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非常考案通用版2017版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形分层限时跟踪练17


分层限时跟踪练(十七)
(限时 40 分钟) [基 础 练] 扣教材 练双基 一、选择题 1.(2015·衡阳模拟)已知点 P(cos α ,tan α )在第三象限,则角 α 的终边在( A.第一象限 C.第三象限
?cos α <0, ? 【解析】 由题意得? ?tan α <0 ?

)

B.第二象限 D.第四象限
?cos α <0, ? ?? ?sin α >0, ?

所以角 α 的终边在第二象限,

故选 B. 【答案】 B 2.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长是( A.2 C. 2 sin 1 B.sin 2 D.2sin 1 )

1 【解析】 由题设,圆弧的半径 r= , sin 1 ∴圆心角所对的弧长 l=2r= 【答案】 C 4 3.已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30°),且 cos α =- ,则 m 的值为 5 ( 1 A.- 2 B.- 3 2 1 C. 2 D.
2

2 . sin 1

)

3 2

【解析】 ∵P(-8m,-3),∴|OP|= 64m +9, ∴cos α = 9 ? ?m2= 36 ∴? ? ?m>0 【答案】 C 4.下列三角函数值的符号判断错误的是( A.sin 165°>0 ) 4 =- . 5 64m +9
2

-8m

1 ,∴m= . 2

B.cos 280°>0

1

C.tan 170°>0

D.tan 310°<0

【解析】 165°是第二象限角,因此 sin 165°>0 正确;280°是第四象限角,因此 cos 280°>0 正确;170°是第二象限角,因此 tan 170°<0,故 C 错误;310°是第四象 限角,因此 tan 310°<0 正确. 【答案】 C 5.已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α ≤0,sin α >0,则实数 a 的取 值范围是( ) B.(-2,3) D.[-2,3]

A.(-2,3] C.[-2,3)

【解析】 由 cos α ≤0,sin α >0 可知,角 α 的终边落在第二象限内或 y 轴的正半
?3a-9≤0, ? 轴上,所以有? ?a+2>0, ?

即-2<a≤3.

【答案】 A 二、填空题 6.在与 2 010°终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为________. 67 5π 【解析】 2 010°= π =12π - , 6 6 5π ∴与 2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为- . 6 5π 【答案】 - 6 7.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴.若 P(4,y)是角 θ 终边上一 2 5 点,且 sin θ =- ,则 y=________. 5 【解析】 由三角函数的定义,sin θ = 2 5 又 sin θ =- <0, 5 ∴y<0 且 2 5 =- , 5 16+y
2

y
16+y
2



y

解得 y=-8. 【答案】 -8 8.设角 α 是第二象限的角,且?cos

? ?

α ? α α =-cos ,则 是第________象限角. ? 2? 2 2

π 【解析】 由题意,得 2kπ + <α <2kπ +π ,k∈Z. 2
2

π α π α ∴kπ + < <kπ + ,则 是第一或第三象限角. 4 2 2 2 α α ? α? 又?cos ?=-cos ,知 cos ≤0, 2 2 2 ? ? α 因此 是第三象限角. 2 【答案】 三 三、解答题 4 9.已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α +cos α + tan α 的值. 5 【解】 因为角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上, 所以在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t)(t≠0), 则 r= ?4t? +?-3t? =5|t|, -3t 3 当 t>0 时,r=5t,sin α = =- , 5t 5 4t 4 -3t 3 cos α = = ,tan α = =- , 5t 5 4t 4 4 所以 sin α +cos α + tan α 5 3 4 4 ? 3? =- + + ×?- ? 5 5 5 ? 4? 2 =- ; 5 -3t 3 当 t<0 时,r=-5t,sin α = = , -5t 5 4t 4 cos α = =- , -5t 5 -3t 3 tan α = =- . 4t 4 4 3 4 4 ? 3? 所以 sin α +cos α + tan α = - + ×?- ? 5 5 5 5 ? 4? 4 =- . 5 2 4 综上,所求值为- 或- . 5 5 10.(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角; (2)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm ,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB.
2 2 2

3

2r+rθ =10, ? ? 【解】 (1)设圆心角是 θ ,半径是 r,则?1 2 θ ·r =4, ? ?2

r=4, ? ? 解得? 1 θ = ? 2 ?

