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上饶市2014年1月第一次高考模拟考试卷数学(理科)

上饶市 2014 届第一次高考模拟考试 数学(理科)试题卷
命题人: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 l 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 150 分.

第Ⅰ卷
考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的学校、准考证号、姓名填写在答题卡上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在 试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卷一并收回. 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每题只有一个正确答案) 1.计算: A.2

(2 ? i )(1 ? i ) 2 ? 1 ? 2i
B. ?2 C. 2i D. ?2i





2 .已知集合 S ? x x ? 1 ? 2, x ? R , T ? ? x ( )

?

?

?

? 5 ? 1, x ? Z ? , 则 S ? T 等于 ? x ?1 ?

A. ?x | 0 ? x ? 3, x ? Z ? C. ?x | ?1 ? x ? 0, x ? Z ?

B. ?x | 0 ? x ? 3, x ? Z ? D. ?x | ?1 ? x ? 0, x ? Z ?

3. 数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 3n, 则{an } 的通项公式为(
2



开始 S=1,T=1,n=2 T=2n

A. 4n ? 5 B. 4n ? 3 C. 2n ? 3 D. 2n ? 1 4.某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条棱的长度中,最大的是( A. 2 5 B. 2 6 C. 2 7 D. 4 2 5.设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则 A. 0 ? x ? ? B. ( D. )



n=n+1

?
4

?x?

7? 4

C.

?
4

?x?

5? 4

?
2

?x?

3? 2

S=n2 T≥S? 是 输出 n 结束 (第 6 题) 否

6.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为( ) A.6 B. 5 C . 8 D. 7 7 . 已 知 a ? (cos? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? ), 且a与b 之 间 满 足 关 系 :

1

| k a ? b |? 3 | a ? k b | ,其中 k ? 0, 则a ? b 取得最小值时, a与b夹角? 的大小为(
A.



?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2


8.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=1,f′(x)为函数 f(x)的导函数.已知函数 y=f′(x)的图象 如图所示,两个正数 a、b 满足 f(2a+b)<1,则 A.(

b?2 的取值范围是( a?2
D. (-∞,-3)

1 1 , ) 3 2

B. (

1 1 ,3) C . (-∞, )∪(3,+∞) 2 2

9. 平面 ? 外有两条直线 m 和 n , 如果 m 和 n 在平面 ? 内的射影分别是 m1 和 n1 , 给 出下列四个命题:① m1 ? n1 ? m ? n ② m ? n ? m1 ? n1 ③ m1 与 n1 相交 ? m 与 n 相交或 重合 ④ m1 与 n1 平行 ? m 与 n 平行或重合,其中不正确的命题的个数是( A.4 个 B.3 个 C .2 个 D. 1 )

10.已知方程组 ?

? x ? 2 y ? z ? 2u 对此方程组的每一组正实数解 ( x, y, z , u ) ,其中 z ? y ,都存 ? 2 yz ? ux

在正实数 M ,且满足 M ? A. 1

z ,则 M 的最大值是 ( ) y
C .6? 4 2 D. 3 ? 2 2

B. 3 ? 2 2

2

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

2? 11. 二项式 ? ?1 ? ? 的展开式中第四项的系数为 ? x?

5



12. 若正数 x, y 满足 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则

x ? 2y 的最小值为 xy



13.有 6 名同学参加两项课外活动,每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项,每项活 动最多安排 4 人,则不同的安排方法有_____种. (用数字作答) 14. 若 F1 , F2 分别为双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的下,上焦点,O 为坐标原点,点 P 在双曲线的下支上, a 2 b2 ???? ???? ???? ? ???? ????? F1 P F1O 点 M 在上准线上,且满足 F2O ? MP, F1M ? ? ( ???? ? ???? )(? ? 0) ,则双曲线的离心率 F1 P F1O

__________. 15. 选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分,本题共 5 分。 (1) (坐标系与参数方程选做题)直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为 . (2) (不等式选讲题) 已 知 集 合 A ? x ? R x ? 3 ? x ? 4 ? 11 , B ? ? x ? R x ? 4t ? , t ? (0,??)?, 则 集 合

?

