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【成才之路】2015-2016学年高中数学北师大版选修2-1课件 第3章 圆锥曲线与方程 3.1 第2课时 椭圆的简单性质_图文

成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
圆锥曲线与方程

第三章

圆锥曲线与方程

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第三章 3.1 椭圆 第2课时 椭圆的简单性质

第三章

圆锥曲线与方程

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1

课前自主预习

4

课堂典例讲练

2

知识要点解读

5

易混易错辨析

3

预习效果检测

6

课时作业

第三章

3.1

第2课时

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课前自主预习

第三章

3.1

第2课时

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椭圆的简单几何性质
标准方程 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) x2 y2 b2+a2=1(a>b>0)

图形

范围 性质 对称性

-a≤x≤a,-b≤y≤b _________________

-b≤x≤b,-a≤y≤a ____________________

x轴、y轴 对称轴:_____________ 坐标原点 对称中心:_____________

第三章

3.1

第2课时

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标准方程

x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) 顶点坐标

x2 y2 b2+a2=1(a>b>0) 顶点坐标: (0,a) ,-a) , A1(0 ________ A2________ (b,0) (-b,0) , B1________ B2________

顶点 性质

(-a,0) , A1________ (a,0) A2________ (0,-b) B1________, (0,b) B ________
2

A1A2 的长为____ 长轴______ 2a B1B2 的长为_____ 2b 短轴_____ c (0,1) e=_______ ∈ ________ a 离心率 2 2 a - b 其中 c=__________

2a A1A2 的长为___ 长轴______ B1B2 的长为____ 2b 短轴_____

第三章

3.1

第2课时

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知识要点解读

第三章

3.1

第2课时

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1 .根据曲线的方程,研究曲线的几何性质,并正确地画 出它的图形,是解析几何的基本问题之一.本节就是根据椭圆 的标准方程来研究它的几何性质.其性质可分为两类:一类是 与坐标系无关的本身固有性质,如长短轴长、焦距、离心率;

一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点.

第三章

3.1

第2课时

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2.对椭圆几何性质的四点说明 x2 y2 (1)椭圆的焦点决定了椭圆的位置. 在 a>b>0 时, 方程a2+b2 y2 x2 =1 表示的椭圆的焦点在 x 轴上,方程a2+b2=1 表示的椭圆焦点 在 y 轴上. x2 y2 (2)椭圆的范围决定了椭圆的大小, 即椭圆a2+b2=1 位于四条 直线 x=± a,y=± b 围成的矩形内.

第三章

3.1

第2课时

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(3)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度,具体影响如下:

第三章

3.1

第2课时

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(4)椭圆是轴对称与中心对称图形,具体如下:

第三章

3.1

第2课时

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x2 y2 3.椭圆方程a2+b2=1(a>b>0)中 a, b,c 的几何意义 x2 y2 在方程a2+b2=1(a>b>0)中,a,b, c 的几何意义如图所示,即 a,b,c 正好 构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角 三角形.

第三章

3.1

第2课时

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4.椭圆上两个重要的三角形
(1) 椭圆上任意一点 P(x , y)(y≠0) 与两焦点 F1 , F2 构成的 △PF1F2称为焦点三角形,周长为2(a+c). (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直 角三角形,称为椭圆的特征三角形,边长满足a2=b2+c2.

5 .利用待定系数法求椭圆标准方程一定要注意先 “定
型”,“再定量”,在焦点位置不确定时,要注意分类讨论.

第三章

3.1

第2课时

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预习效果检测

第三章

3.1

第2课时

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1.焦点在 x 轴上,长、短半轴之和为 10,焦距为 4 5,则椭 圆的方程为( ) x2 y2 B.16+36=1 y2 x2 D. 6 + 4 =1 x2 y 2 A.36+16=1 x2 y2 C. 6 + 4 =1
[答案] A

[解析] 由题意得 c=2 5,a+b=10, ∴b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,
2 2 x y 解得 a2=36,b2=16,故椭圆方程为36+16=1.

第三章

3.1

第2课时

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x2 y2 2.椭圆16+ 8 =1 的离心率为( 1 A.3 3 C. 3 1 B.2 2 D. 2

)

[答案]

D

[解析] 由椭圆方程知 a2=16,b2=8, ∴c2=a2-b2=16-8=8 2 c ∴a=4,c=2 2,∴e=a= 2 .

