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黑龙江省佳木斯市桦南县培黎学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析

黑龙江省佳木斯市桦南县培黎学校 2014-2015 学年高二上学期期 末数学试卷
一、选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四选项中只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)若复数 z 满足(3﹣4i)z=5,则 z 的虚部为() A. B. ﹣ C. 4 D.﹣4

2. (5 分)在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的图是 ()

A.(1) (2)

B.(1) (3)

C.(2) (4)

D.(2) (3)

3. (5 分)把红、蓝、黑、白 4 张纸牌随机分给甲乙丙丁 4 人,每人分得一张,事件甲分得 红牌与事件乙分得红牌是() A.对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 不可能事件 D.以上都不对 4. (5 分)按照程序框图(如图)执行,第 3 个输出的数是()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

5. (5 分)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示) , 则该样本的中位数、众数、极差分别是 ()

A.46,45,56

B.46,45,53

C.47,45,56

D.45,47,53

6. (5 分)曲线 C 的方程为

=1,其中 m,n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,

事件 A=“方程

=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”,那么 P(A)=()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺,要从编号依次为 1 到 50 的袋 装奶粉中抽取 5 袋进行检验, 用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 袋奶粉的编号可能是() A.5,10,15,20,25 B. 2,4,8,16,32 C. 1,2,3,4,5 D.7,17,27,37,47

8. (5 分)以下命题中正确命题的个数是()个 (1)将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,平均数与方差均没有变化; (2)调查剧院中观众观后感,从 50 排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分 层抽样; (3)事件 A,B 同时发生的概率一定比 A,B 中恰有一个发生的概率小; (4)气象局预报说,明天本地降水概率为 70%,则明天本地有 70%的区域下雨,30%区域 不下雨; (5)同时掷两个骰子,则向上的点数之和是 5 的概率是 A.0 B. 1 C. 2 . D.3

9. (5 分)如图 1 是牡一中 2014-2015 学年高二学年每天购买烤肠数量的茎叶图,第 1 天到 第 14 天的购买数量依次记为 A1,A2,…,A14.图 2 是统计茎叶图中烤肠数量在一定范围 内购买次数的一个算法流程图,那么算法流程图输出的结果是()

A.7

B. 8

C. 9

D.10

10. (5 分)某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位: 克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是,样本数据分组为,已知样本中产 品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个 数是()

A.90

B.75

C.60

D.45

11. (5 分)在区间上随机取一个数 x,cosx 的值介于 0 到 之间的概率为() A. B. C. D.

12. (5 分)已知函数 f(x)=ax+

(x>1) ,若 a 是从 0,1,2 三数中任取一个,b 是从

1,2,3,4 四数中任取一个,那么 f(x)>b 恒成立的概率为() A. B. C. D.

二、填空题(本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数,事件 B 为出现 2 点, 已知 P(A)= ,P(B)= ,则出现奇数点或 2 点的概率是 . 14. (5 分)方程 x ﹣2ax﹣b +16=0(a,b∈R) ,若 a∈,b∈,则方程没有实根的概率为. 15. (5 分)A={1,2,3},B={x∈R|x ﹣ax+b=0,a∈A,b∈A},则 A∩B=B 的概率是. 16. (5 分)已知圆 C1: (x﹣2cosθ) +(y﹣2sinθ) =1 与圆 C2:x +y =1,在下列说法中: ①对于任意的 θ,圆 C1 与圆 C2 始终有四条公切线; ②对于任意的 θ,圆 C1 与圆 C2 始终相切; ③P,Q 分别为圆 C1 与圆 C2 上的动点,则|PQ|的最大值为 4. ④直线 l:2(m+3)x+3(m+2)y﹣(2m+5)=0(m∈R)与圆 C2 一定相交于两个不同的 点; 其中正确命题的序号为.
2 2 2 2 2 2 2

三、解答题(本大题共有 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分)从某小组的 2 名女生和 3 名男生中任选 2 人去参加一项公益活动. (1)求所选 2 人中恰有一名男生的概率; (2)求所选 2 人中至少有一名女生的概率. 18. (10 分)已知函数 F(x)=|3x﹣1|+ax (Ⅰ)当 a=3 时,解关于 x 的不等式 f(x)≥|x﹣3|; (Ⅱ)若 f(x)≥x﹣ 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

19. (12 分)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与 月储蓄 y (单位: 千元) 的数据资料, 算得 i , =20, =184, =720.