?

? ?

1 t

? ?

A ? B =________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.其中第 16—19 小题每题 12 分, 第 20 题 13 分,第 21 题 14 分). 16. ( 本 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 函 数

f ( x) ? 2cos x sin( x ? A) ? sin A( x ? R) 在 x ?
(1)当 x ? (0,

?
2

5? 处取得最大值。 12

) 时,求函数 f ( x) 的值域;
13 3 ,求 ?ABC 的面积。 14

(2)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ?

17. (本题满分 12 分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对 “中国式过马路 ”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取 30 名路人进行了问卷调查,得到 了如下列联表:

3

男 性 反 感 不 反 感 合 计 10

女 性

合 计

8

30

已知在 这 30 人中随机抽取 1 人抽 到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是

8 . 15

(1)请将上面的列表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分 析 反感“中国式过马路
2

(a ? b ? c ? d )( ad ? bc) 2 ”与性别是否有关?( ? ? (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )
2

当 ? <2.706 时,没有充分的证据判定变量性别有关,当
2

? 2 >2.706 时,有 90%的把握判定变量

性别有关,当 ? >3.841 时,有 95%的把握判定变量性别有关,当

? 2 >6.635 时,有 99%的把握判

定变 量性别有关) (2)若从这 30 人中的女性路人中随机抽取 2 人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 18. (本题满分 12 分)已知等差数列 ? an ? 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26, ?an ? 的前 n 项和为 S n 。 (1)求 an 及 S n ; (2)令 bn ?

1 (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 a ?1
2 n

19. (本题满分 12 分) 如图, 在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 AA1 B1 B ⊥底面 ABC , 侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60° 的角, AA1 ? 2 .底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,其重心为 G 点, E 是

1 BC1 . 3 (1)求证: GE // ?侧面 AA1 B1 B ;
线段 BC1 上一点,且 BE ? (2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的正切值;

第 19 题图

4

20 如图,椭圆 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )和圆 C2 : x 2 ? y 2 ? b2 ,已知圆 C2 将椭圆 C1 的 2 a b
2 ,椭圆 C1 的下顶点为 E ,过坐标原点 O 且 4

长轴三等分,椭圆 C1 右焦点到右准线的距离为

与坐标轴不重合的任意直线 l 与圆 C2 相交于点 A 、 B . (1)求椭圆 C1 的方程; (2)若直线 EA 、 EB 分别与椭圆 C1 相交于另一个交点为点 P 、 M . ①求证:直线 MP 经过一定点; ②试问: 是否存在以 (m, 0) 为圆心,

3 2 为半径的圆 G , 使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 G 相 5

交?若存在,请求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由。

y
P A O B x

M

21.已知函数 f ( x) ? ax ?

2 ? 6 ,其中 a 为实常数. x

E

(1)若 f ( x) ? 3x 在 (1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围; (2)已知 a ?

3 ,P 1, P 2 是函数 f ( x ) 图象上两点,若在点 P 1, P 2 处的两条切线相互平行,求这 4

两条切线间距离的最大值; (3)设定义在区间 D 上的函数 y ? s( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程为 l : y ? t ( x) ,当 x ? x0 时,若

s ( x) ? t ( x) .试问函数 ? 0 在 D 上恒成立,则称点 P 为函数 y ? s( x) 的“好点” x ? x0

g ( x) ? x 2 f ( x) 是否存在“好点” .若存在,请求出所有“好点”坐标,若不存在,请说
明理由.

5

上饶市 2014 届第一次高考模拟考试数学(理科) 试卷答案及评分标准
一、选择题:共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 C 6 D 7 C 8 B 9 A 10 C

二、填空题:共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.-80 12.3 13. 50 14. 2 15. (1) 3 (2) [4,6]

三、解答题:共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (1) f ( x) =2cosx(sinxcosA-cosxsinA)+sinA=2sinxcosxcosA-2 cos x sinA+sinA =sin2xcosA-cos2xsinA=sin(2x-A)-------------3 分
2

? f ( x)在x ?

