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2018年秋高中数学初升高衔接课学案新人教A版必修1


初升高衔接课

第一部分 数与式的运算 ●知识点 1 常用的乘法公式 (1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)立方差公式:(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3. (3)立方和公式:(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3. (4)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2. (5)三数和平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. (6)完全立方公式:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3. (7)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2). (8)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). [对点练] 计算: (1)(4+m)(16-4m+m2);
(2)???15m-21n??????215m2+110mn+14n2???; (3)(a+2)(a-2)(a4+4a2+16); (4)(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2.
[解] (1)原式=43+m3=64+m3. (2)原式=???15m???3-???12n???3=1125m3-18n3. (3)原式=(a2-4)(a4+4a2+42)=(a2)3-43=a6-64. (4)原式=(x+y)2(x2-xy+y2)2 =[(x+y)(x2-xy+y2)]2=(x3+y3)2 =x6+2x3y3+y6. ●知识点 2 二次根式

【导学号:37102000】

(1)定义:式子 a(a≥0)叫做二次根式. (2)性质: ①( a)2=a(a≥0); ② a2=|a|;

③ a· b= ab(a≥0,b≥0);

④ b= a

ba(a>0,b≥0).

(3)分母(子)有理化的方法:

分母和分子都乘以分母(子)的有理化因式,化去分母(子)中的根号.如 a x+b y与 a x-b y,

-1-

a x+b 与 a x-b 互为有理化因式. [对点练] 1.化简: (1) 1 ;(2) 1 .
2-1 2+ 2

[解] (1)原式=

2+1

= 2+1.

2-

2+

2- 2

2- 2 2- 2

(2)原式= +2

- 2 =22- 2 2= 2 .

2.化简下列各式:

(1)

3- 2+

3- 2;

(2) -x 2+ -x 2(x≥1).

【导学号:37102001】

[解] (1)原式=| 3-2|+| 3-1|=2- 3+ 3-1=1. (2)原式=|x-1|+|x-2|

=???
??

x- x-

+ x- - x-

=2x- x



x



●知识点 3 因式分解的常用方法

1.提公因式法

pa+pb+pc=p(a+b+c).

2.公式法

(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);

(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;

(3)立方和和立方差公式:a3±b3=(a±b)(a2?ab+b2).

3.十字相乘法

(1)x2+(p+q)x+pq 型:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

(2)二次三项式 mnx2+(mb+na)x+ab 型:

将二次项系数 mn,常数项 ab 写成如图 1 所示的十字形式,发现“十字相乘,乘积相加”等于一

次项的系数 mb+na,即 mnx2+(mb+na)x+ab=(mx+a)(nx+b).

图1 [对点练] 1.分解因式: (1)x3-6x2+9x; (2)a2(x-y)+4(y-x). [解] (1)原式=x(x2-6x+9)=x(x-3)2. (2)原式=a2(x-y)-4(x-y)
-2-

=(x-y)(a2-4)=(x-y)(a+2)(a-2). 2.用十字相乘法分解下列因式 (1)x2-3x+2; (2)x2+4x-12; (3)x2-(a+b)xy+aby2; (4)xy-1+x-y.
【导学号:37102002】 [解] (1)如图①,将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 2 分解成-1 与-2 的乘积, 而图中的对角线上的两个式子乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次项,所以,有 x2-3x+2 =(x-1)(x-2).

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图①中的两个 x 用 1 来表示(如图② 所示). (2)由图③,得 x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图④,得 x2-(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by). (4)xy-1+x-y=xy+(x-y)-1 =(x-1)(y+1)(如图⑤所示).

第二部分 一元一次方程与一元二次方程

●知识点 1 一元一次方程

(1)定义:在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是 1,这样的方程叫一元一次方

程.

(2)解一元一次方程的步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数系数化为 1.

(3)关于方程 ax=b 解的讨论:

①当 a≠0 时,方程有唯一解 x=ba;

②当 a=0,b≠0 时,方程无解;

③当 a=0,b=0 时,方程有无数解;此时任一实数都是方程的解.