1)求家庭的月储蓄 y 关于月收入 x 的线性回归方程



2)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

附: 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: =

,=



20. (12 分)某校从参加 2015 届高三模拟考试的学生中随机抽取 6 0 名学生,将其数学成绩 (均为整数)分成六组后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在

22. (12 分)已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的长轴长为 4,离心率为 ,F1、F2 分别

为其左右焦点.一动圆过点 F2,且与直线 x=﹣1 相切. (Ⅰ) (ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (ⅱ)求动圆圆心 C 轨迹的方程; (Ⅱ) 在曲线上 C 有两点 M、 N, 椭圆 C1 上有两点 P、 Q, 满足 MF2 与 共线,且 ? =0,求四边形 PMQN 面积的最小值. 共线, 与

黑龙江省佳木斯市桦南县培黎学校 2014-2015 学年高二 上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四选项中只 有一项 是符合题目要求的. ) 1. (5 分)若复数 z 满足(3﹣4i)z=5,则 z 的虚部为() A. B. ﹣ C. 4 D.﹣4

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出. 解答: 解:设复数 z=a+bi(a,b∈R) , ∵复数 z 满足(3﹣4i)z=5, ∴(3﹣4i) (3+4i)z=5(3+4i) , 2 2 ∴(3 +4 ) (a+bi)=5(3+4i) ,

∴a+bi=



∴复数 z 的虚部 b= . 故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则和虚部的定义,属于基础题. 2. (5 分)在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的图是 ()

A.(1) (2)

B.(1) (3)

C.(2) (4)

D.(2) (3)

考点: 散点图. 分析: 仔细观察图象, 寻找散点图间的相互关系, 主要观察这些散点是否围绕一条曲线附 近排列着,由此能够得到正确答案. 解答: 解:散点图(1)中,所有的散点都在曲线上,所以(1)具有函数关系; 散点图(2)中,所有的散点都分布在一条直线的附近,所以(2)具有相关关系; 散点图(3)中,所有的散点都分布在一条曲线的附近,所以(3)具有相关关系, 散点图(4)中,所有的散点杂乱无章,没有分布在一条曲线的附近,所以(4)没有相关关 系. 故选 D. 点评: 本题考查散点图和相关关系,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 3. (5 分)把红、蓝、黑、白 4 张纸牌随机分给甲乙丙丁 4 人,每人分得一张,事件甲分得 红牌与事件乙分得红牌是() A.对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 不可能事件 D.以上都不对 考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 探究型. 分析: 由题意可知事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但除了“甲分得红牌” 与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”,则两者不是对立事件. 解答: 解:根据题意,把红、蓝、黑、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人, 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,则两者是互斥事件, 但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”,则两者不是 对立事件. ∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件. 故选:B.

点评: 本题考查了互斥事件与对立事件, 考查了互斥事件与对立事件的概念, 是基础的概 念题. 4. (5 分)按照程序框图(如图)执行,第 3 个输出的数是()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 A 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:第一次执行循环体时,输出 A=1,S=2,满足继续循环的条件,则 A=3, 第二次执行循环体时,输出 A=3,S=3,满足继续循环的条件,则 A=5, 第三次执行循环体时,输出 A=5, 故选:C 点评: 本题考查了程序框图的应用问题, 解题时应模拟程序框图的运行过程, 以便得出正 确的结论,是基础题. 5. (5 分)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示) , 则该样本的中位数、众数、极差分别是 ()

A.46,45,56

B.46,45,53

C.47,45,56

D.45,47,53

考点: 专题: 分析: 解答:

茎叶图;众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差. 计算题. 直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差,即可. 解:由题意可知茎叶图共有 30 个数值,所以中位数为第 15 和 16 个数的平均值:

=46. 众数是 45,极差为:68﹣12=56. 故选:A.

