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包头市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

包头市二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知向量 =(2,﹣3,5)与向量 =(3,λ, A. B. C.﹣ D.﹣ ) )平行,则 λ=( )

姓名__________

分数__________

2. 若直线 y=kx﹣k 交抛物线 y2=4x 于 A,B 两点,且线段 AB 中点到 y 轴的距离为 3,则|AB|=( A.12 B.10 C.8 ﹣ D.6

3. 已知双曲线

=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,若双曲线右支上存在一点 P,使得 F2 )

关于直线 PF1 的对称点恰在 y 轴上,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( A.1<e< B.e> C.e> D.1<e< 的最小值为( D.1 )

4. 已知 x>1,则函数 A.4 B.3 C.2

5. 设集合

,

,则

(

)

A B C D
6. 拋物线 E:y2=2px(p>0)的焦点与双曲线 C:x2-y2=2 的焦点重合,C 的渐近线与拋物线 E 交于非原 点的 P 点,则点 P 到 E 的准线的距离为( A.4 C.8 A.7 B.6 B.6 D.10 ) ) D.2 C.5 D.4 )

7. 设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公比 q=2,Sk+2﹣Sk=48,则 k 等于( 8. 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (1,0) , c ? (3, 4) ,若 ? 为实数, (a ? ?b) / / c ,则 ? ? ( A.

1 4

B.

9. 已知集合 A ? y | y ? ? x ? 5 , B ? x | y ?
2

?

?

A. ?1, ?? ?

B. ?1, 3?

C. ? 3,5?

D. ?3,5?

?

1 2

C.1

x ? 3 , A B ?(

?



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精选高中模拟试卷

【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识,意在考查基本运算能力. 10. E、 F 分别是△ ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点, 设 D、 且 与 ( ) B.同向平行 D.既不平行也不垂直 ) D.0,2,3 均可 ) B.3 C.0 或 3 A.互相垂直 C.反向平行 A.2 =2 , =2 , =2 , 则

11.已知集合 A={0,m,m2﹣3m+2},且 2∈A,则实数 m 为(

12.已知△ABC 是锐角三角形,则点 P(cosC﹣sinA,sinA﹣cosB)在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

二、填空题
13.已知含有三个实数的集合既可表示成 {a,

b ,1} ,又可表示成 {a 2 , a ? b,0} ,则 a

a 2003 ? b 2004 ?

.

14.一质点从正四面体 A﹣BCD 的顶点 A 出发沿正四面体的棱运动,每经过一条棱称为一次运动.第 1 次运 动经过棱 AB 由 A 到 B,第 2 次运动经过棱 BC 由 B 到 C,第 3 次运动经过棱 CA 由 C 到 A,第 4 次经过棱 AD 由 A 到 D,…对于 N∈n*,第 3n 次运动回到点 A,第 3n+1 次运动经过的棱与 3n﹣1 次运动经过的棱异面, 第 3n+2 次运动经过的棱与第 3n 次运动经过的棱异面.按此运动规律,质点经过 2015 次运动到达的点 为 .

15.【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】已知函数 f(x)=lnx- 最小值 4,则 m=________.
2 16. 以抛物线 y =20x 的焦点为圆心, 且与双曲线:

m (m∈R)在区间[1,e]上取得 x


的两条渐近线都相切的圆的方程为

2 2 17. 0) 已知一个动圆与圆 C: (x+4) +y =100 相内切, 且过点 A (4, , 则动圆圆心的轨迹方程



18.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中① BM 与 ED 平行;② CN 与 BE 是异面直线; ③ CN 与 BM 成 60 ? 角;④ DM 与 BN 是异面直线. 以上四个命题中,正确命题的序号是 (写出所有你认为正确的命题).

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三、解答题
19.已知椭圆 G: =1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 ,0),斜率为 1 的直线 l 与椭圆

G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(﹣3,2). (Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)求△PAB 的面积.

20.某城市决定对城区住房进行改造,在建新住房的同时拆除部分旧住房.第一年建新住房 am2,第二年到第
2 四年,每年建设的新住房比前一年增长 100%,从第五年起,每年建设的新住房都比前一年减少 am ;已知旧

住房总面积为 32am ,每年拆除的数量相同.
2 (Ⅰ)若 10 年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番,则每年拆除的旧住房面积是多少 m ?

