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2016届江西省南昌市高考数学三模试卷(理科)(解析版)


江西省南昌市 2016 年高考数学三模试卷(理科)(解析版)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,3},B={3,4,5},则 A∩?UB=( A.{3} B.{1,2,4,5} C.{1,2} 2.复数 D.{1,3,5} ) )

(i 是虚数单位)的共轭复数是( C.﹣2+i D.﹣2﹣i 的定义域为( )

A.2﹣i B.2+i 3.函数 f(x)=

A. (0,1) B. (1,+∞) 4.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A.充分不必要条件

C. (0,+∞) )

D. (0,1)∪(1,+∞)

B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设函数 f(x)是周期为 6 的偶函数,且当 x∈[0,3]时 f(x)=3x,则 f(2015)=( A.6 B.3 C.0 D.﹣6 )+3,若 f(a)=10,则 f(﹣a)=( D.﹣4 ) )

6.设函数 f(x)=ln(x+ A.13 B.﹣7 C.7

7.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视 图,则该几何体的体积是( )

A.5

B.5.5

C.6

D.4 x2 上,且与直线 y+3=0 相切,则此圆恒过定点( C. (0,3) D. (0,6) ) )

8.若动圆的圆心在抛物线 y= A. (0,2) B. (0,﹣3)

9.从 1,2,3,4,5,6 中任取三个数,则这三个数构成一个等差数列的概率为(

A.

B.

C.

D. )

10.阅读如图程序框图,运行相应程序,则程序运行后输出的结果 i=(

A.97

B.99

C.101 D.103 ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c,直 )

11.已知双曲线:

线 y= (x+c) 与双曲线的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1, 则双曲线的离心率为 ( A. B. C.2 D. +1

12.已知正△ABC 三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,点 E 是线段 AB 的中点,过点 E 作球 O 的截面,则截面面积的最小值是( )

A. π B.2π

C. π D.3π

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡上. 13.已知{an}为等差数列,公差为 1,且 a5 是 a3 与 a11 的等比中项,Sn 是{an}的前 n 项和, 则 S12 的值为 .

14.已知点 A(1,2),点 P(x,y)满足

,O 为坐标原点,则 Z=



最大值为



15.对大于或等于 2 的自然数的 3 次方可以做如下分解:23=3+5,33=7+9+11, 43=13+15+17+19,…,根据上述规律,103 的分解式中,最大的数是 16.已知椭圆 + .

=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1, .

F2,若|F1F2|2=λ|AF1||BF2|(0<λ<4),则离心率 e 的取值范围是

三.解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. B, C 所对的对边分别为 a, b, c, 已知△ABC 中, 内角 A, 且 a+b= (1)求∠C; (2)若 S△ ABC= ,求 c. 2sin2C=3sinAsinB. ,

18.某单位有 200 人,其中 100 人经常参加体育锻炼,其余人员视为不参加体育锻炼.在一 次体检中, 分别对经常参加体育锻炼的人员与不参加体育锻炼的人员进行检查. 按照身体健 康与非健康人数统计后,构成如下不完整的 2×2 列联表: 健康 经常参加体育锻炼 不参加体育锻炼 总计 p q 100 200 非健康 总计

已知 p 是(1+2x)5 展开式中的第三项系数,q 是(1+2x)5 展开式中的第四项的二项式系数. (Ⅰ)求 p 与 q 的值; (Ⅱ)请完成上面的 2×2 列联表,并判断若按 99%的可靠性要求,能否认为“身体健康与经 常参加体育锻炼有关”. 19.如图,矩形 ABCD 中, =λ(λ>1),将其沿 AC 翻折,使点 D 到达点 E 的位置,

且二面角 C﹣AB﹣E 为直二面角. (1)求证:平面 ACE⊥平面 BCE; (2)设 F 是 BE 的中点,二面角 E﹣AC﹣F 的平面角的大小为 θ,当 λ∈[2,3]时,求 cosθ 的取值范围.

20.已知两点 A(0,﹣1),B(0,1),P(x,y)是曲线 C 上一动点,直线 PA、PB 斜 率的平方差为 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)E(x1,y1),F(x2,y2)是曲线 C 上不同的两点,Q(2,3)是线段 EF 的中点,线 段 EF 的垂直平分线交曲线 C 于 G,H 两点,问 E,F,G,H 是否共圆?若共圆,求圆的标 准方程;若不共圆,说明理由. 21.已知函数 f(x)=e1﹣x(﹣a+cosx),a∈R. (Ⅰ)若函数 f(x)存在单调减区间,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a=0,证明: ,总有 f(﹣x﹣1)+2f′(x)cos(x+1)>0.

