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辽宁省实验中学分校2013届高三上学期期中考试数学(理)试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分为 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷的答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修 正带。不按以上要求作答的答案无效。 第Ⅰ卷(选择题 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.设集合 M ? {x | x 2 ? x ? 0}, P ? {x || x |? 2} ,则 A. M ? P ? ? B. M ? P ? M C. M ? P ? M ( )

D. M ?P? R .函数 ( D. (0,1) ( ) y ? sin 2 x )

f ( x) ? ln( x ? 1) ?

2 的零点所在的大致区间是 x

A. (3,4) B. (2,e) C. (1,2) 3. 下列函数中既是奇函数,又在区间 (0,??) 上单调递增的是 B. y ? e ( )
?x

. y ? ln

x x ?1

D. y ??

?? 3x( x ? 2) x ? 0 . 下列命题中正确的是 ?3x( x ? 2) x ? 0

π? ? ? π π? A.设 f(x)=sin?2x+ ?,则?x∈?- , ?,必有 f(x)<f(x+0.1) 3? ? ? 3 6? 1 3 B.?x0∈R,使得 sinx0+ cosx0>1 2 2 ? π? ? π? C.设 f(x)=cos?x+ ?,则函数 y=f?x+ ?是奇函数 3? 6? ? ? π? ? π? ? D.设 f(x)=2sin2x,则 f?x+ ?=2sin?2x+ ? 3? 3? ? ?

( 5.命题甲: ),2 ,2 成等比数列, 命题乙: lgx, lg(x+1), lg(x+3)成等差数列, 则
x 1- x

1 2

x2



是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.设函数 y ?cos x 的图象位于 y 轴右侧所有的对称中心从左至右依次为

?

2

A1 , A2 ,?, An ,? ,则 A2011 的横坐标是
A.2010 7. 直线 y ? 2 x 与抛物线 B.2011 C.4021

( D.4023 (



y ? 3 ? x2 围成的封闭图形的面积是



A. 2 3

B.

32 3

C. 2 ? 3

D.

35 3

8.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32,则 S10 等于 ( ) A.18 B.24 C.60 D.90 9.已知函数 y=xf ′(x)的图象如右图所示(其中 f ′(x)是函数 f(x)的导函数), 下面四个图 象中,y=f(x)的图象大致是 ( )

10. 若函数 f ( x) ? x3 ? 6bx ? 3b在(0,1) 内有极小值,则实数 b 的取值范围是( A.(0,1) 11.已知正数 x、y 满足 ? B.(— ? ,1) C.(0,+ ? ) D.(0, ( )



1 ) 2

? 2x - y ? 0 ?1?x ?1?y ,则 z=? ? ·? ? 的最小值为 ?4? ?2? ?x - 3 y ? 5 ? 0
3 2 4 C. 1 16 D. 1 32

A.1

B.

12. 定义方程 f ( x) ? f ?( x) 的实数根 x0 叫做函数 f ( x ) 的“新驻点” ,如果函数 g ( x) ? x ,

? ? h( x) ? ln( x ? 1) ,? ( x) ? cos x( x ? ( , ) )的“新驻点”分别为 ? ,? ,? ,那么 ? , ?

? , ? 的大小关系是:
A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ?





D. ? ? ? ? ?

第Ⅱ卷(非选择题,90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13 已知 x ? 0 , y ? 0 , 2 x ? y ?

1 1 1 ,则 ? 的最小值是 3 x y


14.函数 f ( x) ? ln x 的图象在 (e, f (e)) 处的切线方程是

?log 2 (x 2 - 2x) (x ? 0) ? 15.已知函数 f (x) ? ? ,则不等式 f ( x) ? 3 的解集是 1 ( ) x -2 (x ? 0) ? 3 ?
16.关于函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

) x ? R ,有下列命题:把函数 f (x) 的图象右平移

得 y ? cos 2 x 的图象;函数 f (x) 的图象关于点 (

?
6

? 后,可 12

,0) 对称;函数 f (x) 的图象关于直线

x??

5? 1 对 称 ; 把 函 数 f (x) 的 图 象 上 每 个 点 的 横 坐 标 缩 小 到 原 来 的 , 得 到 函 数 12 2

y ? sin( x ?

?

6

) 的图象,中正确的命题序号为

。三、解答题(本大题共

6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 设 A={x|x2+mx+n=0, x∈R},M={x|x=2k-1,k∈N},Q={1,4,7,10}.若 A∩ M=?, A∩ Q=A,求 m、n 的值或 m、n 满足的条件. 18、 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足:a3 ? 7 ,a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ) an 及 Sn ; 求 (Ⅱ)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

19、 (本小题满分 12 分) 已知函数 过点(

f (x) ?