5? 处取得最大值 12

? ?2? 5 12 ? A ? 2k? ?

?

2

, 其中k ? Z ,即A ?

?
3

? 2k? , k ? Z

? A? (0,?), ?A?
??

?

? ? 2? 又? x ? (0, ),? 2 x ? A ? (? , ) 3 2 3 3

3 3 ? sin(2 x ? A) ? 1, 即f(x)的值域为(? ,1] -----------------6 分 2 2

(2)由正弦定理

a b c b?c 得 sin B ? sin C ? ? ? sin A sin A sin B sin C a



13 3 b ? c 3 ? ? ,? b ? c ? 13 由余弦定理 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A得 14 7 2

a 2 ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc cos A,即49=169-3bc, ? bc=40

1 1 3 ? S? ABC ? bc sin A ? ? 40 ? ? 10 3 --------------------------12 分 2 2 2
17.解(1)

男性 反感 不 反 感 合计 10 6 16
2

女性 6 8 14

合计
科网]

[来源:学

16 14 30

由已知数据得: ? ?

30(10 ? 8 ? 6 ? 6) 2 ? 1.158 ? 3.841 , 所以,没有充足的理由认为反感“中 16 ?14 ?16 ?14

国式过马路”与性别有关. ----6 分
6

(2) X 的可能取值为 0,1, 2.

P( X ? 0) ?

2 2 1 C8 C6 C1 4 15 48 6 C8 ? , P ( X ? 2) ? ? , P ( X ? 1) ? ? , 2 2 2 C14 13 C14 91 C14 91

所以 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

4 13
§网 Z§X§X§K]

[ 来源 :学§科

48 91

15 91

X 的数学期望为: EX ? 0 ?

4 48 15 6 ? 1? ? 2 ? ? . 13 91 91 7 -------12 分
的首项为 a1 ,公差为 d ,

18. 解: (1)设等差数列

{a n }

由 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 ,解得 a1 ? 3, d ? 2 .??3 分

n(a1 ? an ) ,所以 a n ? 2n ? 1, S n ? n 2 ? 2n .??5 分 2 1 1 1 1 2 ? ( ? ). (2)因为 a n ? 2n ? 1 ,所以 an ? 1 ? 4n(n ? 1) ,因此 bn ? 4n(n ? 1) 4 n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ) ? (1 ? )? 故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? , 4 2 2 3 n n ?1 4 n ?1 4(n ? 1) n 所以数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? .??12 分 4( n ? 1)
由于 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ?

? ?B1 EC1 ∽△FEB, 19. 解法 1: (1) 延长 B1E 交 BC 于点 F, BE=
从而点 F 为 BC 的中点. ∵G 为△ ABC 的重心,∴A、G、F 三点共线.且

1 1 1 EC1, ∴BF= B1C1= BC, 2 2 2

又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴GE//侧面 AA1B1B. ----------------------------5 分 (2)在侧面 AA1B1B 内,过 B1 作 B1H⊥AB,垂足为 H,∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, ∴B1H⊥底面 ABC. 又侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60° 的角, AA1=2, ∴∠B1BH=60° , BH=1, B1H= 3. 在底面 ABC 内,过 H 作 HT⊥AF,垂足为 T,连 B1T,由三垂线定理有 B1T⊥AF, 又平面 B1CE 与底面 ABC 的交线为 AF,∴∠B1TH 为所求二面角的平面角. ∴AH=AB+BH=3 , ∠HAT=30° , ∴HT=AH sin 30? ?
tan ?B1TH ? B1 H 2 3 , ? HT 3
3

FG FE 1 ? ? ,? GE // AB1 , FA FB1 3

3 2

. 在

Rt△ B1HT

中 ,

从而平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 . -------------------------12 分 解法 2: (1)∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60° 的角,∴∠A1AB=60° , 又 AA1=AB=2,取 AB 的中点 O,则 AO⊥底面 ABC. 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O— xyz 如图,
7

则 A ? 0, ?1, 0 ? , B ? 0,1, 0 ? , C

?

3, 0, 0 , A1 0, 0, 3 , B1 0, 2, 3 , C1

?