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时 请在答题卡中用 2B 铅笔把所选做题的后面的方框涂黑,并写清题号再作答.[选修 4-1:几 何证明选讲] 22. CD 相交于 E, PA=6, 如图, ⊙O 的弦 AB、 过点 A 作⊙O 的切线与 DC 的延长线交于点 P. AE=CD=EP=9. (Ⅰ)求 BE; (Ⅱ)求⊙O 的半径.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.(2016 南昌三模)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数),

以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+1=0. (Ⅰ)写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)P 是曲线 C 上任意一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知非零常数 a、b 满足 ,求不等式|﹣2x+1|≥ab 的解集;

(Ⅱ)若? x∈[1,2],x﹣|x﹣a|≤1 恒成立,求常数 a 的取值范围.

2016 年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,3},B={3,4,5},则 A∩?UB=( A.{3} B.{1,2,4,5} C.{1,2} D.{1,3,5} )

【分析】由全集 U 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 【解答】解:∵全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,3},B={3,4,5}, ∴?UB={1,2}, 则 A∩?UB={1,2}, 故选:C. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.复数

(i 是虚数单位)的共轭复数是( C.﹣2+i D.﹣2﹣i



A.2﹣i B.2+i

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,然后利用共轭复数的概念求得答案. 【解答】解:∵ ∴复数 故选:B. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了共轭复数的概念,是基础题. = ,

的共轭复数是 2+i.

3.函数 f(x)=

的定义域为(

) D. (0,1)∪(1,+∞) ,求出解集即可.

A. (0,1) B. (1,+∞)

C. (0,+∞)

【分析】根据函数 f(x)有意义,列出不等式组

【解答】解:要使函数 f(x)=

有意义,

须 解得 x>0,



∴f(x)的定义域为(0,+∞). 故选:C. 【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题,是基础题目.

4.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A.充分不必要条件



B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【解答】解:∵x<0,∴x+1<1,当 x+1>0 时,ln(x+1)<0; ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0, ∴“x<0”是 ln(x+1)<0 的必要不充分条件. 故选:B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键, 比较基础.

5.设函数 f(x)是周期为 6 的偶函数,且当 x∈[0,3]时 f(x)=3x,则 f(2015)=( A.6 B.3 C.0 D.﹣6



【分析】利用周期性可化简 f(2015)=f(﹣1),再利用奇偶性求得. 【解答】解:∵2015=2016﹣1, ∴f(2015)=f(﹣1) =f(1)=3, 故选:B. 【点评】本题考查了函数的性质的应用及对应思想的应用.

6.设函数 f(x)=ln(x+ A.13 B.﹣7 C.7

)+3,若 f(a)=10,则 f(﹣a)=( D.﹣4 )+ln(﹣x+



【分析】由于 f(x)﹣3+f(﹣x)﹣3=ln(x+ 出. 【解答】解:f(x)﹣3+f(﹣x)﹣3=ln(x+ ∴f(a)﹣3+f(﹣a)﹣3=0, ∴10﹣6+f(﹣a)=0, 解得 f(﹣a)=﹣4. 故选:D.

)=ln1=0,即可得

)+ln(﹣x+

)=ln1=0,

【点评】本题考查了对数的运算性质、函数的奇偶性,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题.

7.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视 图,则该几何体的体积是( )

A.5

B.5.5

C.6

D.4

【分析】 根据几何体的三视图, 得出该几何体是由长方体截割去 2 个等体积的三棱锥所得到 的几何体,由此求出几何体的体积 【解答】解:根据几何体的三视图,得该几何体是由长方体截割去截割 B,B1 两个角得到, 由三视图中的网络纸上长方体的底面边长分别为 2,1,高为 3, 则三棱锥的体积为 V 三棱锥= V 长方体=3×2×1=6, ∴该几何体的体积为 V 长方体﹣2V 三棱锥=6﹣1=5, 故选:A. ,

【点评】 本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题, 关键是还原几何 体.