点评: 本题考查该样本的中位数、众数、极差,茎叶图的应用,考查计算能力.

6. (5 分)曲线 C 的方程为

=1,其中 m,n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,

事件 A=“方程

=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”,那么 P(A)=()

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

古典概型及其概率计算公式. 概率与统计. 易得总的基本事件共 36 个,表示椭圆的共 15 个,由概率公式可得. 解:m,n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数共 6×6=36, =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”

∵事件 A=“方程

∴m>n,列举可得事件 A 包含(2,1) , (3,1) , (3,2) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5)共 15 个 ∴P(A)= =

故选:A 点评: 本题考查古典概型及其概率公式,涉及椭圆的方程,属基础题. 7. (5 分)为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺,要从编号依次为 1 到 50 的袋 装奶粉中抽取 5 袋进行检验, 用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 袋奶粉的编号可 能是()

A.5,10,15,20,25 C. 1,2,3,4,5

B. 2,4,8,16,32 D.7,17,27,37,47

考点: 系统抽样方法. 专题: 常规题型. 分析: 将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段, 分段的间隔要求相等, 系统抽样又 称等距抽样, 这时间隔一般为总体的个数除以样本容量, 若不能整除时, 要先去掉几个个体. 解答: 解:从编号依次为 1 到 50 的袋装奶粉中抽取 5 袋进行检验, 采用系统抽样间隔应为 =10,

只有 D 答案中的编号间隔为 10, 故选 D. 点评: 一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干 部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本. 8. (5 分)以下命题中正确命题的个数是()个 (1)将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,平均数与方差均没有变化; (2)调查剧院中观众观后感,从 50 排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分 层抽样; (3)事件 A,B 同时发生的概率一定比 A,B 中恰有一个发生的概率小; (4)气象局预报说,明天本地降水概率为 70%,则明天本地有 70%的区域下雨,30%区域 不下雨; (5)同时掷两个骰子,则向上的点数之和是 5 的概率是 A.0 B. 1 C. 2 . D.3

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 概率与统计. 分析: 根据概率的定义及实际含义,分别判断 5 个结论的真假,可得结论. 解答: 解:对于(1) ,将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,平均数减小,方差没 有变化,故错误; 对于(2) ,调查剧院中观众观后感,从 50 排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调 查是系统抽样,故错误; 对于(3) ,事件 A、B 同时发生的概率不一定比 A、B 中恰有一个发生的概率小,故错误; 对于(4) ,气象局预报说,明天本地降水概率为 70%,则明天本地下雨的可能性为 70%, 不下雨的可能性为 30%,故错误; 对于(5) ,同时掷两个骰子,则向上的点数之和是 5 的概率是 = ,故错误.

故正确命题的个数是 0 个, 故选:A 点评: 本题以命题的真假判断为载体考查了概率的定义及实际意义, 难度不大, 属于基础 题.

9. (5 分)如图 1 是牡一中 2014-2015 学年高二学年每天购买烤肠数量的茎叶图,第 1 天到 第 14 天的购买数量依次记为 A1,A2,…,A14.图 2 是统计茎叶图中烤肠数量在一定范围 内购买次数的一个算法流程图,那么算法流程图输出的结果是()

A.7

B. 8

C. 9

D.10

考点: 程序框图;茎叶图. 专题: 阅读型; 算法和程序框图. 分析: 根据流程图可知该算法表示统计 14 次考试成绩中大于等于 90 的人数, 结合茎叶图 可得答案. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加 14 次考试成绩超过 90 分的人数; 根据茎叶图的含义可得超过 90 分的人数为 10 个. 故选:D. 点评: 本题主要考查了循环结构, 以及茎叶图的认识, 解题的关键是弄清算法流程图的含 义,属于基础题. 10. (5 分)某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位: 克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是,样本数据分组为,已知样本中产 品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个 数是()

A.90

B.75

C.60

D.45

考点: 频率分布直方图;收集数据的方法.