第三章

3.1

第2课时

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x2 y2 x2 y2 3.已知椭圆a2+b2=1 与椭圆25+16=1 有相同的长轴,椭圆 x2 y2 y2 y2 a2+b2=1 的短轴长与椭圆21+ 9 =1 的短轴长相等,则( A.a2=25,b2=16 B.a2=19,b2=25 C.a2=25,b2=9 或 a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9 )

[答案]

x2 y2 y2 x 2 [解析] ∵椭圆25+16=1 的长轴长为 10,椭圆21+ 9 =1 的 短轴长为 6,∴a2=25,b2=9.
第三章 3.1 第2课时

D

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4.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3,0)且长轴长 是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程为________________. x2 y2 [答案] 16+ 4 =1
[解析] 由条件可得 a=2b,c=2 3. 又∵b2+c2=a2,∴b2+12=4b2,∴b=2,∴a=4. x2 y2 ∴方程为16+ 4 =1.

第三章

3.1

第2课时

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5.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 3 2 ,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的 方程为________________.

x2 y2 [答案] 36+ 9 =1
3 c [解析] 由题设,知 2a=12,a= 2 , ∴a=6,c=3 3,∴b=3. x 2 y2 ∴椭圆 G 的方程为36+ 9 =1.

第三章

3.1

第2课时

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课堂典例讲练

第三章

3.1

第2课时

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椭圆的主要几何量
3 已知椭圆 x +(m+3)y =m(m>0)的离心率 e= 2 ,
2 2

求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.

[分析]

把椭圆方程写成标准形式,求出基本元素 a,b,c

即可求出所需答案.

x2 y2 [解析] 椭圆的方程可化为:m+ m =1. m+3 m?m+2? m m ∵m- = >0,∴m> . m+3 m+3 m+3
第三章 3.1 第2课时

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m 即 a =m,b = ,c= a2-b2= m+3
2 2

m?m+2? . m+3

3 由 e= 2 得

m+2 3 = 2 ,∴m=1. m+3

2 y 1 3 2 ∴椭圆的标准方程为 x + 1 =1.∴a=1,b=2,c= 2 . 4

∴ 椭圆的长轴长为 2 ,短轴长为 1 ,两焦点坐标分别为
? F1? ?- ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? , F , 0 , 0 2? ? ?. 2 2 ? ? ? ? ? 1? 1? A1(-1,0),A2(1,0),B1?0,-2?,B2?0,2?. ? ? ? ?
第三章 3.1 第2课时

四个顶点分别为

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[总结反思]

在求椭圆的长轴和短轴的长,焦点坐标,顶

点坐标时,应先化为标准方程,然后判断焦点所在的位置,看 两种情况是否都适合.

第三章

3.1

第2课时

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求椭圆 4x2 +9y2 =36 的长轴长和短轴长、焦点坐标,顶点
坐标和离心率.
x 2 y2 [解析] 把椭圆的方程化为标准方程 9 + 4 =1. 可知此椭圆的焦点在 x 轴上,且长半轴长 a=3,短半轴长 b =2,又得半焦距 c= a2-b2= 9-4= 5. 因此,椭圆的长轴长 2a=6,短轴长 2b=4,两个焦点的坐标 分别是(- 5,0),( 5,0);四个顶点的坐标分别是(-3,0),(3,0), 5 c (0,-2),(0,2),离心率 e=a= 3 .
第三章 3.1 第2课时

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[总结反思] 标等.

已知椭圆的方程讨论其性质时,应先将方程

化成标准形式,找准a与b,才能正确地写出焦点坐标和顶点坐

第三章

3.1

第2课时

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由椭圆性质求椭圆方程
求满足条件的椭圆的标准方程. 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶 点的距离为 3.
[解析]
? ?a=2c 由已知? ? ?a-c= ? ?a=2 3 ,∴? ? ?c= 3

3

.从而 b2=9,

x2 y2 x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为12+ 9 =1 或 9 +12=1. [总结反思] 在求椭圆方程时, 要注意根据题目条件判断焦点
所在的坐标轴,从而确定方程的形式;若不能确定焦点所在的坐 标轴,则应进行讨论,然后列方程确定 a,B.
第三章 3.1 第2课时

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3 离心率为5,长轴长为 10 的椭圆的标准方程为( x2 y2 A.25+16=1 x2 y2 y2 x2 B.25+16=1 或25+16=1 x2 y2 C.100+64=1 x2 y2 y 2 x2 D.100+64=1 或100+64=1

)

[答案]

B
第三章 3.1 第2课时

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c 3 [解析] 由题意得 2a=10,a=5,a=5,∴c=3, ∴b2=a2-c2=25-9=16, 由于焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上, x2 y2 y 2 x2 故椭圆的标准方程为25+16=1;或25+16=1.故选 B.