8.若动圆的圆心在抛物线 y= A. (0,2) B. (0,﹣3)

x2 上,且与直线 y+3=0 相切,则此圆恒过定点( C. (0,3) D. (0,6)



【分析】 求出抛物线的焦点坐标和准线方程, 根据抛物线的性质和圆的性质得出圆的半径为 圆心 A 到直线 y+3=0 的距离, 对于圆心 A 到抛物线的焦点的距离, 故抛物线的焦点在圆上. 【解答】解:抛物线的标准方程为:x2=12y, ∴抛物线的准线方程为 l:y=﹣3,焦点为 F(0,3). 设动圆圆心为 A,则 A 到 l 的距离=|AF|. ∵动圆 A 与直线 y+3=0 相切, ∴A 到直线 l 的距离为动圆半径,即动圆半径为|AF|,即 F 为圆上的点. ∴此圆恒过定点 F(0,3). 故选:C. 【点评】本题考查了抛物线的简单性质,属于基础题.

9.从 1,2,3,4,5,6 中任取三个数,则这三个数构成一个等差数列的概率为( A. B. C. D.



【分析】从 1,2,3,4,5,6 中任取三个数,先求出基本事件总数,再利用列举法求出这 三个数构成一个等差数列包含的基本事件个数, 由此能求出这三个数构成一个等差数列的概 率. 【解答】解:从 1,2,3,4,5,6 中任取三个数, 基本事件总数 n=C63=20, 这三个数构成一个等差数列包含的基本事件有:(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5), (4,5,6),(1,3,5),(2,4,6)共 6 个, ∴这三个数构成一个等差数列的概率:P= 故选:A. 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公 式的合理运用. = .

10.阅读如图程序框图,运行相应程序,则程序运行后输出的结果 i=(



A.97

B.99

C.101 D.103

【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值, 模拟程序的运行过程,可得答案. 【解答】解:第一次执行循环体后,j=3,S= 第二次执行循环体后,j=5,S= 第三次执行循环体后,j=7,S= … 第 n 次执行循环体后,j=2n+1,S= 若满足退出循环的条件,则 故选:C 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程 序法进行解答. > + + +… + = , + + = ,不满足退出循环的条件,i=3;

= ,不满足退出循环的条件,i=5; + = ,不满足退出循环的条件,i=7;

,即 n>50,故此时 n=51,i=101,

11.已知双曲线:



=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c,直 )

线 y= (x+c) 与双曲线的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1, 则双曲线的离心率为 ( A. B. C.2 D. +1

【分析】 由已知直线过左焦点 F1, 且其倾斜角为 60°, ∠MF1F2=2∠MF2F1, 可得∠MF1F2=60°, ∠MF2F1=30°,即 F1M⊥F2M,运用直角三角形的性质和双曲线的定义,由离心率公式计算 即可得到所求值. 【解答】解:∵直线 y= ∠MF1F2=2∠MF2F1, ∴∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°. ∴∠F1MF2=90°,即 F1M⊥F2M. ∴|MF1|= ,|MF2|= =2a, , (x+c)过左焦点 F1,且其倾斜角为 60°,

由双曲线的定义有:|MF2|﹣|MF1|= ∴离心率 故选:D. .

【点评】 本题考查双曲线的离心率的求法, 注意运用双曲线的定义和直角三角形的锐角三角 函数的定义,考查运算能力,属于中档题.

12.已知正△ABC 三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,点 E 是线段 AB 的中点,过点 E 作球 O 的截面,则截面面积的最小值是( )

A. π B.2π

C. π D.3π

【分析】设正△ABC 的中心为 O1,连结 O1A.根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾 股定理,而经过点 E 的球 O 的截面,当截面与 OE 垂直时截面圆的半径最小,相应地截面 圆的面积有最小值,由此算出截面圆半径的最小值,从而可得截面面积的最小值. 【解答】解:设正△ABC 的中心为 O1,连结 O1A ∵O1 是正△ABC 的中心,A、B、C 三点都在球面上,

∴O1O⊥平面 ABC,∵球的半径 R=2,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,得 O1O=1, ∴Rt△O1OA 中,O1A= .

又∵E 为 AB 的中点,△ABC 是等边三角形,∴AE=AO1cos30°= . ∵过 E 作球 O 的截面,当截面与 OE 垂直时,截面圆的半径最小, ∴当截面与 OE 垂直时,截面圆的面积有最小值. 此时截面圆的半径 r= , 可得截面面积为 S=πr2= 故选 C. 【点评】 本题已知球的内接正三角形与球心的距离, 求经过正三角形中点的最小截面圆的面 积.着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识,属于中档题. .