2

(Ⅱ),求前 n(1≤n≤10 且 n∈N)年新建住房总面积 Sn

21.(本题满分 15 分) 已知抛物线 C 的方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,点 R(1, 2) 在抛物线 C 上.
2

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(1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 Q(1,1) 作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A , B ,若直线 AR , BR 分别交直线 l : y ? 2 x ? 2 于

M , N 两点,求 MN 最小时直线 AB 的方程.
【命题意图】 本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识, 意在考查运 算求解能力.

22.已知函数 f(x)=(log2x﹣2)(log4x﹣ ) (1)当 x∈[2,4]时,求该函数的值域; (2)若 f(x)>mlog2x 对于 x∈[4,16]恒成立,求 m 的取值范围.

23.如图,已知五面体 ABCDE,其中△ ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四边形, 且 DC⊥平面 ABC. (Ⅰ)证明:AD⊥BC (Ⅱ)若 AB=4,BC=2,且二面角 A﹣BD﹣C 所成角 θ 的正切值是 2,试求该几何体 ABCDE 的体积.

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24.已知椭圆 x2+4y2=4,直线 l:y=x+m (1)若 l 与椭圆有一个公共点,求 m 的值; (2)若 l 与椭圆相交于 P、Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求 m 的值.

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包头市二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:∵向量 =(2,﹣3,5)与向量 =(3,λ, ∴ = = , )平行,

∴λ=﹣ . 故选:C. 【点评】本题考查了空间向量平行(共线)的问题,解题时根据两向量平行,对应坐标成比例,即可得出答案. 2. 【答案】C
2 【解析】解:直线 y=kx﹣k 恒过(1,0),恰好是抛物线 y =4x 的焦点坐标,

设 A(x1,y1) B(x2,y2)
2 抛物 y =4x 的线准线 x=﹣1,线段 AB 中点到 y 轴的距离为 3,x1+x2=6,

∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8, 故选:C. 【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义,主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定 义将到焦点的距离转化为到准线的距离. 3. 【答案】B 【解析】解:设点 F2(c,0), 由于 F2 关于直线 PF1 的对称点恰在 y 轴上,不妨设 M 在正半轴上, 由对称性可得,MF1=F1F2=2c, 则 MO= 设直线 PF1:y= = c,∠MF1F2=60°,∠PF1F2=30°,

(x+c),

2 2 2 2 2 2 2 2 代入双曲线方程,可得,(3b ﹣a )x ﹣2ca x﹣a c ﹣3a b =0,

则方程有两个异号实数根,
2 2 2 2 2 2 则有 3b ﹣a >0,即有 3b =3c ﹣3a >a ,即 c>

a,

则有 e= >



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故选:B. 4. 【答案】B 【解析】解:∵x>1∴x﹣1>0 由基本不等式可得, 当且仅当 故选 B 5. 【答案】C 【解析】送分题,直接考察补集的概念, 6. 【答案】 x2 y2 p 【解析】解析:选 D.双曲线 C 的方程为 - =1,其焦点为(± 2,0),由题意得 =2, 2 2 2 ∴p=4,即拋物线方程为 y2=8x, 双曲线 C 的渐近线方程为 y=± x,
2 ? ?y =8x 由? ,解得 x=0(舍去)或 x=8,则 P 到 E 的准线的距离为 8+2=10,故选 D. x ? y =± ?

即 x﹣1=1 时,x=2 时取等号“=”

,故选 C。

7. 【答案】D 【解析】解:由题意,Sk+2﹣Sk= 即 3×2 =48,2 =16, ∴k=4. 故选:D. 【点评】本题考查等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,是基础题. 8. 【答案】B 【解析】 试题分析:因为 a ? (1, 2) , b ? (1,0) ,所以 (a ? ? b) ? ?1 ? ? , 2 ? ,又因为 (a ? ?b) / / c ,所以
k k



4 ?1 ? ? ? ? 6 ? 0, ? ?
9. 【答案】D 【解析】

1 ,故选 B. 2

考点:1、向量的坐标运算;2、向量平行的性质.

A ? ? y | y ? 5? , B ? x | y ? x ? 3 ? ? x | x ? 3? , ? A B ? ?3,5? ,故选 D.

?

?