专题: 概率与统计. 分析: 根据小长方形的面积=组距× 求出频率,再根据 求出

频数,建立等式关系,解之即可. 解答: 解:净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数设为 N2,产品净重小于 100 克的个数设为 N1=36,样本容量为 N,则 ,

故选 A. 点评: 用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法.对于总体分布,总是用样 本的频率分布对它进行估计,频率分布直方图:小长方形的面积=组距× ,各个

矩形面积之和等于 1,

,即

,属于基础题.

11. (5 分)在区间上随机取一个数 x,cosx 的值介于 0 到 之间的概率为() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 求出所有的基本事件构成的区间长度; 通过解三角不等式求出事件“cos x 的值介于 0 到 ”构成的区间长度,利用几何概型概率公式求出事件的概率. 解答: 解:所有的基本事件构成的区间长度为 ∵ 解得 或

∴“cos x 的值介于 0 到 ”包含的基本事件构成的区间长度为 由几何概型概率公式得 cos x 的值介于 0 到 之间的概率为 P= 故选 A. 点评: 本题考查结合三角函数的图象解三角不等式、考查几何概型的概率公式.易错题. 12. (5 分)已知函数 f(x)=ax+ (x>1) ,若 a 是从 0,1,2 三数中任取一个,b 是从

1,2,3,4 四数中任取一个,那么 f(x)>b 恒成立的概率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 由恒成立和分类讨论可得当 a>0 时有 7 种情况,当 a=0 时有 1 种情况,而总的共 12 种,由概率公式可得. 解答: 解析:当 a>0 时,由 x>1 知 f(x)=ax+ =a(x﹣1)+ +a+1≥2 +a+1=(
2

+1) ,

2

∵f(x)>b 恒成立,∵( +1) >b 恒成立, 若 b=1,则 a=1,2;若 b=2,则 a=1,2; 若 b=3,则 a=1,2;若 b=4,则 a=2,共 7 种情况. 当 a=0 时,f(x)= 故所求概率为 P= +1>1,b=1 适合, = .

故选:A 点评: 本题考查古典概型,涉及恒成立和分类讨论以及基本不等式,属中档题. 二、填空题(本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数,事件 B 为出现 2 点, 已知 P(A)= ,P(B)= ,则出现奇数点或 2 点的概率是 .

考点: 互斥事件的概率加法公式. 专题: 计算题. 分析: 由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现 2 点是互斥事件,又根据两个事件的概率, 根据互斥事件的概率之和得到出现奇数点或 2 点的概率. 解答: 解:由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现 2 点是互斥事件, ∵P(A)= ,P(B)= , ∴出现奇数点或 2 点的概率根据互斥事件的概率公式得到 P=P(A)+P(B)= + = , 故答案为: 点评: 本题考查互斥事件的概率, 解题的关键是看清两个事件的互斥关系, 再根据互斥事 件的概率公式得到结果,是一个基础题. 14. (5 分) 方程 x ﹣2ax﹣b +16=0 (a, b∈R) , 若 a∈, b∈, 则方程没有实根的概率为
2 2



考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 作出不等式组对应的平面区域, 利用几何概型的概率公式求出相应的面积即可得到 结论. 2 2 解答: 解:若关于 x 的一元二次方程 x ﹣2(a﹣2)x﹣b +16=0, 2 2 则△ =4(a﹣2) ﹣4(16﹣b )<0, 2 2 即(a﹣2) +b <16, 作出不等式组对应的平面区域如图: 则阴影部分的面积 S=
2

=
2

则由几何概型的概率公式可得方程 x ﹣2(a﹣2)x﹣b +16=0 没有实根概率 P= = ..