?

?

?

?

?

3,1, 3 .

?

??? ? 1 ???? ? ? 3 3 3 ?, ∵G 为△ ABC 的重心,∴ G ? .? BE ? BC1 ,∴ E ? , 0, 0 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ,1, 3 ? ? 3 ? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ∴ CE ? ? 0,1, 3 ? ? 1 AB1 . 又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴GE//侧面 AA1B1B. -----5 分 ? ? 3 ? 3 ?
? 3 ???? 2 3 a ?b? c ? 0, ? n ? B E ? 0, ? ? 1 (2)设平面 B1GE 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则由 ? ??? 得 ? 3 3 ? ? ? ?n ? GE ? 0. ?b ? 3 c ? 0. ? 3 ?

可取 n ?

?

3, ?1, 3

?

又底面 ABC 的一个法向量为 m ? ? 0, 0,1?

设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 ? ,则 cos ? ?

m?n 21 . ? | m |?| n | 7

由于 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 2 7 ,进而 tan ? ? 2 3 . 7 3 故平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 .---------------12 分
3

20. 解: (1) 依题意, 2b ?

a2 b2 2 1 2 2 则 a ? 3b , ∴ c ? a ? b ? 2 2b , 又 , ?c ? ? ? 2a , c c 4 3

∴ b ? 1 ,则 a ? 3 ,∴椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4 分 9

(2) ①由题意知直线 PE , ME 的斜率存在且不为 0, 设直线 PE 的斜率为 k , 则 PE :y ? kx ? 1 ,

18k ? x? 2 , ? y ? kx ? 1, ? ? x ? 0, 18k 9k 2 ? 1 ? 9k ? 1 ? 2 P ( , ), 5分 由?x 得 或 ∴ ? ? 2 2 9k 2 ? 1 9 k 2 ? 1 ? ? y ? 1, ? y ? 9k ? 1 , ? y ? ?1, ?9 ? 9k 2 ? 1 ?
?18k 9 ? k 2 1 , ) , k PM 去代 k ,得 M ( 2 k k ? 9 k2 ? 9

用?

9k 2 ? 1 9 ? k 2 ? 2 2 2 9 k ? 1 k ? 9 ? k ?1 , ? 18k 18k 10k ? 2 2 9k ? 1 k ? 9

9 ? k 2 k 2 ?1 18k k 2 ?1 4 ? (x ? 2 ) ,即 y ? x? , ∴直线 PM 的方程: y ? 2 k ? 9 10k k ?9 10k 5
8

∴直线 PM 经过定点 T (0, ) .综上所述,直线 PM 经过定点 T (0, ) . 9 分

4 5

4 5

2k ? x? , ? ? y ? kx ? 1, ? x ? 0, 2k k 2 ? 1 ? 1? k2 ②由 ? 2 得 或 ∴ A ( , 2 ), ? ? 2 2 2 y ? ? 1, 1 ? k k ? 1 x ? y ? 1, k ? 1 ? ? ?y ? , ? k2 ?1 ?
则直线 AB :y ?

k ?1 设 x, 2k
2

t?

k2 ?1 4 y ? tx ? 10k , 5, 则t ? R , 直线 PM : 直线 AB :y ? 5tx ,

假设存在圆心为 (m, 0) ,半径为

3 2 的圆 G ,使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 G 相交, 5

3 ? | 5tm | ? 2, ? 2 5 1 ? 25 t ? ? 则? 4 ? | mt ? 5 | 3 ? 2, ? 5 ? 1? t2 ?
由( ii )得, (m ?
2

(i )
由( i )得 25t (m ?
2 2

18 18 18 2 )? 对 t ? R 恒成立,则 m ? , 25 25 25

(ii )

18 2 8 2 )t ? mt ? ? 0 对 t ? R 恒成立, 25 5 25 18 18 8 2 18 2 2 2 2 2 2 )(? ) ? 0 , 当m ? 时, 不合题意; 当m ? 时,? ? ( m) ? 4(m ? 得m ? , 25 25 5 25 25 25 2 2 即? ,∴存在圆心为 (m, 0) ,半径为 ?m? 3 2 的圆 G ,使得直线 PM 和直线 AB 都 5 5 5
与圆 G 相交,所有 m 的取值集合为

2 2 (? , ) 5 5

13 分

21. 解: (1) f ( x) ? 3x 在 (1, ??) 上恒成立等价于 a ? ?

