA? AC ? 4 ? 4 2 .??(6 分) 2 2 2 2
? 6 3? ? 代入椭圆 C 的方程,得 , ? 2 2 ? ? ?
y M A O B x

21. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) (1)将 (1 , 1) 与 ?

1 ?1 ?a2 ? b2 ? 1 ? ,????(2 分) ? 3 3 ? ? ?1 ? 2a 2 4b 2 ?
3 解得 a ? 3 , b ? .????(5 分) 2
2

2

所以椭圆 C 的方程为

x2 2y2 ? ? 1 .????(6 分) 3 3

(2)由 | MA |?| MB | ,知 M 在线段 AB 的垂直平分线上, 由椭圆的对称性知 A 、 B 关于原点对称. ①若点 A 、 B 在椭圆的短轴顶点上,则点 M 在椭圆的长轴顶点上,此时

1 1 2 1 1 2 1? ? 1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2? 2 ? 2 ? ? 2 .??(1 分) 2 2 2 | OA| | OB | | OM | b b a b ? ?a
同理,若点 A 、 B 在椭圆的长轴顶点上,则点 M 在椭圆的短轴顶点上,此时

1 1 2 1 1 2 1? ? 1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2? 2 ? 2 ? ? 2 .??(2 分) 2 2 2 | OA| | OB | | OM | a a b b ? ?a
②若点 A 、 B 、 M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y ? kx ( k ? 0 ) , 则直线 OM 的方程为 y ? ?

1 x .设 A( x1 , y1 ) , M ( x2 , y2 ) , k

? y ? kx 3k 2 3 ? 2 2 2 2 由?x ,解得 x1 ? , y1 ? ,??(4 分) 2y 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?1 ? ? 3 ?3
3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) 2 所以 | OA | ?| OB | ? x ? y ? ,同理可得 | OM | ? , 1 ? 2k 2 2? k2
2 2 2 1 2 1

所以

1 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2(2 ? k 2 ) ? ? ? ? ? ? 2 .??(7 分) | OA | 2 | OB | 2 | OM | 2 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 )

综上,

1 1 2 为定值 2 .????(8 分) ? ? 2 2 | OA | | OB | | OM | 2

22. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) (1)由题意,得 ?

?S 2 ? pa1 ? q ,??(2 分) ?S 3 ? pS2 ? q

1 ? ?3 ? 2 p ? q ?p ? 即? ,解得 ? 2 .????(4 分) ?3 ? q ? 3 p ? 3 p ? q ?q ? 2 ? 1 (2)由(1)知, S n ?1 ? S n ? 2 ① 2 1 当 n ? 2 时, S n ? S n?1 ? 2 ② ????(1 分) 2 1 1 ①-②,得 a n ?1 ? a n ( n ? 2 ) ,又 a2 ? a1 ,????(3 分) 2 2 1 所以数列 {an } 是首项为 2 ,公比为 的等比数列.????(4 分) 2
?1? * 所以 {an } 的通项公式为 a n ? ? ? ( n ? N ) .????(6 分) 2? ? 1 ? ? (3)由(2) ,得 S n ? 4?1 ? n ? ,????(1 分) ? 2 ? 1 ? ? 4?1 ? n ? ? m m S ?m 2 ( 4 ? m) ? 2 n ? 4 2m 2m ? 2 ? ? m ? m 由 n ,得 ,即 , ? m S n ?1 ? m 2 ? 1 1 ? ( 4 ? m) ? 2 n ? 2 2 ? 1 2 ?1 ? 4?1 ? n ?1 ? ? m ? 2 ? 2 1 m 即 .因为 2 ? 1 ? 0 ,所以 (4 ? m) ? 2n ? 2 , ? m n (4 ? m) ? 2 ? 2 2 ? 1
所以 m ? 4 且 2 ? (4 ? m) ? 2n ? 2m?1 ? 4 , (*) 因为 m ? N ,所以 m ? 1 或 2 或 3 .????????(2 分)
* n 当 m ? 1 时,由(*)得 2 ? 3 ? 2 ? 8 ,所以 n ? 1 ;

n?2

????(3 分)

当 m ? 2 时,由(*)得 2 ? 2 ? 2n ? 12,所以 n ? 1 或 2 ; ????(4 分)
n 当 m ? 3 时,由(*)得 2 ? 2 ? 20 ,所以 n ? 2 或 3 或 4 . ????(5 分)

综上可知,存在符合条件的正整数 m 、 n ,所有符合条件的有序整数对 (m , n) 为:

(1 , 1) , (2 , 1) , (2 , 2) , (3 , 2) , (3 , 3) , (3 , 4) . ????(6 分)

23. (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分)

? 2 x ? 2; ?x , ?(2 分) 2 ?? x ? 4 x , 0 ? x ? 2 . ? 作 函 数 图 像 ( 图 像 略 ) 可 知 函 数 f (x ) 在 区 间 [0 , 3] 上 是 增 函 数 , 所 以 f (x ) 的 最 大 值 为 , f (3) ? 9 .????(4 分)
(1)当 a ? 2 , x ? [0 , 3] 时, f ( x) ? x? | x ? 2 | ?2 x ? ?

? 2 ? x ? (2 ? a) x , x ? a , (2) f ( x) ? ? ??(1 分) ?? x 2 ? (2 ? a) x , x ? a . ?

y

a ?2? (a ? 2) ? ①当 x ? a 时, f ( x) ? ? x ? , ? ? 2 ? 4 ?
2 2

因为 a ? 2 ,所以

a?2 ? a, 2

O a?2 a

x

2
2

所以 f (x ) 在 [a , ? ?) 上单调递增.????(3 分)

a ? 2? (a ? 2) 2 ? ②当 x ? a 时, f ( x) ? ?? x ? , ? ? 2 ? 4 ? a ? 2? a?2 ? ?a ? 2 ? 因为 a ? 2 ,所以 ? a ,所以 f (x) 在 ? ? ? , ? 上单调递增,在 ? 2 , a ? 上单调递 2 ? 2 ? ? ?
减.????(5 分) 综上,函数 f (x ) 的单调递增区间是 ? ? ? , 单调递减区间是 ?

? ?

a ? 2? 和 [ a , ? ?) , 2 ? ?

?a ? 2 ? , a ? .??????(6 分) ? 2 ? a?2 a?2 (3)①当 ? 2 ? a ? 2 时, ? 0, ? 0 ,所以 f (x) 在 (?? , ? ?) 上是增函数,关于 x 的 2 2 方程 f ( x) ? t ? f (a) 不可能有三个不相等的实数解.????(2 分) a ? 2? ? ?a ? 2 ? ②当 2 ? a ? 4 时,由(1)知 f (x ) 在 ? ? ? , 和 [a , ? ?) 上分别是增函数,在 ? , a? 上 2 ? ? ? ? 2 ? 2 (a ? 2) 是减函数,当且仅当 2a ? t ? f (a ) ? 时,方程 f ( x) ? t ? f (a) 有三个不相等的实数解. 4 (a ? 2) 2 1 ? ? ? 即1 ? t ? ? ? a ? ? 4 ? .????(5 分) 8a 8? a ?

4 , g (a) 在 a ? (2 , 4] 时是增函数,故 g (a) max ? 5 .????(7 分) a ? 9? 所以,实数 t 的取值范围是 ?1 , ? .????(8 分) ? 8?
令 g (a) ? a ?


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