第三章

3.1

第2课时

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离心率问题
x2 y2 设 P 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上的一点,F1、F2 是 椭圆的左、右焦点,且∠F1PF2=60° ,求椭圆的离心率的取值范 围. [解析] 解法一:如下图,点 P 是椭圆上的点,F1,F2 是椭

圆的焦点,由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a,①

第三章

3.1

第2课时

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在△F1PF2 中,由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 1 cos60° = =2. 2|PF1|PF2| 即|PF1|2+|PF2|2-4c2=|PF1||PF2|. 由①得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2, 4 2 所以|PF1|· |PF2|=3b ②.

?|PF1|+|PF2|? ?2 由①和②根据基本不等式,得|PF1|· |PF2|≤? ? ? . 2 ? ?

4 2 4 2 2 c 1 2 2 2 2 2 即3b ≤a ,又 b =a -c ,故3(a -c )≤a ,解得 e=a≥2. 又 e<1,所以该椭圆的离心率 e
?1 ? 的范围是?2,1?. ? ?
第三章 3.1 第2课时

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解法二:由解法一得出|PF1|+|PF2|=2a 4 2 |PF1|· |PF2|=3b
2

①, ②.

4 2 由①②可知|PF1|,|PF2|是方程 x -2ax+3b =0 的两根. 4 2 则有 Δ = 4a - 4× 3 b ≥0 ,即 3a2≥4b2 = 4(a2 - c2) ,所以
2

4c2≥a2.
?1 ? c 1 所以 e=a≥2,又 e<1,所以该椭圆离心率 e 的范围是?2,1?. ? ?

第三章

3.1

第2课时

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解法三:设点 P(x,y),则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex. 在△F1PF2 中由余弦定理,得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 1 cos60° = =2. 2|PF1|· |PF2|
2 2 4 c - a 化简得 x2= 3e2 ,又因为-a<x<A.

4c2-a2 2 4e2-1 1 0≤ 3e2 <a ,即 0≤ 3e2 <1,解得2≤e<1,所以离心率的
?1 ? 范围是?2,1?. ? ?

第三章

3.1

第2课时

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解法四:设椭圆交 y 轴于 B1,B2 两点,则当点 P 位于 B1 或 B2 处时,点 P 对两焦点的张角最大,故∠ F1B1F2≥60° ,则∠ OB1F2≥30° . 1 c 在 Rt△OB1F2 中 sin∠OB1F2=a≥sin30° =2, 所以离心率 e 的
?1 ? 取值范围是?2,1?. ? ?

第三章

3.1

第2课时

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[总结反思]

本题根据椭圆定义及性质从不同角度应用了

四种方法求椭圆离心率的范围,法一应用了基本不等式,法二 构造一元二次方程,应用了方程思想,可谓奇思妙解;法三通 过焦半径公式搭建起应用 x 范围的桥梁,法四应用了极端思想 使问题迅速得解,由此可见,在椭圆中建立不等关系的途径或

方法还是比较多的,平时解题时需要根据已知条件灵活选择方
法,达到快速而又准确地解答题目的目的.

第三章

3.1

第2课时

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x2 y2 已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0), a c F2(c,0)若椭圆上存在点 P 使 = ,则该椭圆的 sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 离心率的取值范围为________________.
[答案] ( 2-1,1)

第三章

3.1

第2课时

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[解析] 考查椭圆的定义、正弦定理以及最值问题. PF2 PF1 由正弦定理可得 = , sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 sin∠PF2F1 PF1 c ∴ = = =e , sin∠PF1F2 PF2 a PF1+PF2 2a 故 PF =PF =e+1, 2 2 2a 2 而 PF2= <a+c,∴ <1+e, e+1 e +1 故 e> 2-1,又∵e<1,∴e∈( 2-1,1).

第三章

3.1

第2课时

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椭圆中最值问题
椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e 3 3 = 2 ,已知点 P(0,2)到这个椭圆上点的最远距离是 7,求这个 椭圆的方程,并求椭圆上到点 P 的距离等于 7的点的坐标.
[分析] 本题是解析几何与代数中的最大值的综合题. 解答的 关键是怎样运用“最远距离是 7”这个条件,可尝试用两点间距 离公式转化为函数的最大值问题来解.