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡上. 13.已知{an}为等差数列,公差为 1,且 a5 是 a3 与 a11 的等比中项,Sn 是{an}的前 n 项和, 则 S12 的值为 54 . 【分析】由于{an}为等差数列,公差为 1,且 a5 是 a3 与 a11 的等比中项,可得 =a3a11,即

=(a1+2)(a1+10),解得:a1.再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:∵{an}为等差数列,公差为 1,且 a5 是 a3 与 a11 的等比中项, ∴ =a3a11,即 =(a1+2)(a1+10),解得:a1=﹣1. =54.

∴S12=﹣12+ 故答案为:54.

【点评】 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前 n 项和公式, 考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

14.已知点 A(1,2),点 P(x,y)满足

,O 为坐标原点,则 Z=



最大值为 5 .

【分析】根据向量数量积的定义化简目标函数,作出不等式组对应的平面区域,利用目标函 数的几何意义进行求解即可. 【解答】解: 作出可行区域如图, ,

作直线



当 l0 移到过 A(1,2)时,Zmax=1+2×2=5, 故 Z= 的最大值为 5,

故答案为:5. 【点评】本题主要考查线性规划的应用,作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合是解 决本题的关键.

15.对大于或等于 2 的自然数的 3 次方可以做如下分解:23=3+5,33=7+9+11, 43=13+15+17+19,…,根据上述规律,103 的分解式中,最大的数是 109 . 【分析】注意观察各个数分解时的特点,不难发现:当底数是 2 时,可以分解成两个连续的 奇数之和;当底数是 3 时,可以分解成三个连续的奇数之和.则当底数是 4 时,可分解成 4 个连续的奇数之和,进而求出 23~103 的分解式用的奇数个数,进而求出答案. 【解答】解:由题意,从 23 到 103,正好用去从 3 开始的连续奇数共 2+3+4+…+10=54 个, 故 103 的分解式中,最大的数是 2×54+1=109, 故答案为:109 【点评】归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知 的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).

16.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,

F2,若|F1F2|2=λ|AF1||BF2|(0<λ<4),则离心率 e 的取值范围是



【分析】由已知可得:A(﹣a,0),B(a,0),左、右焦点分别是 F1(﹣c,0),F2(c, 0).根据|F1F2|2=λ|AF1||BF2|,可得 λ= 可得出. 【解答】解:∵A(﹣a,0),B(a,0),左、右焦点分别是 F1(﹣c,0),F2(c,0). ∵|F1F2|2=λ|AF1||BF2|, ∴λ= ∵0<λ<4, ∴0< <4,0<e<1, = , = ,利用 0<λ<4,解出即

解得 故答案为:

. .

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法、方程的解法,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

三.解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. B, C 所对的对边分别为 a, b, c, 已知△ABC 中, 内角 A, 且 a+b= (1)求∠C; (2)若 S△ ABC= ,求 c. 和余弦定理可得 cosC, 2sin2C=3sinAsinB. ,

【分析】(Ⅰ)由已知式子和正弦定理可得 c2= ab,结合 a+b= 可得角 C;

(Ⅱ) 由三角形的面积公式可得 ab=4,整体代入余弦定理计算可得. 【解答】解:(Ⅰ)∵△ABC 中 2sin2C=3sinAsinB, ∴sin2C= sinAsinB,故 c2= ab, 又∵a+b= ,∴a2+b2+2ab=3c2,

由余弦定理可得 cosC=

=

=

= ,

∴C=

. ab= ,

(Ⅱ)∵S△ ABC= absinC=

∴ab=4,又 c2= ab= ×4=6, ∴c= .

【点评】本题考查正余弦定理解三角形,涉及三角形的面积公式,属基础题.

