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第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式_图文

第一节不等关系与不等式(2课时)

一、导学提示,自主复习 二、复习巩固,任务驱动 三、考点分析,把脉高考 四、当堂训练,针对点评 五、课堂总结,布置作业

一、导学提示,自主复习
1.本节备考方向
第一节 不等关系与不等式

[备考方向要明了]

考 什 么

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.
2.了解不等式(组)的实际背景.

一、导学提示,自主复习
怎 么 考 1.从高考内容上来看,不等关系、不等式的性质及应用是命 题的热点. 2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用,有时与充要性的 判断交汇命题,难度中、低档. 3.考查题型多为选择、填空题.

二、复习巩固,任务驱动
1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0? a>b ;a-b=0? a=b ;a-b<0? a<b .
2.不等式的基本性质

性质 对称性 传递性 可加性

性质内容 b<a a>b? _____ a>c a>b,b>c? _____ a+c>b+c a>b? ____________

注意 ? ? ?

二、复习巩固,任务驱动
性质内容 a>b ? ac>bc c>0 可乘性 a>b? ? ?? ac<bc c<0 ? ? a>b? ? ?? a+c>b+d 同向可加性 c>d ? ? a>b>0? ? ?? ac>bd 同向同正可乘性 c>d>0 ? ? an>bn a>b>0? ______ 可乘方性 (n∈N,n≥2) n n a>b>0? a> b 可开方性 (n∈N,n≥2) 性质 注意 c的符号

?

?

同正

一、导学提示,自主复习
2.本节主要考点 考点一 比较大小 考点二 不等式性质 考点三 不等式性质的应用 3.自主复习三维设计P80-P81 第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式

二、复习巩固,任务驱动
通过本节的复习你能掌握不等式的性质与 应用吗?

三、考点分析,把脉高考
考点一 比较大小 考点二 不等式性质 考点三 不等式性质的应用

三、考点分析,把脉高考
比较大小

[例 1] y > . y+b

x (2013· 珠海模拟)已知 b>a>0, x>y>0, 求证: x+a

三、考点分析,把脉高考
[自主解答 ] ∵ - = x+a y+b x y x? y+b? -y? x+a? ? x+a?? y+b? xy+bx-xy-ay bx-ay = = , ? x+a?? y+b? ? x+a?? y+b? b>a>0 ? ? ?? x+a>0,y+b>0,bx>ay, 又 x>y>0 ? ? ∴ >0,即 > 成立. ? x+a?? y+b? x+a y+b bx-ay x y

三、考点分析,把脉高考
[ 冲关锦囊] 比较大小的方法 (1)作差法: 其一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键 是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或 者完全平方式.当两个式子都为正数时,也可以先平方再作差. (2)作商法: 其一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结 论. (3)特例法: 若是选择题还可以用特殊值法比较大小,若是解答题,也可以 用特殊值法探路.

三、考点分析,把脉高考
不等式的性质
[ 精析考题] [例 2] 的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 1 1 (1)若 a, b 为实数, 则“0<ab<1”是“a<b或 b>a” ( B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

三、考点分析,把脉高考
(2)(2013· 福州三中模拟)如果 a∈R,且 a2+a<0,那么 a,a2, -a,-a2 的大小关系是 A.a2>a>-a2>-a C.-a>a2>a>-a2 B.a2>-a>a>-a2 D.-a>a2>-a2>a ( )

1 [自主解答 ] (1)对于 0<ab<1, 如果 a>0, 则 b>0, a< 成 b 1 立,如果 a<0,则 b<0,b> 成立,因此“0<ab<1”是“ a a 1 1 1 < 或 b> ”的充分条件;反之,若 a=-1,b=2,结论“ a< b a b 或

三、考点分析,把脉高考
1 b> ” 成立, 但条件 0<ab<1 不成立, 因此“ 0<ab<1” 不 a 1 1 1 是“ a< 或 b> ” 的必要条件; 即“ 0<ab<1” 是“ a< 或 b a b 1 b> ” 的充分而不必要条件. a (2)由 a2+a<0, 得 a<-a2, a2<-a, a≠ 0, 所以 a<-a2<a2< -a.

[答案]

(1)A

(2)D

三、考点分析,把脉高考
[ 冲关锦囊] 1.判断一个关于不等式的命题的真假时,先把要判断的命题 与不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质 判断命题的真假,当然判断的同时可能还要用到其他知识,比如对 数函数、指数函数的性质. 2.特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法,在命题真 假未定时,先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识,如正 好找到一组特殊值使命题不成立,则该命题为假命题.

三、考点分析,把脉高考
不等式性质的应用 2 3 x x [例 3] 设实数 x,y 满足 3≤xy2≤8,4≤ y ≤9,则 4 的最大值是 y
( A.27 81 C. 8 B. 3 D.72 )

2 x [自主解答] 令 a=xy2,b= . y

则 3≤a≤8,4≤b≤9. x3 1 2 b2 而 4= · b= , y a a

三、考点分析,把脉高考
2 1 b 1 2 2 ∴ ×4 ≤ ≤9 × , 8 a 3

b2 ∴2≤ ≤ 27. a x3 ∴ 4 的最大值是 27. y

[答案]

A

三、考点分析,把脉高考
思考:
若 1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,则 4a-2b 的范围是 ________________________.