10.【答案】D
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【解析】解:如图所示, △ABC 中, =2 , =2 , =2 , 根据定比分点的向量式,得 = = + = , + = , + ,

以上三式相加,得 + 所以, + =﹣ , 与 反向共线.

【点评】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题,是基础题目. 11.【答案】B 【解析】解:∵A={0,m,m ﹣3m+2},且 2∈A,
2 ∴m=2 或 m ﹣3m+2=2, 2

解得 m=2 或 m=0 或 m=3. 当 m=0 时,集合 A={0,0,2}不成立. 当 m=2 时,集合 A={0,0,2}不成立. 当 m=3 时,集合 A={0,3,2}成立. 故 m=3. 故选:B. 【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用,注意求解之后要进行验证. 12.【答案】B 【解析】解:∵△ABC 是锐角三角形, ∴A+B> ,

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∴A>

﹣B, ﹣B)=cosB,

∴sinA>sin( ∴sinA﹣cosB>0,

同理可得 sinA﹣cosC>0, ∴点 P 在第二象限. 故选:B

二、填空题
13.【答案】-1 【解析】 试题分析:由于 ?a, 考点:集合相等。 14.【答案】 D .
2003 ? b ? ,1? ? ?a 2 , a ? b,0? ,所以只能 b ? 0 , a ? ?1 ,所以 a 2003 ? b 2004 ? ? ?1? ? ?1 。 ? a ?

【解析】解:根据题意,质点运动的轨迹为: A→B→C→A→D→B→A→C→D→A 接着是→B→C→A→D→B→A→C→D→A… 周期为 9. ∵质点经过 2015 次运动, 2015=223×9+8, ∴质点到达点 D. 故答案为:D. 【点评】本题考查了函数的周期性,本题难度不大,属于基础题. 15.【答案】-3e 【解析】f′(x)= 减, 当 x>-m 时,f′(x)>0,f(x)单调递增.若-m≤1,即 m≥-1 时,f(x)min=f(1)=-m≤1,不可能 等于 4; 若 1<-m≤e,即-e≤m<-1 时,f(x)min=f(-m)= ln(-m)+1,令 ln(-m)+1=4,得 m=-e3 (-e,-

1 m x?m + 2 = ,令 f′(x)=0,则 x=-m,且当 x<-m 时,f′(x)<0,f(x)单调递 x x x2

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1);若-m>e,即 m<-e 时,f(x)min=f(e)=1- m =-3e. 16.【答案】 (x﹣5)2+y2=9 .

m m ,令 1- =4,得 m=-3e,符合题意.综上所述, e e

2 【解析】解:抛物线 y =20x 的焦点坐标为(5,0),双曲线:

的两条渐近线方程为 3x±4y=0

由题意,r

=3,则所求方程为(x﹣5)2+y2=9

2 2 故答案为:(x﹣5) +y =9.

【点评】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于基础题. 17.【答案】 + =1 .

【解析】解:设动圆圆心为 B,半径为 r,圆 B 与圆 C 的切点为 D,
2 2 ∵圆 C:(x+4) +y =100 的圆心为 C(﹣4,0),半径 R=10,

∴由动圆 B 与圆 C 相内切,可得|CB|=R﹣r=10﹣|BD|, ∵圆 B 经过点 A(4,0), ∴|BD|=|BA|,得|CB|=10﹣|BA|,可得|BA|+|BC|=10, ∵|AC|=8<10, ∴点 B 的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆, 设方程为 (a>b>0),可得 2a=10,c=4, + =1.

2 2 2 ∴a=5,b =a ﹣c =9,得该椭圆的方程为

故答案为:

+

=1.

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18.【答案】③④ 【解析】 试题分析:把展开图复原成正方体,如图,由正方体的性质,可知:① BM 与 ED 是异面直线,所以是错误 的; ② DN 与 BE 是平行直线, 所以是错误的; ③从图中连接 AN , AC , 由于几何体是正方体, 所以三角形 ANC 为等边三角形,所以 AN , AC 所成的角为 60 ? ,所以是正确的;④ DM 与 BN 是异面直线,所以是正确的.