18.某单位有 200 人,其中 100 人经常参加体育锻炼,其余人员视为不参加体育锻炼.在一 次体检中, 分别对经常参加体育锻炼的人员与不参加体育锻炼的人员进行检查. 按照身体健 康与非健康人数统计后,构成如下不完整的 2×2 列联表: 健康 经常参加体育锻炼 不参加体育锻炼 总计 p q 100 200 非健康 总计

已知 p 是(1+2x)5 展开式中的第三项系数,q 是(1+2x)5 展开式中的第四项的二项式系数. (Ⅰ)求 p 与 q 的值; (Ⅱ)请完成上面的 2×2 列联表,并判断若按 99%的可靠性要求,能否认为“身体健康与经 常参加体育锻炼有关”. 【分析】(Ⅰ)利用二项展开式的通项公式,即可求 p 与 q 的值; (Ⅱ)由(Ⅰ)得 p=40,q=10,可完成 2×2 列联表,求出 K2,与临界值比较,即可得出 按 99%的可靠性要求,能认为“身体健康与经常参加体育锻炼有关”. 【解答】解:(Ⅰ)∵(1+2x)5 的展开式通项是 Tr+1=C5r2rxr,…(1 分) ∴展开式的第三项是:T2+1=C5222x2=40x2, 即第三项系数是 p=40. 又∵展开式的第四项的二项式系数为 C53, ∴q=C53=10. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 p=40,q=10,则 …(5 分) …(3 分)

健康 经常参加体育锻炼 不参加体育锻炼 总计 …(8 分) K2= P(K2≥6.635)=0.010, 40 10 50

非健康 60 90 150

总计 100 100 200

=24>6.635,…(11 分)

所以按照 99%的可靠性要求,能够判断“身体健康与经常参加体育锻炼有关”. …(12 分) 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,独立性的检验,属于 中档题.

19.如图,矩形 ABCD 中,

=λ(λ>1),将其沿 AC 翻折,使点 D 到达点 E 的位置,

且二面角 C﹣AB﹣E 为直二面角. (1)求证:平面 ACE⊥平面 BCE; (2)设 F 是 BE 的中点,二面角 E﹣AC﹣F 的平面角的大小为 θ,当 λ∈[2,3]时,求 cosθ 的取值范围.

【分析】(Ⅰ)推导出 AB⊥BC,BC⊥AE,从而 AE⊥平面 BCE,由此能证明平面 ACE⊥ 平面 BCE. (Ⅱ)以 E 为坐标原点,以 AD 长为一个单位长度,建立空间直角坐标系,利用向量法能 求出 cosθ 的取值范围. 【解答】(本题 15 分) 证明:(Ⅰ)∵二面角 C﹣AB﹣E 为直二面角,AB⊥BC, ∴BC⊥AE 平面,∴BC⊥AE…(2 分) ∵AE⊥CE,BC∩CE=C,

∴AE⊥平面 BCE…(4 分) ∵AE? 平面 ACE,∴平面 ACE⊥平面 BCE…(6 分) 解:(Ⅱ)如图,以 E 为坐标原点,以 AD 长为一个单位长度, 建立如图空间直角坐标系, 则 AB=λ

…(8 分) 则 设平面 EAC 的法向量为



,取 x=1,则

…(10 分)

同理设平面 FAC 的法向量为

…(12 分)



…(14 分)



…(15 分)

【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的取值范围的求法,是中档题,解 题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

20.已知两点 A(0,﹣1),B(0,1),P(x,y)是曲线 C 上一动点,直线 PA、PB 斜 率的平方差为 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)E(x1,y1),F(x2,y2)是曲线 C 上不同的两点,Q(2,3)是线段 EF 的中点,线 段 EF 的垂直平分线交曲线 C 于 G,H 两点,问 E,F,G,H 是否共圆?若共圆,求圆的标 准方程;若不共圆,说明理由. 【分析】(1)运用直线的斜率公式,化简整理,即可得到所求轨迹方程; (2)将 E,F 的坐标代入抛物线的方程,相减结合中点坐标公式,可得直线 EF 的斜率,即 有直线 EF 的方程,代入抛物线的方程,运用韦达定理和弦长公式,再由线段 EF 的垂直平 分线方程,代入抛物线方程,运用韦达定理和弦长公式,求得 G,H 的中点,计算|ME|, |MG|,即可判断四点共圆,求得圆的方程. 【解答】解:(1)由题意可得 kPA2﹣kPB2=1, 即有( )2﹣( )2=1,

化简可得 x2=4y, 即有曲线 C 的方程为 x2=4y(x≠0); (2)由题意可得 x12=4y1,x22=4y2, 两式相减可得,(x1﹣x2)(x1+x2)=4(y1﹣y2), 由 x1+x2=4,可得 kEF= =1,

可设直线 EF 的方程为 y﹣3=x﹣2,即 y=x+1, 代入抛物线的方程,可得 x2﹣4x﹣4=0, 可得 x1+x2=4,x1x2=﹣4, |EF|= = =8,