1 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x sin ? ? cos ? - sin ( ? ? )(0 ? x ? ? ) ,其图象 2 2 2 2

π 1 , )(Ⅰ)求 ? 的值; . (Ⅱ)将函数 y ? f ? x ? 的图象上各点的横坐标缩短到原 6 2 1 π 来的 ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ? x ? 的图象,求函数 g ? x ? 在[0, ]上的最大值和 2 4
最小值. 20. (本小题满分 12 分)

1 是奇函数. (I)求 a 的值,并指出函数 f (x) 的 4 ?1 单 调 性 ( 不 必 说 明 单 调 性 理 由 );( II ) 若 对 任 意 的 t ? R , 不 等 式
已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ? a ?
x

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
21. (本小题满分 12 分) 设函数 f (t) ? 2 ?

2t 2 ,函数 g ( x) ? ax ? 5x ? 2a . t ? 2t ? 2
2

(1)求 f(t)在 ?- 1,0? 上的值域; (2)若对于任意 x1 ?[0,1] ,总存在 x0 ? [0,1] ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? xe? x ( x? R) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)已知函数

y ? g ( x) 的 图 象 与 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 证 明 当 x ? 1 时 ,

f ( x) ? g ( x)(III)如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明 x1 ? x2 ? 2

理科 参考答案

18 解 (Ⅰ) 设等差数列 ?an ? 的公差为 d, 因为 a3 ? 7 ,a5 ? a7 ? 26 , 所以有 ? 解得 a1 ? 3,d ? 2 ,所以 an ? 3 ? (n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

? a1 ? 2d ? 7 , ? 2a1 ? 10d ? 26

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。??6 分 2

1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= ,即数列 ?bn ? 的前 n 项和 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

Tn =

n 。??12 分 4(n+1)
π 1 1 1 ? 2 ? cos ? , ) ,所以有 ? sin 2 ? sin ? ? cos 6 2 2 2 6 6

19 解(Ⅰ)因为已知函数图象过点(

? 3 3 1 ?? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? 0<?<? ? = sin (? + ) , ? sin ? ? ? ? ? 0<?<? ? ,有 1 ? 6 2 2 2 ?2 ?
所以 ? +

?
6

?

?
2

,解得 ? ?

?
3

。??6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ?

?
3

,所以

f(x)=

? 3 1 1+ cos 2x 1 1 sin2x+ ? - = sin (2x+ ) , 6 4 2 2 4 2

? 1 ? π ? 7? sin (4x+ ) ,因为 x ? [0, ],所以 4x+ ? [ , ], 6 2 6 4 6 6 ? ? 1 ? 7? 1 所以当 4x+ ? 时, g ? x ? 取最大值 ;当 4x+ ? 时, g ? x ? 取最小值 ? ?12 分 6 2 2 6 6 4
所以 g ? x ? =

21 解: (1) f (t) ? 2 ?

2t ,当 t ? 0 时, y ? 2 ;当 t ?? ?1,0? , y ? 2 ? t ? 2t ? 2
2

2 , 2 t? ?2 t

由对勾函数的单调性得 y ??0,2? ,故函数在 ?- 1,0? 上的值域是 ? 0, 2? ;??4 分 (2) (1) f ( x ) 的值域是 ? 0, 2? , g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立, ? 0, 2? ? y y ? g ( x), x ? ? 0,1? 由 知 要 则 ①当 a ? 0 时, x ? [0,1] , g ( x) ? 5x ??0,5? ,符合题意; ②当 a ? 0 时, 函数 g ( x) 的对称轴为 x ? ?

?

?

5 ? 0, 故当 x ? [0,1] 时, 函数为增函数, g ( x) 则 2a

?a ? 0 ? 的值域是 [?2a,5 ? a] ,由条件知 [0, 2] ? [?2a,5 ? a] ,∴ ??2a ≤ 0 ? 0 ? a ≤ 3 ; ?5 ? a ≥ 2 ?

③当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的对称轴为 x ? ?

5 5 5 ? 0 .当 0 ? ? ? 1 ,即 a ? ? 时, g ( x) 的 2a 2a 2

值域是 [? 2a ,

?8a 2 ? 25 ?8a 2 ? 25 ]或 [5 ? a, ] , 由 ?2a ? 0,5 ? a ? 0 知,此时不合题意; 当 4a 4a


5 5 ? a ? ] ≥1 ,即 ? ≤ a ? 0 时, g ( x) 的值域是 [?2a,5 ? a] ,由 [0, 2]? [ 2 , 5 a 知, 2a 2 ?2 a ? 0 知,此时不合题意. 综合①②③得 0 ≤ a ≤ 3 .??12 分 ?

22 解(Ⅰ) :f’ ( x) ? (1 ? x)e? x ,令 f’(x)=0,解得 x=1,当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化 情况如下表 x f’(x) f(x) ( ??,1 ) + 增 1 0 极大值 ( 1, ?? ) 减

所以 f(x)在( ??,1 )内是增函数,在( 1, ?? )内是减函数。 函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1) 且 f(1)=

1 ??4 分 e


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