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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修二)第2章 2.1.2 课时作业]

2.1.2

空间中直线与直线之间的位置关系

【课时目标】 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义,会求两 异面直线所成的角.3.能用公理 4 解决一些简单的相关问题.

1 .空间两条直线的位置关系有且只有三种: ______________ 、 ________________ 、 ________________. 2.异面直线的定义 ________________________________的两条直线叫做异面直线. 3.公理 4:平行于同一条直线的两条直线____________. 4 .等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应 ________,那么这两个角________或 ________. 5.异面直线所成的角:直线 a,b 是异面直线,经过空间任一点 O,作直线 a′,b′, 使________,________,我们把 a′与 b′所成的______________叫做异面直线 a 与 b 所成的 角(或夹角). 如果两条直线所成的角是________,那么我们就说这两条异面直线互相垂直,两条异面 直线所成的角的取值范围是________.

一、选择题 1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 2.若 a 和 b 是异面直线,b 和 c 是异面直线,则 a 和 c 的位置关系是( ) A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面 3.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 4.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是( ) A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 5.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②平行于同一直线的两直线平行; ③若直线 a,b,c 满足 a∥b,b⊥c,则 a⊥c; ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图所示,已知三棱锥 A-BCD 中,M、N 分别为 AB、CD 的中点,则下列结论正确 的是( )

1 A.MN≥ (AC+BD) 2 1 B.MN≤ (AC+BD) 2 1 C.MN= (AC+BD) 2 1 D.MN< (AC+BD) 2 二、填空题 7.空间两个角 α、β,且 α 与 β 的两边对应平行且 α=60° ,则 β 为________. 8.已知正方体 ABCD—A′B′C′D′中: (1)BC′与 CD′所成的角为________; (2)AD 与 BC′所成的角为________. 9.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:

①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60° ; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD. 以上结论中正确结论的序号为________.

三、解答题 10.空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30° ,E、F 分别是 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小.

11.已知棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 CD、AD 的中点. 求证:(1)四边形 MNA1C1 是梯形;

(2)∠DNM=∠D1A1C1.

能力提升 12.如图所示,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH, MN 是异面直线的图形有________(填序号).

是(

13.正方体 AC1 中,E、F 分别是面 A1B1C1D1 和 AA1DD1 的中心,则 EF 和 CD 所成的角 )

A.60°

B.45°

C.30°

D.90°

1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下, 定义就是一种常用的判定方法.另外,我们解决空间有关线线问题时,不要忘了我们生活中 的模型,比如说教室就是一个长方体模型,里面的线线关系非常丰富,我们要好好地利用它, 它是我们培养空间想象能力的好工具. 2.在研究异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线 所成的角.将空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需 要强调的是,两条异面直线所成角的范围为(0° ,90° ],解题时经常结合这一点去求异面直线所 成的角的大小. 作异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利

用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几 何体,以便找到平行线).

2. 1 . 2

空间中直线与直线之间的位置关系

答案

知识梳理 1.相交直线 平行直线 异面直线 2.不同在任何一个平面内 3.互相平行 4.平行 相等 互补 5.a′∥a b′∥b 锐角(或直角) 直角 (0° ,90° ] 作业设计 1.D 2.D [异面直线不具有传递性,可以以长方体为载体加以说明 a、b 异面,直线 c 的位 置可如图所示.]

3.D 4.B [

易证四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵E,F 分别为 AB,BC 的中点, ∴EF∥AC, 又 FG∥BD, ∴∠EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角. 而 AC 与 BD 所成的角为 90° , ∴∠EFG=90° , 故四边形 EFGH 为矩形.] 5.B [①④均为假命题.①可举反例,如 a、b、c 三线两两垂直. ④如图甲时,c、d 与异面直线 l1、l2 交于四个点,此时 c、d 异面,一定不会平行; 当点 A 在直线 a 上运动(其余三点不动),会出现点 A 与 B 重合的情形,如图乙所示,此 时 c、d 共面相交.

] 6.D

1 [如图所示,取 BC 的中点 E,连接 ME、NE,则 ME= AC, 2 1 NE= BD, 2 1 所以 ME+NE= (AC+BD). 2 在△MNE 中,有 ME+NE>MN, 1 所以 MN< (AC+BD).] 2 7.60° 或 120° 8.(1)60° (2)45° 解析

连接 BA′,则 BA′∥CD′, 连接 A′C′, 则∠A′BC′就是 BC′与 CD′所成的角. 由△A′BC′为正三角形, 知∠A′BC′=60° , 由 AD∥BC,知 AD 与 BC′所成的角就是∠C′BC. 易知∠C′BC=45° . 9.①③

解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF 与 MN 是异 面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确. 10.解 取 AC 的中点 G, 连接 EG、FG, 则 EG∥AB,GF∥CD,

且由 AB=CD 知 EG=FG, ∴∠GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角, ∠EGF(或它的补角)为 AB 与 CD 所成的角.

∵AB 与 CD 所成的角为 30° , ∴∠EGF=30° 或 150° . 由 EG=FG 知△EFG 为等腰三角形,当∠EGF=30° 时,∠GEF=75° ; 当∠EGF=150° 时,∠GEF=15° . 故 EF 与 AB 所成的角为 15° 或 75° . 11.证明 (1)如图,连接 AC,

在△ACD 中, ∵M、N 分别是 CD、AD 的中点, ∴MN 是三角形的中位线, 1 ∴MN∥AC,MN= AC. 2 由正方体的性质得:AC∥A1C1,AC=A1C1. 1 ∴MN∥A1C1,且 MN= A1C1,即 MN≠A1C1, 2 ∴四边形 MNA1C1 是梯形. (2)由(1)可知 MN∥A1C1,又因为 ND∥A1D1, ∴∠DNM 与∠D1A1C1 相等或互补. 而∠DNM 与∠D1A1C1 均是直角三角形的锐角, ∴∠DNM=∠D1A1C1. 12.②④ 解析 ①中 HG∥MN.③中 GM∥HN 且 GM≠HN, ∴HG、MN 必相交. 13.B [

连接 B1D1,则 E 为 B1D1 中点, 连接 AB1,EF∥AB1, 又 CD∥AB,∴∠B1AB 为异面直线 EF 与 CD 所成的角,即∠B1AB=45° .]


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