2 6 ? ?3, x2 x

2 6 ? 1 3 ? 15 令 h ? x ? ? ? 2 ? ? 3 ? ?2 ? ? ? ? x x 2 ? x 2?
因为 x ? 1 ,所以 0 ? (2) f '( x) ? 则

2

1 ? 1 ,故 ?5 ? h ? x ? ? 3 所以 a ? 3 .-----------4 分 x

3 2 ? 设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,过点 P 1, P 2 的两切线互相平行, 4 x2

3 2 3 2 ,或 x1 ? ? x2 , ? ? ? 2 ,所以 x1 ? x2 (舍去) 4 x12 4 x2

过点 P 1 的切线 l1 : y ? y1 ? f '( x1 )( x ? x1 ) ,即 f '( x1 ) x ? y ? f ( x1 ) ? x1 f '( x1 ) ? 0 ,

9

过点 P2 的切线 l 2 : f '( x2 ) x ? y ? f ( x2 ) ? x2 f '( x2 ) ? 0 两平行线间的距离是 d ?

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 f '( x1 ) ? x2 f '( x2 ) | 1 ? [ f '( x1 )]2

3 2 3 2 2 | ( x1 ? ) ? x1 ( ? 2 ) | 4 x1 4 x1 ? ? 3 2 2 1? ( ? 2 ) 4 x1
因为

8 | x1 | ? 25 3 4 ? ? 16 x12 x14

8 25 2 4 x1 ? 2 ? 3 16 x1



25 2 4 25 2 4 8 x1 ? 2 ? 2 x1 ? 2 ? 5 ,所以 d ? ?4 2 16 x1 16 x1 5?3

即两平行切线间的最大距离是 4 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ( 3 ) g ( x) ? x f ( x) ? ax ? 6 x ? 2 x , 设 g ( x) 存 在 “ 好 点 ” P( x0 , y0 ) , 由
2 3 2

g ' (x ? )

2 3 a x ?

h( x) ? g '( x ? x ? g (0 x, ) 依题意 1? 2 x, 得2 0 )(x 0 )

g ( x ) ? h( x ) ? 0 对任意 x ? x0

x ? x0 恒成立,因为

g ( x) ? [ g '( x0 )( x ? x0 ) ? g ( x0 )] [ g ( x) ? g ( x0 )] ? g '( x0 )( x ? x0 ) , ? x ? x0 x ? x0

?

3 2 2 [(ax3 ? 6 x 2 ? 2 x) ? (ax0 ? 6 x0 ? 2 x0 )] ? (3ax0 ? 12 x0 ? 2)( x ? x0 ) x ? x0

2 2 ? [a( x 2 ? x0 x ? x0 ) ? 6( x ? x0 ) ? 2] ? (3ax0 ? 12 x0 ? 2) 2 2 ? ax 2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0 ? 6 x0 ) 所以 ax 2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0 ? 6 x0 ) ? 0 对任意 x ? x0 恒

成立,
2 ? 6 x0 ) ? 0 不可能对任意 x ? x0 恒成立, ①若 a ? 0 , ax 2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0

即 a ? 0 时,不存在“好点” ;
2 ? 6 x0 ) ? 0 , ②若 a ? 0 ,因为当 x ? x0 时, ax 2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0

要 使

2 ax 2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0 ? 6 x0 ) ? 0

对 任 意

x ? x0 恒 成 立 , 必 须
2 ,综上可得,当 a ? 0 时, a
14 分

2 ? ? (ax0 ? 6)2 ? 4a(2ax0 ? 6 x0 ) ? 0 (ax0 ? 2)2 ? 0 ,所以 x0 ? ?

不存在“好点” ;当 a ? 0 时,存在惟一“好点”为 (?

2 16 ? 4a , ) .------a a2

10


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