点评: 本题主要考查概率的计算, 根据几何概型的概率公式是解决本题的关键, 注意利用 数形结合进行求解. . 15. (5 分)A={1,2,3},B={x∈R|x ﹣ax+b=0,a∈A,b∈A},则 A∩B=B 的概率是 .
2

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

专题: 计算题. 分析: 先列出(a,b)的所有的情况,将 a,b 的值代入 B,判断出符合 A∩B=B 的所有 情况,再利用古典概型的概率公式即可求出概率. 解答: 解:由题意可知: (a,b)的所有的情况有 (1,1) (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) (3,3)共有 9 种情况. 当(a,b)=(1,1)时,B={x∈R|x ﹣x+1=0}=?满足 A∩B=B; 2 当(a,b)=(1,2)时,B={x∈R|x ﹣x+2=0}=?满足 A∩B=B; 2 当(a,b)=(1,3)时,B={x∈R|x ﹣x+3=0}=?满足 A∩B=B; 2 当(a,b)=(2,1)时,B={x∈R|x ﹣2x+1=0}={1}满足 A∩B=B; 2 当(a,b)=(2,2)时,B={x∈R|x ﹣2x+2=0}=?满足 A∩B=B; 2 当(a, b)=(2,3)时,B={x∈R|x ﹣2x+3=0}=?满足 A∩B=B; 2 当(a,b)=(3,1)时,B={x∈R|x ﹣3x+1=0}不满足 A∩B=B; 2 当(a,b)=(3,2)时,B={x∈R|x ﹣3x+2=0}={1,2}满足 A∩B=B; 2 当(a,b)=(3,3)时,B={x∈R|x ﹣3x+3=0}=?满足 A∩B=B; 综上可知:满足 A∩B=B 的情况共有 8 个. 故 A∩B=B 的概率是 故答案为: 点评: 本题为古典概型的求解,列举对基本事件是解决问题的关键,属基础题. 16. (5 分)已知圆 C1: (x﹣2cosθ) +(y﹣2sinθ) =1 与圆 C2:x +y =1,在下列说法中: ①对于任意的 θ,圆 C1 与圆 C2 始终有四条公切线; ②对于任意的 θ,圆 C1 与圆 C2 始终相切; ③P,Q 分别为圆 C1 与圆 C2 上的动点,则|PQ|的最大值为 4. ④直线 l:2(m+3)x+3(m+2)y﹣(2m+5)=0(m∈R)与圆 C2 一定相交于两个不同的 点; 其中正确命题的序号为②③④. 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: 由题意可得 C1(2cosθ,2sinθ) ,C2(0,0) ,两圆的半径都是 1,根据圆心距 d=2, 正好等于半径之和,可得两圆相外切,从而得到①不正确、②③正确.再根据直线 l 经过 定点 M( , ) .而点 M 在圆 C2:x +y =1 的内部,可得④正确,从而得出结论. 解答: 解:由题意可得 C1(2cosθ,2sinθ) ,C2(0,0) ,两圆的半径都是 1, 由于圆心距 d= =2, 正好等于半径之和, 可得两圆相
2 2 2 2 2 2 2

外切, 故对于任意的 θ,圆 C1 与圆 C2 始终有三条公切线,圆 C1 与圆 C2 始终相切, 若 P,Q 分别为圆 C1 与圆 C2 上的动点,则|PQ|的最大值为 4,故①不正确、②③正确. 由于直线 l:2(m+3)x+3(m+2)y﹣(2m+5)=0(m∈R) ,即 (6x+6y﹣5)+m(2x+3y ﹣2)=0,



,求得
2 2

,故直线 l 经过定点 M( , ) .

而点 M 在圆 C2:x +y =1 的内部,故直线 l 与圆 C2 一定相交于两个不同的点,故④正确. 故答案为:②③④. 点评: 本题主要考查圆和圆的位置关系,直线经过定点问题,属于基础题. 三、解答题(本大题共有 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分)从某小组的 2 名女生和 3 名男生中任选 2 人去参加一项公益活动. (1)求所选 2 人中恰有一名男生的概率; (2)求所选 2 人中至少有一名女生的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 设 2 名女生为 a1,a2,3 名男生为 b1,b2,b3,列举可得总的基本事件数,分别可 得符合题意得事件数,由古典概型的概率公式可得. 解答: 解:设 2 名女生为 a1,a2,3 名男生为 b1,b2,b3, 从中选出 2 人的基本事件有: (a1,a2) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a1,b3) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a2,b3) , (b1,b2) , (b1,b3) , (b2,b3) ,共 10 个, (1)设“所选 2 人中恰有一名男生”的事件为 A, 则 A 包含的事件有: (a1,b1) , (a1,b2) , (a1,b3) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a2,b3) ,共 6 个, ∴P(A)= = ,

故所选 2 人中恰有一名男生的概率为 . (2)设“所选 2 人中至少有一名女生”的事件为 B, 则 B 包含的事件有: (a1,a2) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a1,b3) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a2, b3) ,共 7 个, ∴P(B)= , .