考点:空间中直线与直线的位置关系.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由已知得,c= 解得 a=
2 2 2 ,又 b =a ﹣c =4,





所以椭圆 G 的方程为



(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=x+m, 由
2 2 得 4x +6mx+3m ﹣12=0.①

设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 的中点为 E(x0,y0), 则 x0= y0=x0+m= , =﹣ ,

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因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB, 所以 PE 的斜率 k= 解得 m=2.
2 此时方程①为 4x +12x=0.



解得 x1=﹣3,x2=0, 所以 y1=﹣1,y2=2, 所以|AB|=3 ,此时,点 P(﹣3,2). ,

到直线 AB:y=x+2 距离 d= 所以△PAB 的面积 s= |AB|d= . 20.【答案】

【解析】解:(I)10 年后新建住房总面积为 a+2a+4a+8a+7a+6a+5a+4a+3a+2a=42a. 设每年拆除的旧住房为 xm ,则 42a+(32a﹣10x)=2×32a, 解得 x=a,即每年拆除的旧住房面积是 am
2 2

(Ⅱ)设第 n 年新建住房面积为 a,则 an=
n 所以当 1≤n≤4 时,Sn=(2 ﹣1)a;

当 5≤n≤10 时,Sn=a+2a+4a+8a+7a+6a+(12﹣n)a=

故 【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用,属于基础题.解决实际问题通常有四个步骤:(1)阅读理 解,认真审题;(2)引进数学符号,建立数学模型;(3)利用数学的方法,得到数学结果;(4)转译成具 体问题作出解答,其中关键是建立数学模型. 21.【答案】(1) y ? 4 x ;(2) x ? y ? 2 ? 0 .
2

【解析】(1)∵点 R(1, 2) 在抛物线 C 上, 2 ? 2 p ?1 ? p ? 2 ,…………2 分
2

即抛物线 C 的方程为 y ? 4 x ;…………5 分
2

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22.【答案】 【解析】解:(1)f(x)=(log2x﹣2)(log4x﹣ ) = (log2x)2﹣ log2x+1,2≤x≤4
2 令 t=log2x,则 y= t ﹣ t+1= (t﹣ )2﹣ ,

∵2≤x≤4, ∴1≤t≤2. 当 t= 时,ymin=﹣ ,当 t=1,或 t=2 时,ymax=0. ∴函数的值域是[﹣ ,0].
2 (2)令 t=log2x,得 t ﹣ t+1>mt 对于 2≤t≤4 恒成立.

∴m< t+ ﹣ 对于 t∈[2,4]恒成立, 设 g(t)= t+ ﹣ ,t∈[2,4],

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∴g(t)= t+ ﹣ = (t+ )﹣ , ∵g(t)= t+ ﹣ 在[2,4]上为增函数, ∴当 t=2 时,g(t)min=g(2)=0, ∴m<0. 23.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:∵AB 是圆 O 的直径, ∴AC⊥BC, 又∵DC⊥平面 ABC ∴DC⊥BC, 又 AC∩CD=C, ∴BC⊥平面 ACD, 又 AD?平面 ACD, ∴AD⊥BC. (Ⅱ)解:设 CD=a,以 CB,CA,CD 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 则 C(0,0,0),B(2,0,0), 由(Ⅰ)可得,AC⊥平面 BCD, ∴平面 BCD 的一个法向量是 由条件得, ∴ 即 = , ,z= , . = , , =(﹣2,0,a). 设 =(x,y,z)为平面 ABD 的一个法向量, ,D(0,0,a).

不妨令 x=1,则 y= ∴ =

又二面角 A﹣BD﹣C 所成角 θ 的正切值是 2, ∴ ∴ . =cosθ= ,



=

=

,解得 a=2



∴VABCDE=VE﹣ADC+VE﹣ABC
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= = = =8.

+ +

∴该几何体 ABCDE 的体积是 8.

【点评】本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱 锥的体积计算公式,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 24.【答案】 【解析】解:(1)把直线 y=x+m 代入椭圆方程得:x2+4(x+m)2=4,即:5x2+8mx+4m2﹣4=0, △=(8m)2﹣4×5×(4m2﹣4)=﹣16m2+80=0 解得:m= . (2)设该直线与椭圆相交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1,x2 是方程 5x2+8mx+4m2﹣4=0 的两根, 由韦达定理可得:x1+x2=﹣ ∴ |AB|= =2; ∴m=± . ,x1?x2= = , =

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题,难点在于弦长公式的灵活应用,属于中档题.

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