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高中数学第一章导数及其应用1_5定积分的概念1_5_1曲边梯形的面积1.5.2定积分教学案苏教版

1.5.1 & 1.5.2 曲边梯形的面积 定积分 [对应学生用书 P24] 曲边梯形的面积 如图,阴影部分是由直线 x=1,x=2,y=0 和函数 f(x)=x 所围成的图形, 2 问题 1:利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗? 提示:不能. 问题 2:若把区间[1,2]分成许多小区间,进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形,你 能近似地求出这些小曲边梯形的面积吗? 提示:可以.把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解. 问题 3:我们知道,拆分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积,如何才能 更精确地求出阴影部分的面积呢? 提示:分割的曲边梯形数目越多,所求面积越精确. 1.曲边梯形的面积 将已知区间[a,b]等分成 n 个小区间,当分点非常多(n 很大)时,可以认为 f(x)在小区 间上几乎没有变化(或变化非常小),从而可以取小区间内任意一点 xi 对应的函数值 f(xi)作 为小矩形一边的长. 于是, 可用 f(xi)Δ x 来近似表示小曲边梯形的面积, 这样, 和式 f(x1)Δ x +f(x2)Δ x+…+f(xn)Δ x 表示了曲边梯形面积的近似值. 2.求曲边梯形的面积的步骤 求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为: 分割 → 以直代曲 → 作和 → 逼近 定积分 设函数 f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成 n 个小区间,每个小区间长 ? 度为 Δ x?Δ x= ? b-a? ,在每个小区间上取一点,依次为 x1,x2,…,xi,…,xn,作和 Sn= n ? ? f(x1)Δ x+f(x2)Δ x+…+f(xi)Δ x+…+f(xn)Δ x. 如果当 Δ x→0(亦即 n→+∞)时,Sn→S(常数),那么称常数 S 为函数 f(x)在区间[a, b]上的定积分.记为 S=∫b af(x)dx. 其中,f(x)称为被积函数,[a,b]称为积分区间,a 称为积分下限,b 称为积分上限. 定积分的几何意义 问题 1:试利用定积分的定义计算? ?0xdx 的值. 提示:将区间[0,1]等分成 n 个小区间,则第 i 个小区间为? 面积为 1 ?i-1,i?,第 i 个小区间的 n? ? n ? ?i? 1 i 1 Δ Si=f? ?· = · , n ? ? n n n n n 所以 Sn= ?Δ Si= ? i=1 i=1 i 1 1 · = (1+2+3+…+n) n n n2 1 n = 2· n+ 2 n 1 1 = + , 2 2n 1 1 1 当 n→+∞时,Sn→ ,所以? xdx= . ? 0 2 2 问题 2:直线 x=0,x=1,y=0 和函数 f(x)=x 围成的图形的面积是多 少? 1 1 提示:如图,S= ×1×1= . 2 2 问题 3:以上两个问题的结果一样吗? 提示:一样. 问题 4:以上问题说明了什么道理? 提示:定积分? ? f(x)dx(f(x)≥0)的值等于直线 x=a,x=b,(a≠b),y=0 和曲线 y= a b f(x)所围成的面积. 一般地,定积分? ?a f(x)dx 的几何意义是,在区间[a,b]上曲线与 x 轴所围图形面积的 代数和(即 x 轴上方的面积减去 x 轴下方的面积.) b 1.“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”,例子中以“矩形”代替“曲边梯 形”,分割越细,这种“代替”就越精确.当 n 越大时,所有“小矩形的面积和就越逼近曲 边梯形的面积”. 2.定积分? ?af(x)dx 是一个常数,即定积分是一个数值,它仅仅取决于被积函数和积分 b ? 区间,而与积分变量用什么字母表示无关,如? ?ax dx=?at dt. 2 2 b b [对应学生用书P26] 利用定积分的定义求曲边梯形的面积 [例 1] 求由直线 x=1,x=2 和 y=0 及曲线 y=x 围成的图形的面积. [思路点拨] 依据求曲边梯形面积的步骤求解. [精解详析] (1)分割 如图,把曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形,用分点 把区间[1,2]等分成 n 个小区间:?1, 3 n+1 n+2 n+ n- , ,…, n n n ? ? n+1? ?n+1 n+2? ?n+i-1,n+i?,…, , ,? ,…,? n ? n ? n ? ? ? n ? ? n ? n+i n+i-1 1 - = , n n n ?n+ n- ? n ? ,2? ?,每个小区间的长度为 Δ x= ? 过各分点作 x 轴的垂线,把曲 边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯 形,它们的面积分别记作 Δ S1,Δ S2,…,Δ Sn. (2)以直代曲 1 3 取各小区间的左端点 ξ i,用 ξ i为一边长,以小区间长 Δ x= 为其邻边长的小矩形面 n 积近似代替第 i 个小曲边梯形的面积,可以近似地表示为 Δ Si≈ξ i·Δ x=? 3 ?n+i-1?3·1(i=1,2,3,…,n). ? ? n ? n (3)作和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值, 所以 n 个小矩形 面积的和就是曲边梯形 ABCD 的面积 S 的近似值,即 S= ?Δ Si≈ ? ? i=1 i=1 n n ?n+i-1?31.① ? ? n ?n (4)逼近 当分割无限变细,即 Δ x→0 时,和式①的值→S. 因为 ? ? i=1 n ?n+i-1?31= 1 (n+i-1)3 ? ? n ? n n4i? =1 n = 3 2 2 3 [(n-1) +3(n-1) i+3(n-1)i +i ] n? 4 1 n i=1 1 n n+ 3 2 = 4[n(n-1) +3(n-1) · n 2 当 n→∞时, n 1 2 2 +3(n-1)· ·(n+1)·(2n+1)+ n (n+1) ], 6 4 S= ? ?

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