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高中数学第一章导数及其应用1


1.5.1 & 1.5.2 曲边梯形的面积 定积分 [对应学生用书 P24] 曲边梯形的面积 如图,阴影部分是由直线 x=1,x=2,y=0 和函数 f(x)=x 所围成的图形, 2 问题 1:利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗? 提示:不能. 问题 2:若把区间[1,2]分成许多小区间,进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形,你 能近似地求出这些小曲边梯形的面积吗? 提示:可以.把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解. 问题 3:我们知道,拆分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积,如何才能 更精确地求出阴影部分的面积呢? 提示:分割的曲边梯形数目越多,所求面积越精确. 1.曲边梯形的面积 将已知区间[a,b]等分成 n 个小区间,当分点非常多(n 很大)时,可以认为 f(x)在小区 间上几乎没有变化(或变化非常小),从而可以取小区间内任意一点 xi 对应的函数值 f(xi)作 为小矩形一边的长. 于是, 可用 f(xi)Δ x 来近似表示小曲边梯形的面积, 这样, 和式 f(x1)Δ x +f(x2)Δ x+…+f(xn)Δ x 表示了曲边梯形面积的近似值. 2.求曲边梯形的面积的步骤 求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为: 分割 → 以直代曲 → 作和 → 逼近 定积分 设函数 f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成 n 个小区间,每个小区间长 ? 度为 Δ x?Δ x= ? b-a? ,在每个小区间上取一点,依次为 x1,x2,…,xi,…,xn,作和 Sn= n ? ? f(x1)Δ x+f(x2)Δ x+…+f(xi)Δ x+…+f(xn)Δ x. 如果当 Δ x→0(亦即 n→+∞)时,Sn→S(常数),那么称常数 S 为函数 f(x)在区间[a, b]上的定积分.记为 S=∫b af(x)dx. 其中,f(x)称为被积函数,[a,b]称为积分区间,a 称为积分下限,b 称为积分上限. 定积分的几何意义 问题 1:试利用定积分的定义计算? ?0xdx 的值. 提示:将区间[0,1]等分成 n 个小区间,则第 i 个小区间为? 面积为 1 ?i-1,i?,第 i 个小区间的 n? ? n ? ?i? 1 i 1 Δ Si=f? ?· = · , n ? ? n n n n n 所以 Sn= ?Δ Si= ? i=1 i=1 i 1 1 · = (1+2+3+…+n) n n n2 1 n = 2· n+ 2 n 1 1 = + , 2 2n 1 1 1 当 n→+∞时,Sn→ ,所以? xdx= . ? 0 2 2 问题 2:直线 x=0,x=1,y=0 和函数 f(x)=x 围成的图形的面积是多 少? 1 1 提示:如图,S= ×1×1= . 2 2 问题 3:以上两个问题的结果一样吗? 提示:一样. 问题 4:以上问题说明了什么道理? 提示:定积分? ? f(x)dx(f(x)≥0)的值等于直线 x=a,x=b,(a≠b),y=0 和曲线 y= a b f(x)所围成的面积. 一般地,定积分? ?a f(x)dx 的几何意义是,在区间[a,b]上曲线与 x 轴所围图形面积的 代数和(即 x 轴上方的面积减去 x 轴下方的面积.) b 1.“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”,例子中以“矩形”代替“曲边梯 形”,分割越细,这种“代替”就越精确.当 n 越大时,所有“小矩形的面积和就越逼近曲 边梯形的面积”. 2.定积分? ?af(x)d

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