? ?r=1, 或? ?θ =8 ?

(舍去).

1 ∴扇形的圆心角为 . 2 (2)设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm, 1 ? ? lr=1, 则?2 ? ?l+2r=4, ∴圆心角 α = =2. 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 rad. ∴AH=1·sin 1=sin 1(cm),∴AB=2sin 1(cm). [能 力 练] 扫盲区 提素能 π 2 2 1.已知圆 O:x +y =4 与 y 轴正半轴的交点为 M,点 M 沿圆 O 顺时针运动 弧长到达 2 点 N,以 ON 为终边的角记为 α ,则 tan α =( A.-1 【解析】
? ? ?α ? ? ? ?r=1, ?l=2. ?

解得?

l r

) D.2

B.1 圆的半径为 2 ,

C.-2

π π 的弧长对应的圆心角为 ,故以 ON 为终边的角为 2 4

?α =2kπ +π ,k∈Z ? 4 ?
【答案】 B

? ? ?,故 tan α =1. ? ?

图 3?1?3 2.(2015·大连模拟)如图 3?1?3,用一根铁丝折成一个扇形框架,要求框架所围扇形 面积为定值 S,半径为 r,弧长为 l,则使用铁丝长度最短时应满足的条件为( A.r=l B.2r=l
4

)

C.r=2l 1 2S 【解析】 由 S= lr,得 l= . 2 r 2S 铁丝长度 C=2r+l=2r+ .

D.3r=l

r

由基本不等式得 C≥2

2S 2r· =4 S,

r

2S 2 当且仅当 S=r 时,即 l= =2r 时上式等号成立.

r

【答案】 B 3.在直角坐标系中,O 是原点,A( 3,1),将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B 点,则 B 点坐标为____________. 【解析】 设 B 点为(x,y), 依题意知 OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°, 所以 x=2cos 120°=-1,y=2sin 120°= 3, 即 B(-1, 3). 【答案】 (-1, 3) 4.如图 3?1?4,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时 → 圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐 标为______.

图 3?1?4 2 【解析】 设 A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧 PA 长为 2,∠ABP= =2. 1

? π? ? π? 设 P(x,y),则 x=2-1×cos?2- ?=2-sin 2,y=1+1×sin?2- ?=1-cos 2, 2? 2? ? ?
→ ∴OP的坐标为(2-sin 2,1-cos 2). 【答案】 (2-sin 2,1-cos 2)

5

图 3?1?5 5.如图 3?1?5 所示,A,B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限,C 是圆与 x 轴正半轴

?3 4? 的交点,A 点的坐标为? , ?,△AOB 为正三角形. ?5 5?
(1)求 sin∠COA; (2)求 cos∠COB. 4 【解】 (1)根据三角函数定义可知 sin∠COA= . 5 (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60°, 4 3 又∵sin∠COA= ,cos∠COA= , 5 5 ∴cos∠COB=cos(∠COA+60°)=cos∠COAcos 60°-sin∠COAsin 60° 3 1 4 3 3-4 3 = × - × = . 5 2 5 2 10 6.已知 sin α <0,tan α >0. (1)求 α 角的集合; α (2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断 tan sin cos 的符号. 2 2 2 【解】 (1)由 sin α <0,知 α 的终边在第三、四象限或 y 轴的负半轴上; 由 tan α >0,知 α 在第一、三象限, 故 α 角在第三象限,其集合为
? ? ?α ? ?

??2k+1?π <α <2kπ +3π ,k∈Z ? 2 ?

? ? ?. ? ?

3π (2)由(2k+1)π <α <2kπ + , 2 π α 3π 得 kπ + < <kπ + ,k∈Z, 2 2 4 故 α 终边在第二、四象限. 2

α α α α (3)当 在第二象限时,tan <0,sin >0,cos <0, 2 2 2 2

6

α α α 所以 tan sin cos 取正号; 2 2 2 当 α α α α 在第四象限时,tan <0,sin <0,cos >0, 2 2 2 2

α α α 所以 tan sin cos 也取正号. 2 2 2 α α α 因此,tan sin cos 取正号. 2 2 2

7


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