[对点练] 1.已知(a2-1)x2-(a+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程.求代数式 2 008(a+x)(x-2a)+

3a+5 的值.

[解] 根据题意,得?????a-2-1a=+0,



解得 a=1,

则方程变为-2x+8=0,解得 x=4,

-3-

原式=2 008(1+4)(4-2)+3+5=20 088.

2.解下列一元一次方程:

(1)-3x+7=4x+21.(2)x+5 4-1=x-2 2+x.

[解] (1)移项得-3x-4x=21-7,

合并得:-7x=14,系数化为 1 得:x=-2.

(2)去分母得:2(x+4)-10=5(x-2)+10x,

去括号得:2x+8-10=5x-10+10x,

移项得:2x-15x=-8,合并同类项得:-13x=-8,

系数化为 1 得:x=183.

●知识点 2 根的判别式

一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定,通常用符号“Δ ”来表示.

(1)当 Δ >0 时,方程有两个不相等的实数根

x1,2=-b±

b2-4ac

2a



(2)当 Δ =0 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=-2ba;

(3)当 Δ <0 时,方程没有实数根.

[对点练]

1.判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.

【导学号:37102003】

(1)x2-3x+3=0. (2)x2-ax-1=0.

(3)x2-ax+(a-1)=0. (4)x2-2x+a=0. [解] (1)因为 Δ =32-4×1×3=-3<0,

所以方程没有实数根. (2)该方程的根的判别式 Δ =a2-4×1×(-1)=a2+4>0,

所以方程一定有两个不等的实数根

x1=a+

2a2+4,x2=a-

a2+4 2.

(3)由于该方程的根的判别式为

Δ =a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, 所以,①当 a=2 时,Δ =0, 所以方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ②当 a≠2 时,Δ >0, 所以方程有两个不相等的实数根 x1=1,x2=a-1. (4)由于该方程的根的判别式为 Δ =22-4×1×a=4-4a=4(1-a),

-4-

所以①当 Δ >0,即 4(1-a)>0,即 a<1 时,方程有两个不相等的实数根 x1=1+ 1-a,x2=1- 1-a.
②当 Δ =0,即 a=1 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ③当 Δ <0,即 a>1 时,方程没有实数根. 2.选用恰当的方法解下列一元二次方程: (1)x2+x=0. (2)x2+6x+9=0. (3)x2-2x-15=0. (4)ax2+(a+1)x+1=0(a≠0). [解] (1)方程变为 x(x+1)=0,解得 x1=0,x2=-1. (2)方程变为(x+3)2=0,解得 x=-3. (3)方程变为(x+3)(x-5)=0, 解得 x1=-3,x2=5. (4)方程变为(ax+1)(x+1)=0, 解得 x1=-1a,x2=-1. ●知识点 3 根与系数的关系 (1)根与系数的关系:若方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为 x1,x2, 那么 x1+x2=-ba,x1x2=ca. (2)应用根与系数的关系巧设方程: 若已知 x1,x2 是一元二次方程的两个根,则可设一元二次方程为 x2-(x1+x2)x+x1x2=0; [对点练] 1.已知方程 5x2+kx-6=0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.
【导学号:37102004】 [解] 法一(代入法):因为 2 是方程的一个根, 所以 5×22+k×2-6=0,所以 k=-7. 所以方程就为 5x2-7x-6=0, 解得 x1=2,x2=-35. 所以方程的另一个根为-35,k 的值为-7. 法二(根与系数的关系):设方程的另一个根为 x1,则 2x1=-65,
所以 x1=-35.由???-35???+2=-k5,得 k=-7. 所以方程的另一个根为-35,k 的值为-7. 2.已知 x1,x2 是方程 x2-2x-1=0 的两个实数根,求下列式子的值:
-5-

(1)x1+x2. (2)(2x1-1)(2x2-1). (3)x1 2+x2 2.
11 (4)x1+x2. [解] (1)x1+x2=2. (2)(2x1-1)(2x2-1)=4x1x2-2(x1+x2)+1 =4×(-1)-2×2+1=-7. (3)x1 2+x2 2=(x1+x2)2-2x1x2=4+2=6. (4)x11+x12=x1x+1xx2 2=-21=-2.