由线段 EF 的垂直平分线方程:y﹣3=﹣(x﹣2),即 y=5﹣x, 代入抛物线的方程,可得 x2+4x﹣20=0, 可得 GH 的中点为 M(﹣2,7),|GH|= 由垂直平分线的性质可得|ME|=|MF|, |MQ|= =4 ,可得|ME|= =4 , =8 ,

且|MG|=|MH|=4



即有四点 E,F,G,H 共圆,圆心为 M(﹣2,7), 半径为 4 ,方程为(x+2)2+(y﹣7)2=48.

【点评】本题考查轨迹方程的求法,注意运用斜率公式,考查四点共圆的方法,注意运用联 立直线和抛物线方程,运用韦达定理和弦长公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

21.已知函数 f(x)=e1﹣x(﹣a+cosx),a∈R. (Ⅰ)若函数 f(x)存在单调减区间,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a=0,证明: ,总有 f(﹣x﹣1)+2f′(x)cos(x+1)>0.

【分析】(Ⅰ)对 f(x)求导,整理得 f(x)=e1﹣x(a﹣(sinx+cosx)),函数存在单调递 减区间,f'(x)<0,有解,即可得到 a﹣(sinx+cosx)<0 有解,利用辅助角公式及正弦函 数性质求得 a 的取值范围; cos ′ x) (Ⅱ) 若 a=0, 将f (﹣x﹣1) +2f( (x+1) 整理得 cos (x+1) [ex+2﹣2e1﹣x (sinx+cosx) ], ,cos(x+1)>0,只要证明 上恒成立,先构造辅助函数 函数单调性求得函数的最小值;再构造辅助函数 h(x)=e2x+1﹣(2x+2), ,对于任意 ,求导,根据 ,

求导,利用函数单调性判断函数的最小值;并且 g(x)和 h(x)取最小值时,不能同时取 等号, 即可证明, , 在 上恒成立, 不等式成立.

【解答】解: (I)由已知,得 f'(x)=﹣e1﹣x(﹣a+cosx)﹣e1﹣xsinx=e1﹣x(a﹣(sinx+cosx)) (2 分) 因为函数 f(x)存在单调减区间,所以方程 f'(x)<0 有解. 而 e1﹣x>0 恒成立,即 a﹣(sinx+cosx)<0 有解,所以 a<(sinx+cosx)max. 又 =e1﹣xcosx, 所以 f(﹣x﹣1)=ex+2cos(﹣x﹣1)=ex+2cos(x+1). 因为 2f'(x)cos(x+1)=﹣2e1﹣x(sinx+cosx)cos(x+1), 所以 f(﹣x﹣1)+2f'(x)cos(x+1)=cos(x+1)[ex+2﹣2e1﹣x(sinx+cosx)], ,所以, .因为 a=0,所以 f(x)

又对于任意 只要证 设函数 则

,cos(x+1)>0.>0, ,对于任意 , = , , 上恒成立.(8 分)

当 x∈[﹣1,0]时,g'(x)≤0,即 g(x)在[﹣1,0]上是减函数, 当 所以,在 所以, 时,g'(x)>0,即 g(x)在 上是增函数,

上,g(x)min=g(0)=0,所以 g(x)≥0. ,(当且仅当 x=0 时上式取等号)①(10 分) ,则 h'(x)=2e2x+1﹣2=2(e2x+1﹣1), 上是减函数, 上是增函数,

设函数 h(x)=e2x+1﹣(2x+2), 当 当 所以在

时,h'(x)≤0,即 h(x)在 时,h'(x)>0,即 h(x)在 上,

,所以 h(x)≥0, 时上式取等号)②. ,

即 e2x+1≥2x+2,(当且仅当 综上所述, 因为①②不可能同时取等号 所以 所以

,在

上恒成立,

,总有 f(﹣x﹣1)+2f'(x)cos(x+1)>0 成立.(12 分)

【点评】 本题考查利用导函数求函数的单调性及函数的最值, 采用分析法及构造辅助函数证 明不等式成立,过程繁琐,属于难题.

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时 请在答题卡中用 2B 铅笔把所选做题的后面的方框涂黑,并写清题号再作答.[选修 4-1:几 何证明选讲] 22. CD 相交于 E, PA=6, 如图, ⊙O 的弦 AB、 过点 A 作⊙O 的切线与 DC 的延长线交于点 P. AE=CD=EP=9.

