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2014届高三数学一轮复习专讲专练 :9.8 直线与圆锥曲线的位置关系


双基限时练?
巩固双基,提升能力 x2 y2 1. (2013· 郓城实验中学期末)已知对 k∈R, 直线 y-kx-1=0 与椭圆 5 +m= 1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围是( A.(0, 1) C.[1,5)∪(5,+∞) )

B.(0,5) D.[1,5)

x2 y2 解析:直线 y=kx+1 过定点(0,1),只要(0,1)不在椭圆 5 +m=1 外部即可. x2 y2 从而 m≥1,又因为椭圆 5 +m=1 中 m≠5,所以 m 的取值范围是[1,5)∪(5, +∞). 答案: C y2 x· |x| 2.直线 l:y=x+3 与曲线 9 - 4 =1 交点的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 )

y2 x2 y2 x2 解析:当 x≥0 时,曲线为 9 - 4 =1;当 x<0 时,曲线为 9 + 4 =1,如图 所示,

y2 x2 3 3 直线 l:y=x+3 过(0,3),又由于双曲线 9 - 4 =1 的渐近线 y=2x 的斜率2> y2 x2 y2 x2 1,故直线 l 与曲线 9 - 4 =1(x≥0)有两个交点,显然 l 与半椭圆 9 + 4 =1(x≤0) 有两个交点,(0,3)记了两次,所以共 3 个交点. 答案:D x2 y2 3.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) A.(1,2) C.(2,+∞) B.(-1,2) D.[2,+∞)

解析: F 的直线 l 与双曲线的右支有且只有一个交点, 过 则其斜率为正的渐 b c 近线的倾斜角应不小于 l 的倾斜角, 已知 l 的倾斜角是 60° 从而a≥ 3, a≥2. , 故 答案:D x2 2 4.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 4 +y =1 交于不同两点 A、B,则|AB|的最大值 为( ) A.2 4 10 C. 5 答案:C x2 y2 5.设离心率为 e 的双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k,则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是 ( ) A.k2-e2>1 B.k2-e2<1 4 5 B. 5 8 10 D. 5

C.e2-k2>1

D.e2-k2<1

解析:由双曲线的图象和渐近线的几何意义,可知直线的斜率 k 只需满足
2 2 b b b2 c -a 2 -a<k<a,即 k <a2= a2 =e2-1.

答案:C x2 y2 6.(2013· 绍兴调研)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0),M,N 是双曲线上 关于原点对称的两点,P 是双曲线上的动点,且直线 PM,PN 的斜率分别为 k1, k2,k1k2≠0,若|k1|+|k2|的最小值为 1,则双曲线的离心率为( 5 3 3 A. 2 B. 2 C. 2 D.2 解析:设 M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y) y-y0 y+y0 则 k1 = ,k2= . x-x0 x+x0 x2 y2 又∵M、N、P 都在双曲线a2-b2=1 上,
2 2 2 2 ? 2 2 ?b x0-a y0=a b , ∴? 2 2 2 2 2 2 ? ?b x -a y =a b . 2 ∴b2(x2-x0)=a2(y2-y2). 0

)

x-x0 a2y+y0 ∴ = 2 . y-y0 b x+x0 1 a2 b2 ∴|k |=b2|k2|,即|k1|· 2|=a2. |k 1 2b 又∵|k1|+|k2|≥2 |k1||k2|= a . 2b ∴ a =1,即 4b2=a2. ∴4(c2-a2)=a2,即 4c2=5a2.

c2 5 5 5 ∴a2=4,即 e2=4,∴e= 2 . 答案:B 二、填空题 x2 y2 7. 过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左顶点 A 作斜率为 1 的直线, 与椭圆的另一 个交点为 M,与 y 轴的交点为 B.若 AM=MB,则该椭圆的离心率为__________.

a a 解析:如图,直线 AB 斜率为 1,且 AM=MB,故 M 的坐标为(-2,2),代 x2 y2 1 a2 2 入椭圆的方程a2+b2=1 得4+4b2=1, a2=3b2=3(a2-c2), 即 ∴3c2=2a2, 2=3, e 6 e= 3 . 6 答案: 3 8.(2013· 长沙一中期末)已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 且斜率为 3的直线交 C 于 A,B 两点.设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于__________.

解析:如图,抛物线的准线设为 l,D 为 x 轴上 F 右侧一点,AA1⊥l,BB1 ⊥l,垂足分别为 A1 和 B1,由抛物线定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|. 又 AB 斜率为 3,∴倾斜角∠AFD=60° ,在梯形 AA1B1B 中,∠BAA1=60° , |AB|=2(|AA1|-|BB1|),即|FA|+|FB|=2(|FA|-|FB|),得|FA|=3|FB|. 答案:3 9.直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:x2-y2=1 有且仅有一个公共点,则 k= __________.
? ?y=kx+1, 解析:由? 2 2 得(1-k2)x2-2kx-2=0. ?x -y =1, ?