第三部分 正比例函数、反比例函数、一次函数与二次函数

●知识点 1 正比例函数与一次函数

(1)定义

①一次函数:

若两个变量 y,x 间的关系式可以表示成 y=kx+b(b 为常数,k 为不等于 0 的常数)的形式,则称

y 是 x 的一次函数.

②正比例函数:

在一次函数 y=kx+b(k≠0)中,若 b=0,称 y 是 x 的正比例函数.

(2)性质

①正比例函数的特征:

正比例函数 y=kx 的图象是经过原点的一条直线.

②一次函数的图象、性质:

k<0,b<0

k<0,b>0

k>0,b<0

k>0,b>0

图象

象限

二、三、四

一、二、四

一、三、四

一、二、三

随 x 值增大

y 减少

y 减少

y 增大

y 增大

[对点练] 1.若一次函数 y=(m-2)x+m2-3m-2 的图象过点(0,-4),则 m 的值是( )

A.-4

B.2

C.1

D.2 或 1

C [由题意可知?????mm- 2-23≠m-0,2=-4. 解得 m=1.] 2.如图 1 中的折线 ABC 表示某汽车的耗油量 y(单位:L/km)与速度 x(单位:km/h)之间的函数关

-6-

系(30≤x≤120),已知线段 BC 表示的函数关系中,该汽车的速度每增加 1 km/h,耗油量增加 0.002 L/km.
【导学号:37102005】

图1

(1)当速度为 50 km/h、100 km/h 时,该汽车的耗油量分别为________ L/km、________ L/km.

(2)求线段 AB 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式.

(3)速度是多少时,该汽车的耗油量最低?最低是多少? [解] (1)设 AB 的解析式为:y=kx+b, 把(30,0.15)和(60,0.12)代入 y=kx+b 中得:

??30k+b=0.15, ???60k+b=0.12

解得?????kb= =- 0.01.8,001,

所以 AB:y=-0.001x+0.18,

当 x=50 时,y=-0.001×50+0.18=0.13,

由线段 BC 上一点坐标(90,0.12)得:

0.12+(100-90)×0.002=0.14. 答:当速度为 50 km/h,100 km/h 时,该汽车的耗油量分别为 0.13 L/km、0.14 L/km. (2)由(1)得:线段 AB 的解析式为: y=-0.001x+0.18.

(3)设 BC 的解析式为:y=kx+b,

把(90,0.12)和(100,0.14)代入 y=kx+b 中得:

??90k+b=0.12, ???100k+b=0.14

解得?????kb==0-.000.20,6,

所以 BC:y=0.002x-0.06,

根据题意得?????yy= =0-.00.002x0-1x+ 0.00.6,18, 解得?????xy= =800.,1.

答:速度是 80 km/h 时,该汽车的耗油量最低,最低是 0.1 L/km.

●知识点 2 反比例函数

(1)定义:一般地,如果两个变量 x,y 之间的关系可以表示成 y=kx(k 为常数,k≠0)的形式,那

么称 y 是 x 的反比例函数.自变量 x 的取值范围是 x≠0.

(2)图象与性质:

①当 k>0 时,图象分别位于第一、三象限,每一个象限内,从左往右,y 随 x 的增大而减小;

-7-

②当 k<0 时,图象分别位于第二、四象限,每一个象限内,从左往右,y 随 x 的增大而增大. [对点练] 1.若函数 y=(m+1)xm2+3m+1 是反比例函数,则 m=________.

