fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

数学必修二知识点+练习2.1 空间点.直线.平面之间的位置关系学生

2.1
2.1.1 平面

空间点.直线.平面之间的位置关系

(1)平面概念的理解 直观的理解:桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象,但它们 都不是平面,而仅仅是平面的一部分。 注:抽象的理解:平面是平的,平面是无限延展的,平面没有厚薄。 (2)平面的表示法 ①图形表示法:通常用平行四边形来表示平面,有时根据实际需要,也用其他的平面图 形来表示平面。 ②字母表示:常用等希腊字母表示平面。 (3)平面的基本性质 公理 1:如果一条直线的两个点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个 平面内。 符号表示为:A∈l,B∈l,且 A∈α,B∈α?l?α 注意:如果直线上所有的点都在一个平面内,我们也说这条直线在这个平面内,或者称 平面经过这条直线。 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A∈α,B∈α,C∈α 注意:“有且只有”的含义是:“有”表示存在,“只有”表示唯一,不能用“只有” 来代替.此公理又可表示为:不共线的三点确定一个平面。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公 共直线。 符号表示为:P∈α,且 B∈β?α∩β=l,且 P∈l 公理的推论: 推论 1:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
(1) 空间两条直线的位置关系 共面直线: ① 相交直线:在同一个平面内,有且仅有一个公共点; ② 行直线:在同一个平面内,没有公共点; 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。 (2)平行直线 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a∥c、b∥c?a∥b 定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角

相等或互补。 (3)两条异面直线所成的角 注意:①两条异面直线 a,b 所成的角的范围是(0°,90°)。 ②两条异面直线所成的角与点 O 的选择位置无关,这可由前面所讲过的“等角定理”直 接得出。 ③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法: (i)在空间任取一点,这个点通常是线段的中点或端点。 (ii)分别作两条异面直线的平行线,这个过程通常采用平移的方法来实现。 (iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角,这时我们要注意两条异面直线所成的角 的范围。

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面位置关系有且只有三种: (1)直线在平面内:有无数个公共点; (2)直线与平面相交:有且只有一个公共点; (3)直线与平面平行:没有公共。.

2.1.4 平面与平面之间的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种: (1)两个平面平行:没有公共点; (2)两个平面相交:有一条公共直线。

基础习题
1. 空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别

是 AB,BC,CD,DA 的中点,AC=BD,判 断四边形 EFGH 是什么图形?

2.已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 BC、CD 上 的点,且

CF CG 2 ? ? ,求证:三条直线 EF、GH、AC 交于一点。 GB CD 3

3.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,E 分别是 BB1 的

中点,求直线 AE 与 BD 所成角的余弦值。

4. 如图, A1 B1C1 ? ABC 是直三棱柱, ?BAC ? 90o ,点 F 是 AC 1 1 的中点,若

BA ? CA ? AA1 ,求 BA1 与 AF 所成的角的余弦值。

1.分析:判断四边形 EFGH 是什么图形,只要找出 EF 与 HG,EH 与 FG 的 关系,为了找出他们之间的关系,添加辅助线,作为中间量过渡。 解析:如图:连接 BD,因为 EH 是 ABD 的中位线,所以 EH BD 且 EH ? 同理得 FG BD 且 FG ? 连接 AC, 同理得 EF HG, 且EF ? HG ? 因为 AC=BD 所以 四边形 EFGH 是菱形 点评:这是一类非常基础而常见的问题,考查的公理 4 平行于同一直线的两
1 AC 2 1 1 BD ,所以 EH FG, 且EH ? FG ? BD 2 2 1 BD 2

条直线互相平行, 一般要证两直线平行,只需要找到一条直线使它与要证的两直 线都平行即可。有时这条直线在图中比较难找,可添加辅助线。

2.分析:要证三线共点,可证其中两条直线有交点,且该点在第三条直线上。 解析:因为 E 、 H 分别是边 AB 、 AD 的中点,所以 EH 是 ABD 的中位线,即 1 EH BD且EH ? BD , 2 CF CG 2 2 ? ? ,所以 FG BD且FG= BD , 因为 GB CD 3 3
所以四边形 EFGH 是梯形,它的两腰 EF、GH 必相交于一点,设交点为 P

P ? 直线EF,EF ? 平面ABC ,所以 P ? 平面ABC
同理 P ? 平面ADC ,而平面 平面ABC ? 平面ADC=直线AC 所以 P 在平面 ABC 与平面 ADC 的交线 AC 上 所以直线 EF、GH、AC 交于一点。

点评:在空间几何中,平面几何证多线共点的方法仍然适用,只是在思考中 就考虑到空间几何的新特点。公理 3 是证明空间线共点的主要依据。对公理 3 不会应用,就想不到 EF,GH 延长相交。 3.分析:要求异面直线所成的角,一般把异面直线平移到同一平面内,再用 平面几何的公式来计算。 解析:作 CC1 的中点 F,连接 DF、BF,得 DF AE ,所以 ?FDB 是直线 AE 与 BD
所成的角。 设 正 方 体 的 边 长 为 2, 在

BDF

中 ,

D F ?

B ?F 5 ,

BDF 是等腰三角形。 ,所以 B ? 2D 2

在等腰

B D F 中 , 作 BD 的 中 点 G , 连 接 FG , 则

B G = D G = ,所以 2 cos ?FDB ? cos ?FDG ?

2 5

?

10 5

点评:由于异面直线所成的角是通过平面来定义的, 所以求异面直线所成的角时, 将一条或或两条平移到某一点转化为平面几何问题

后,利用解三角形来求角。解决这类问题,通常经过“作(平行线)-证(平行) -算(解三角形)”三个步骤,其中,作平行线是关键。 4.分析:要求异面直线 BA1 与 AF 所成角,就想办法把 BA1 , AF 移到同一个平面 中,但在直三棱柱中,比较难把 BA1 , AF 移到同一个平面中,由 BA ? CA ? AA1 想到把直三棱柱,构造成一个正方体,再把 BA1 或 AF 平移。 解析:如图,把直三棱柱,补成一个正方体 ABDC ? A1 B1 D1C1 ,作 B1 D1 的中 点 E,连接 BE,易得 BE AF ,所以 ?A1 BE 是直线 BA1 与 AF 所成的角。 设 BA ? CA ? AA1 ? 2 ,在
在等腰

A1 BE 中, A1 B ? 2 2 , A 1 E ? BE ? 5

A1 B E中 , 作 A1 B 的 中 点 G , 连 接 EG , 则
2 5 ? 10 5

BG=A 2 所以 1 G= ,

cos ?A1 BE ?

点评:把异面直线平移到同一平面内,常用的方法有构造三角形中位线,平 行四边形,平行线分线段成比例定理的推论等,有时比较难直接平移,我们就可 以用构造长方体或正方体的方法。


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图