第三章

3.1

第2课时

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x2 y2 [解析] 设所求椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0). a2-b2 3 c 由 e=a= a = 2 ,得 a=2B. ①

设椭圆上任一点 M 的坐标为(x,y),点 M 到点 P 的距离为 d,
2 2 2 2 a y 3 a y 32 2 2 2 2 2 2 则 x =a - b2 ,且 d =x +(y-2) =a - b2 +(y-2) =-3y2-

9 12 3y+4b +4=-3(y+2) +4b2+3,其中-b≤y≤B.
2

第三章

3.1

第2课时

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1 (1)如果 b<2,则当 y=-b 时, 32 d 取得最大值( 7) =(b+2) ,
2 2

3 1 1 解得 b= 7-2>2,与 b<2矛盾,

第三章

3.1

第2课时

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1 1 (2)如果 b≥2,则当 y=-2时, d2 取得最大值( 7)2=4b2+3, 由①②可得 b=1,a=2. x2 2 故所求椭圆方程为 4 +y =1. 1 1 由 y=-2可得椭圆上到点 P 的距离等于 7的点为(- 3, -2) 1 与( 3,-2). ②

第三章

3.1

第2课时

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[总结反思]

本题是一道考查椭圆知识和函数最值的综合

性问题,需要掌握全面的基础知识和基本方法,在建立二次函 数求最值时,要特别注意通过椭圆的范围来确定自变量的取值 范围.

第三章

3.1

第2课时

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如图,已知椭圆 x2 + 2y2 = 98 及点 P(0,5) ,
求点P到椭圆上点的最大距离及最小距离.

[解析] 解法一:∵02+2×52<98,∴点(0,5)在椭圆内部.设 以(0,5)为圆心和椭圆相切的圆的方程为 x2+(y-5)2=r2. 7≤y≤7). ∴当 y=-5 时,r2 max=148,即 rmax=2 37;
第三章 3.1 第2课时



把椭圆方程 x2+2y2=98 代入①,得 r2=-(y+5)2+148(-

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当 y=7 时,r2 min=4,即 rmin=2.故点 P 到椭圆的最大距离为 2 37,最小距离为 2. 解法二:设点 M(x,y)为椭圆上任一点,则 x2+2y2=98.可得 |PM|= x2+?y-5?2= 98-2y2+?y-5?2 = -y2-10y+123= -?y+5?2+148. 又∵- 7≤y≤7 ,∴ |PM|max = 148 = 2 37( 此时 y =- 5) , |PM|min= -?7+5?2+148=2(此时 y=7). 故点 P 到椭圆的最大距离为 2 37,最小距离为 2.

第三章

3.1

第2课时

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直线与椭圆
x2 y2 若直线 y=kx+1(k∈R)与椭圆 5 +m=1 恒有公共 点,求实数 m 的取值范围.
x2 y2 [分析] 将直线 y=kx+1(k∈R)与椭圆 5 +m=1 联立组成方 程组,消去 y 变成关于 x 的一元二次方程,利用判别式 Δ≥0,即 可得解,或借助两曲线特征求解,或抓住定点在椭圆内部这一特 征求解.

第三章

3.1

第2课时

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[解析]

kx+1 ? ?y= 方法一:由?x2 y2 可得(5k2+m)x2+10kx+5- + =1 ? ?5 m

5m=0(m>0), ∴Δ=20m(m+5k2-1)≥0 恒成立,即 m≥1-5k2,1-5k2≤1, ∴m≥1 恒成立,∴m≥1 且 m≠5.

第三章

3.1

第2课时

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方法二:因为直线恒过一定点(0,1), 当 m<5 时,椭圆焦点在 x 轴上,短半轴长 b= m,要使直线 与椭圆恒有交点 m≥1 即 1≤m<5; 当 m>5 时,椭圆焦点在 y 轴上,短半轴长 b= 5可保证直线 与椭圆恒有交点即 m>5. 综上所述:m≥1 且 m≠5. 方法三:直线恒过一定点(0,1)要使直线与椭圆恒有交点,即 02 12 要保证定点(0,1)在椭圆上或内部 5 + m ≤1 即 m≥1. ∴m≥1 且 m≠5.
第三章 3.1 第2课时

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[总结反思]

直线与椭圆位置关系的判断

(1)解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立,消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一元二次方程,则(1)直线与椭圆相交? Δ>0;(2)直线与椭圆相切?Δ=0;(3)直线与椭圆相离?Δ<0,所以 判定直线与椭圆的位置关系,方程及其判别式是最基本的工具. (2)可首先判断直线是否过定点,并且确定定点在椭圆内、外 还是干脆就在椭圆上,然后借助曲线特征判断:如方法二是根据 两曲线的特征观察所得. 方法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征:
2 x0 y2 0 点 M(x0,y0)在椭圆内部或在椭圆上则a2+b2≤1.