-2 [由题意可知?????mm+ 2+13≠m+0,1=-1, 解得 m=-2.] 2.近视眼镜的度数 y(单位:度)与镜片焦距 x(单位:m)成反比例,已知 200 度近视眼镜的镜片 焦距为 0.5 m,则 y 与 x 之间的函数关系式是________.

y=1x00(x>0) [由题意,设 y=kx(k≠0),则

【导学号:37102006】

200=0k.5,∴k=100.即 y=1x00(x>0)]

●知识点 3 一元二次函数 (1)一元二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质.

a>0

a<0

图象

顶点 对称轴

???-2ba,4ac4-a b2??? x=-2ba

x<-2ba时,随 x 增大

y 减小

y 增大

x>-2ba时,随 x 增大

y 增大

y 减小

(2)一元二次函数的三种形式. ①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); ②顶点式:y=a(x-h)2+k,其中顶点坐标为(h,k)(a≠0); ③两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中 x1,x2 为方程 ax2+bx+c=0 的两根. [对点练]

1.求分别满足下列条件的二次函数的解析式:

(1)过点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1);

(2)过点 A(-3,2),且顶点坐标为(-2,3).

[解] (1)设二次函数所对应的解析式为:y=a(x-1)(x+1).

又过点 C(0,1),故 a(0-1)(0+1)=1,即 a=-1. 所以,函数解析式为 y=-x2+1.

-8-

(2)设二次函数所对应的解析式为 y=a(x+2)2+3, 又过点(-3,2),故 2=a(-3+2)2+3,即 a=-1, 所以 y=-(x+2)2+3=-x2-4x-1. 2.作出函数 y=x2-2x-3(-2<x<2)的图象,并求其最大值和最小值.
【导学号:37102007】 [解] 作出函数的图象.由图可知,当 x=1 时,ymin=-4,当 x=-2 时,ymax=5.

第四部分 不等式 ●知识点 1 一元一次不等式(组) (1)一元一次不等式:ax>b(a≠0)的解法 ①当 a>0 时,解得 x>ba; ②当 a<0 时,解得 x<ba. 即不等式两边同除一个正数,不等号不变方向;不等式两边同除一个负数,不等号改变方向. (2)一元一次不等式组的解法 解不等式组,可先对每个不等式求解,再求这些解的公共部分(也就是求同时满足这些不等式的 解),口诀“大大取较大,小小取较小,大小小大中间找”. [对点练] 1.解不等式: (1)3-x<2x+6.(2)x-2 2≥7-3 x. [解](1)原不等式变为-3x<3,解得不等式的解为 x>-1. (2)原不等式变为 3x-6≥14-2x, 即 5x≥20,解得不等式的解为 x≥4. 2.解不等式组:

(1)???x+2 1>1, ??7x-8<9x.

??5x-

x+ ,

(2)???12x-1≤7-32x.

[解](1)不等式组变为????? xx>>1-,4,

-9-

故不等式组的解集为 x>1.

(2)不等式组变为?????22xx>≤58,,

即???x>52, ??x≤4,

故不等式组的解集为52<x≤4. ●知识点 2 分式不等式 (1)解形如(x-m)(x-n)>0(<0)的不等式的依据是:符号法则——同号得正,异号得负.

①不等式(x-m)(x-n)>0(m>n),等价于?????xx- -mn>>00, 或?????xx- -mn<<00,. 解得 x>m 或 x<n.

②不等式(x-m)(x-n)<0(m>n),等价于?????xx- -mn><00, (2)简单的分式不等式

或?????xx- -mn<>00,.

解得 n<x<m.

x-n ①x-m>0

等价于(x-m)(x-n)>0;xx- -nm≥0

等价于?????x-x- m≠m0.

x-n



②xx- -nm<0 等价于(x-m)(x-n)<0;xx- -nm≤0 等价于?????x-x- m≠m0. x-n



[对点练]

1.解下列不等式:

2x-3

x+3

(1) x+1 <0;(2)x2-x+1≥0.

[解](1)原不等式可化为?????2xx+-13><00 或?????2xx+-1<30>0 (2)因为 x2-x+1=???x-12???2+34>0,

? ???x<23 ??x>-1

或???x>32 ??x<-1

? -1<x<32.

所以原不等式可化为 x+3≥0? x≥-3. 2.解不等式x+1 2≤3.

[解]原不等式可化为x+1 2-3≤0?

-x3+x-2 5≤0?

3xx++25≥0?

?? x+ ???x+2≠0

或 x≥-53.

【导学号:37102008】 x+
? x<-2

- 10 -


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