当 1-k2=0 即 k=± 时,方程组有唯一解,满足题意; 1 当 1-k2≠0,Δ=4k2+8(1-k2)=0, 即 k=± 2时,方程组有唯一解,也满足题意. 答案:± 或± 2 1 三、解答题 10.(2013· 安徽联考)已知 i,j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a=xi+(y- 1)j,b=xi+(y+1)j,且满足|a|+|b|=2 2. (1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程;

→ → → → (2)设点 F(0,1),点 A,B,C,D 在曲线 C 上,若AF与FB共线,CF与FD共 → → 线,且AF· =0.求四边形 ACBD 的面积的最小值和最大值. CF 解析:(1)∵|a|+|b|=2 2, ∴ x2+?y-1?2+ x2+?y+1?2=2 2. 由椭圆的定义可知,动点 P(x,y)的轨迹是以点 F1(0,-1),F2(0,1)为焦点, 以 2 2为长轴的椭圆. y2 ∴点 P(x,y)的轨迹 C 的方程为:x + 2 =1.
2

(2)由条件知 AB 和 CD 是椭圆的两条弦,相交于焦点 F(0,1),且 AB⊥CD, 直线 AB、 中至少有一条存在斜率, CD 不妨设 AB 的斜率为 k, AB 过点 F(0,1), 又 故 AB 的方程为 y=kx+1,将此式代入椭圆方程得(2+k2)x2+2kx-1=0,设 A、 -k- 2k2+2 -k+ 2k2+2 B 两点的坐标分别为(x1, 1), 2, 2), x1= y (x y 则 , 2= x , 2+k2 2+k2 8?1+k2?2 从而|AB| =(x1-x2) +(y1-y2) = , ?2+k2?2
2 2 2

2 2?1+k2? 亦即|AB|= . 2+k2
? ? 1? ? 2 2?1+?-k?2? 1 ? ? ?? ①当 k≠0 时,CD 的斜率为-k,同上可推得|CD|= , ? 1?2 2+?-k? ? ?

故四边形 ABCD 面积 1 S=2|AB||CD| 1? ? 8?1+k2??1+k2? 1 ? ? =2× 1? ? ?2+k2??2+k2?
? ?

1? ? 4?2+k2+k2? ? ? = 2 . 2 5+2k +k2 1 ? 4?2+u? ? 1 令 u=k2+k2,得 S= =2?1-5+2u?. 5+2u ? ? 1 16 ∵u=k2+k2≥2,当 k=± 时 u=2,S= 9 ,且 S 是以 u 为自变量的增函数, 1 16 ∴ 9 ≤S<2. ②当 k=0 时,CD 为椭圆长轴,|CD|=2 2,|AB|= 2, 1 ∴S=2|AB||CD|=2. 16 故四边形 ABCD 面积的最小值和最大值分别为 9 ,2.

x2 y2 11.(2012· 辽宁)如图,椭圆 C0:a2+b2=1(a>b>0,a,b 为常数),动圆
2 C1:x2+y2=t1,b<t1<a.点 A1,A2 分别为 C0 的左,右顶点,C1 与 C0 相交于 A,

B,C,D 四点. (1)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程; (2)设动圆 C2:x2+y2=t2与 C0 相交于 A′,B′,C′,D′四点,其中 b< 2
2 t2<a,t1≠t2.若矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等,证明:t1+t2为定 2

值. 解析:(1)设 A(x1,y1),B(x1,-y1),又知 A1(-a,0),A2(a,0),则直线 A1A y1 的方程为 y= (x+a),① x1+a 直线 A2B 的方程为 y=
2

-y1 (x-a).② x1-a

-y2 2 2 1 由①②得 y = 2 (x -a ).③ x1-a2
2 x1 y2 1 由点 A(x1,y1)在椭圆 C0 上,故a2+b2=1,

从而

2 x1? 2 2? y1=b ?1-a2?,

?

?

x2 y2 代入③得a2-b2=1(x<-a,y<0). (2)设 A′(x2,2), y 由矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等, 4|x1||y1| 得
2 =4|x2||y2|,故 x1y2=x2y2. 1 2 2

因为点 A,A′均在椭圆上, 所以
2 x2 ? x2? 1 2 2? 2 2? b x1?1-a2?=b x2?1-a2?.

?

?

?

?

2 2 2 2 由 t1≠t2,知 x1≠x2,所以 x1+x2=a2,从而 y1+y2=b2, 2 因此 t1+t2=a2+b2 为定值. 2

12.(2012· 湖南)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2:(x-5)2 +y2=9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=-2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P(x0,y0)(y0≠± 3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲 线 C1 相交于 A,B 和 C,D. 证明:当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定

值. 解析:(1)方法一:设 M 的坐标为(x,y),由已知得 |x+2|= ?x-5?2+y2-3. 易知圆 C2 上的点位于直线 x=-2 的右侧, 于是 x+2>0, 所以 ?x-5?2+y2 =x+5. 化简得曲线 C1 的方程为 y2=20x. 方法二: 由题设知, 曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2(5,0)的距离等于它到直 线 x=-5 的距离.因此,曲线 C1 是以(5,0)为焦点,直线 x=-5 为准线的抛物 线.故其方程为 y2=20x. (2)当点 P 在直线 x=-4 上运动时,P 的坐标为(-4,y0),又 y0≠± 3,则过 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交 点,切线方程为 y-y0=k(x+4),即 kx-y+y0+4k=0. |5k+y0+4k| 于是 =3. k2+1
2 整理得 72k2+18y0k+y0-9=0.①

设过 P 所作的两条切线 PA,PC 的斜率分别为 k1,k2,则 k1,k2 是方程①的 18y0 y0 两个实根.故 k1+k2=- 72 =- 4 .②
?k1x-y+y0+4k1=0, ? 由? 2 得 k1y2-20y+20(y0+4k1)=0.③ ? ?y =20x.

设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1,y2,y3,y4,则 y1,y2 是方程③的 20?y0+4k1? 两个实根,所以 y1y2= .④ k
1

20?y0+4k2? 同理可得 y3y4= .⑤ k
2

于是由②,④,⑤三式得

400?y0+4k1??y0+4k2? y1y2y3y4= kk
1 2

400[y2+4?k1+k2?y0+16k1k2] 0 = k1 k2 400?y2-y2+16k1k2? 0 0 = k1 k 2 =6 400. 所以,当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定 值 6 400.


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