第三章

3.1

第2课时

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x2 y2 如图所示,从椭圆a2+b2=1(a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线, 恰好能过椭圆的左焦点 F1,且它的长轴端点 A 及短轴端点 B 的连 线 AB 与 OM 平行. (1)求椭圆的离心率;
(2)设Q是椭圆上任意一点,F2是右

焦点,求∠F1QF2的取值范围;
(3)设 Q 是椭圆上一点,当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与椭圆交 于另一点 P,若△F1PQ 的面积为 20 3,求此时椭圆的方程.

第三章

3.1

第2课时

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[分析] 要求离心率 e,可由 kAB=kOM 寻找 a、b、c 之间的关 系,要求∠F1QF2 的取值范围,可考虑在△F1QF2 中,用余弦定理 求解,要求椭圆的方程要利用△F1PQ 的面积为 20 3的条件,由 QF2⊥AB,可求出直线 PQ 的斜率,进而求出|PQ|,利用点到直线 的距离公式求出△F1PQ 的高,问题就可解决.

b2 [解析] (1)设椭圆半焦距为 c,则 M(-c, a ), b2 a b ∵AB∥OM,∴ = , -c -a 2 c ∴b=c,a= 2c,∴e=a= 2 .
第三章 3.1 第2课时

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(2)设|QF1|=r1,|QF2|=r2,∠F1QF2=θ, ∴r1+r2=2a,|F1F2|=2C.
2 2 2 2 r2 + r - 4 c ? r + r ? - 2 r r - 4 c 1 2 1 2 1 2 ∴cosθ= 2r r = 2r1r2 1 2

2b2 2b2 =r r -1≥ -1=0, r + r 1 2 1 2 2 ? 2 ? 当且仅当 r1=r2 时取等号, π ∴0≤cosθ≤1,即 θ∈[0,2].

第三章

3.1

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(3)∵b=c,a= 2c, x 2 y2 ∴可设椭圆方程为2c2+c2=1, 2 ∵PQ⊥ AB,kAB=- 2 , ∵kPQ 的方程为 y= 2(x-c). 代入椭圆方程,得 5x2-8cx+2c2=0. ∴|PQ|=
2 8c 2 4×2c 6 2 [? 5 ? - 5 ]×?1+2?= 5 C.

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2 6 ∵点 F1 到直线 PQ 的距离 d= 3 c, 1 1 2 6 6 2 4 3 2 ∴S△F1PQ=2d· |PQ|=2× 3 c× 5 c= 5 c . 4 3 2 由 5 c =20 3,得 c2=25. x2 y2 故所求椭圆方程为50+25=1.
[总结反思] 本题主要考查椭圆的定义、性质、直线方程、点 到直线的距离、解三角形、不等式等知识,综合性较强.

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易混易错辨析

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x2 y2 设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的两焦点为 F1,F2,若在 → → 椭圆上存在一点 P,使PF1· PF2=0,则椭圆的离心率 e 的取值范围 是________________. → → → → [误解] 由题意PF1· PF2=0,得PF1⊥PF2.

∴点 P 在以 F1F2 为直径的圆上,

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2 2 x y 又 P 在椭圆上,∴圆 x2+y2=c2 与椭圆a2+b2=1 有公共点,

由图知,b≤c, 2 2 c 即 b ≤c ?a -c ≤c ?a≥ 2 ?e≥ 2 ,
2 2 2 2 2

2 ∴椭圆的离心率 e 的取值范围是[ 2 ,+∞).

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→ → → → [正解] 由题意PF1· PF2=0,得PF1⊥PF2. ∴点 P 在以 F1F2 为直径的圆上,

2 2 x y 又 P 在椭圆上,∴圆 x2+y2=c2 与椭圆a2+b2=1 有公共点,

由图知,b≤c<a,

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2 c 即 b ≤c <a ?a -c ≤c -a ? 2 ≤a<1,
2 2 2 2 2 2 2

2 即 2 ≤e<1, 2 ∴椭圆的离心率 e 的取值范围是[ 2 ,1). 2 [答案] [ 2 ,1)

[总结反思]

本题在求解过程中, 因忽视离心率的范围导致错

解,对于椭圆的离心率必须满足 0<e<1.

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