1 1 解析: 令 m=a-b,n=a+b,则 a= (m+n),b= (n-m). 2 2 ∴4a-2b=2m+2n-(n-m)=3m+n. 又 1≤ m≤ 2,2≤ n≤ 4, ∴5≤ 3m+n≤ 10. ∴4a-2b 的范围是[5,10].

答案:[5,10]

三、考点分析,把脉高考
[ 冲关锦囊] 1.同向不等式相加或相乘不是等价变形,在解题过程中多 次使用有可能扩大所求范围. 2.此类问题的解决方法是:先建立待求整体与已知范围的 整体的等量关系, 最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待 求整体的范围.

四、当堂训练,针对点评
1.已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是 A.M<N C.M=N B.M>N D.不确定 ( )

解析: 由题意得 M-N=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)· (a2-1)>0, 故 M>N.

答案:B

四、当堂训练,针对点评
2. (2013· 福师大附中模拟)设 0<b<a<1, 则下列不等式成立的是 ( A.ab<b2<1 C.a2<ab<1
2

)

1 ? 1? ? 1? B. < ? ? < ? ? 2 ?2? ?2?
2

a

b

D. log 1 b < log 1 a <0
2

解析: 依题意得 ab-b =b(a-b)>0,∴ab>b ,因此 A 不正确; 同理可知 C 不正确;由函数 0<b<a<1
?1 ? x y= ? ? ?2 ?

2

在 R 上是减函数得,当 B 正确;

?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? 1 ?1 ?a ?1 ?b 0 b a 1 时,有 ? ? >? ? >? ? >? ? ,即 <? ? <? ? ,因此 2 ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

1 1 同理可知 D 不正确.综上所述,选 B.或可取特值 a= ,b= 代 2 4 入检验.

答案:B

四、当堂训练,针对点评
3.(2013· 厦门集美中学模拟)下面四个条件中, 使 a>b 成立的充分 而不必要的条件是 A.a>b+1 C.a2>b2 B.a>b-1 D.a3>b3 ( )

解析:对 A 项,若 a>b+1,则 a-b>1,则 a>b ;若 a>b,不 能得到 a>b+1.对 B 项,若 a>b-1,不能得到 a>b;对 C 项, 若 a2>b2,可得(a+b)(a-b)>0,不能得到 a>b;对 D 项,若 a3>b3,则 a>b,反之,若 a>b,则 a3>b3,a3>b3 是 a>b 成立 的充分必要条件.

答案:A

四、当堂训练,针对点评
4.(2013· 师大附中模拟)设 a,b∈R,若 b-|a|>0,则下列不等式中 正确的是 A.a-b>0 C.a2-b2>0 B.a+b>0 D.a3+b3<0 ( )

解析:由 b>|a|,可得-b<a<b.由 a<b,可得 a-b<0,所以选项 A 错误.由-b<a,可得 a+b>0,所以选项 B 正确.由 b>|a|, 两边平方得 b2>a2,则 a2-b2<0,所以选项 C 错误.由-b<a, 可得-b3<a3,则 a3+b3>0,所以选项 D 错误.

答案:B

5.(2013· 晋江模拟)已知三个不等式:①ab>0;②a>b;③bc>ad. 以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成 ________个 真命题. 解析: 此题共可组成三个命题即①②? ③;①③?②;②③?
c d c d bc-ad ①.若 ab>0, > ,则 - = >0,得 bc-ad>0,即可得 a b a b ab bc-ad c d 命题①②?③正确;若 ab>0,bc-ad>0,则 = - >0, ab a b c d c d c d bc-ad 得 > ,即命题①③?②正确; 若 > ,bc>ad, 则 - = a b d b a b ab >0,得 ab>0,即命题②③? ①正确.

四、当堂训练,针对点评 c d

答案:3

四、当堂训练,针对点评
6.(2013· 龙岩永定一中模拟)已知实数 a,b,c 满足 b+c=6-4a+ 3a2,c-b=4-4a+a2,则 a,b,c 的大小关系是 A.c≥b>a C.c>b>a B.a>c≥b D.a>c>b ( )

四、当堂训练,针对点评
解析:法一 :特值法:令 a=0,则 b=1,c=5, ∴c>b>a,排除 B、D; 令 c=b,则 a=2,∴b=c=5,也满足 b>a,排除 C,选 A. 法二 :c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥ 0, ∴c≥ b,已知两式作差得 2b=2+2a2,即 b=1+a2, ∵1+a
2

? 1 ?2 3 -a=?a- ? + >0, 2? 4 ?

∴1+a2>a,∴b>a,∴c≥ b>a.

答案:A

四、当堂训练,针对点评
1 1 1 7.设 a>b>c,求证: + + >0. a-b b-c c-a
证明: ∵a>b>c,∴-c>-b. ∴a-c>a-b>0, 1 1 > , a-b a-c

1 1 1 ∴ + >0,又 b-c>0,∴ >0, a-b c-a b-c 1 1 1 ∴ + + >0. a-b b-c c-a

五、课堂总结,布置作业
1.课堂总结: (1)涉及知识点: 实数大小顺序与运算性质之间的关系、不等式 的性质。 (2)涉及数学思想方法: 作差比较法、函数与方程思想、转化与化归思 想。

五、课堂总结,布置作业
2.作业设计:限时规范检测P222(三十五) 不等关系与不等式

3.预习任务:第六章不等式、推理与证明 第二节 一元二次不等式及其解法(P82-P83)


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