故所选 2 人中至少有一名女生的概率为

点评: 本题考查古典概型及其概率公式,列举是解决问题的关键,属基础题. 18. (10 分)已知函数 F(x)=|3x﹣1|+ax (Ⅰ)当 a=3 时,解关于 x 的不等式 f(x)≥|x﹣3|; (Ⅱ)若 f(x)≥x﹣ 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

考点: 绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: (Ⅰ)当 a=3 时,关于 x 的不等式即|3x﹣1|﹣|x﹣3|+3x≥0,转化为与之等价的三个 不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求. (Ⅱ)由题意可得函数 h(x)=|3x﹣1|+ 的图象应该在直线 y=(1﹣a)x 的上方或重合,可 得 0≤1﹣a≤1,或﹣2≤1﹣a<0,由此求得 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=3 时,关于 x 的不等式 f(x)≥|x﹣3|即|3x﹣1|+3x≥|x﹣3|, 即|3x﹣1|﹣|x﹣3|+3x≥0. ∴ ①,或 ②,或

. 解①求得 x≥3,解②求得 ≤x<3,解③求得 x∈?. 综上可得,不等式的解集为 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,很熟的恒成立问题,体现了转化、分类讨论的 数学思想,属于中档题. 19. (12 分)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与 月储蓄 y (单位: 千元) 的数据资料, 算得 i , =20, =184, =720.

1)求家庭的月储蓄 y 关于月收入 x 的线性回归方程



2)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

附: 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: =

,=



考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 1)利用已知条件求出,样本中心坐标,利用参考公式求出 b,a,然后求出线性回 归方程: =bx+a; 2)通过 x=7,利用回归直线方程,推测该家庭的月储蓄. 解答: (本小题满分 12 分) 解:1)由题意知 n=10, ,







由此得



=2﹣0.3×8=﹣0.4,

故所求线性回归方程为 =0.3x﹣0.4. 2)将 x=7 代入回归方程,可以预测该家庭的月储蓄约为 =0.3×7﹣0.4=1.7(千元) . 点评: 本题考查回归直线方程的求法与应用,基本知识的考查,难度不大. 20. (12 分)某校从参加 2015 届高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩 (均为整数)分成六组后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在 解答: 解: (Ⅰ) (ⅰ)由题设知: ,

∴a=2,c=1,b=



∴所求的椭圆方程为



(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线, 且抛物线 C 的焦点为(1,0) , 准线方程为 x=1,则动圆圆心轨迹方程为 C:y =4x. (Ⅱ)当直线斜率不存在时,|MN|=4, 此时 PQ 的长即为椭圆长轴长,|PQ|=4, 从而 =8,
2

设直线 MN 的斜率为 k,直线 MN 的方程为:y=k(x﹣1) , 直线 PQ 的方程为 y=﹣ ,

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,P(x3,y3) ,Q(x4,y4) , 由 ,消去 y 可得 k x ﹣(2k +4)x+k =0,
2 2 2 2

由抛物线定义可知: |MN|=|MF2|+|NF2|=x1+1+x2+1 = =4+ ,



,消去 y 得(3k +4)x ﹣8x+4﹣12k =0,

2

2

2

从而|PQ|=

=



∴SPMQN=

=

=

=24
2 2



令 1+k =t,∵k >0,则 t>1, 则 SPMQN=

=

=



因为 3﹣ 所以 SPMQN=

=4﹣(1+ ) ∈(0,3) , >8,

2

所以四边形 PMQN 面积的最小值为 8. 点评: 本题考查椭圆方程和轨迹方程的求法, 考查四边形面积的最小值的求法. 综合性强, 难度大,是 2015 届高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条 件,合理地进行等价转化.


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