(Ⅰ)求 BE; (Ⅱ)求⊙O 的半径.

【分析】(Ⅰ)由圆的切割线定理,可得 PC=3,再由圆的相交弦定理,即可得到 EB 的长; (Ⅱ)作 OM⊥AB,PN⊥AB,分别交 AB 于 M,N,设 AN=x,运用勾股定理,解方程可 得 AN=2,求得 PN,AM 的长,运用三角形的相似可得△PNA∽△AMO,由性质定理,即 可得到所求值. 【解答】解:(I)PA2=PCPD,PA=6,CD=9, 即 36=PC(PC+9), 得 PC=3(﹣12 舍去), 所以 PD=PC+CD=12, 又 EP=9,所以 ED=PD﹣EP=12﹣9=3,CE=EP﹣PC=9﹣3=6, 又 AEEB=CEED, 则 EB= = =2;

(II)作 OM⊥AB,PN⊥AB,分别交 AB 于 M,N, 设 AN=x,则 AP2﹣AN2+NE2=EP2, 由 AP=6,EP=9,NE=9﹣x, 即有 36﹣x2+(9﹣x)2=81, 得 x=2 即 AN=2,PN= AB=AE+EB=9+2=11,AM= AB= = , ,

在直角三角形 PNA 和直角三角形 AMO, ∠APN=∠OAM,∠PAN=∠AOM, 可得△PNA∽△AMO, 得: 即有 OA= , = = .

【点评】本题考查圆的切割线定理、相交弦定理及勾股定理,以及相似三角形的判定定理和 性质定理的运用,考查推理和运算能力,属于中档题.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.(2016 南昌三模)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数),

以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+1=0. (Ⅰ)写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)P 是曲线 C 上任意一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值.

【分析】(Ⅰ)由

消去参数能得到直线 l 的直角坐标方程,由 ρ2﹣4ρcosθ+1=0,

ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,能求出曲线 C 的直角坐标方程. (Ⅱ)曲线 C 的圆心为(2,0),半径为 由此能求出 P 到直线 l 的距离的最大值. ,求出圆心到直线 的距离,

【解答】解:(Ⅰ)由

消去参数 t 得,

直线 l 的直角坐标方程为 ∵ρ2﹣4ρcosθ+1=0,ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,

.…(2 分)

∴曲线 C 的直角坐标方程 x2+y2﹣4x+1=0…(4 分) (Ⅱ)∵曲线 C 的直角坐标方程 x2+y2﹣4x+1=0, ∴曲线 C:(x﹣2)2+y2=3…(5 分),圆心为(2,0),半径为 圆心到直线 ∴P 到直线 l 的距离的最大值 的距离 …(10 分) …(6 分) …(8 分)

【点评】 本题考查直线和曲线的直角坐标方程的求法, 考查曲线上任意一点到直线的距离的 最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点到直线距离公式的合理运用.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知非零常数 a、b 满足 ,求不等式|﹣2x+1|≥ab 的解集;

(Ⅱ)若? x∈[1,2],x﹣|x﹣a|≤1 恒成立,求常数 a 的取值范围. 【分析】(Ⅰ)求出 ab=1,问题转化为|﹣2x+1|≥1,解出即可;(Ⅱ)问题转化为(a﹣1) (a﹣2x+1)≥0,通过讨论 a 的范围求出不等式的解集,从而求出 a 的范围即可. 【解答】解:(I)由已知 ∵a、b 不为 0,∴ab=1, 原不等式相当于|﹣2x+1|≥1, 所以,﹣2x+1≥1 或﹣2x+1≤﹣1, 解得:{x|x≤0 或 x≥1}; (Ⅱ)由已知得,|x﹣a|≥x﹣1≥0, (x﹣a)2≥(x﹣1)2,(a﹣1)(a﹣2x+1)≥0, a=1 时,(a﹣1)(a﹣2x+1)≥0 恒成立, a>1 时,由(a﹣1)(a﹣2x+1)≥0 得,a≥2x﹣1,从而 a≥3, a<1 时,由(a﹣1)(a﹣2x+1)≥0 得,a≤2x﹣1,从而 a≤1, 综上所述,a 的取值范围为(﹣∞,1]∪[3,+∞). 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想,是一道中档题. ,


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