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减少解析几何运算量的几种常用策略


中学 生数学

年 ! 月上

第!

期# 高中

减 少 解 析 几 何 运 算 量 的 几 种 常 用 策 略
& 河 南 省 蹼 阳 市 第一 高 级 中 学 %






杨英 辉

解 析几 何的 解 题 思路 容 易 分 析 出 来 进 行 合理 运 算是 解析 几何 解 题 的 关键 同 学 们 常 常 会 由 于方 法 不 当
, ,

,

+ ,
,





一三些 一
及了

.


一 一
/


!

—(
/



(

使 运 算 过 程 变得 很 复杂 甚
,

,

二 式相乘 得 又由 所以



只 一矿


一) (
二若 % 一(
1
,

与 方 法

至 无法 进 行 到 底 最 终 解题 失 败 本 文举 例 说
明 减少 解析几 何运 算 量的 常 用方法

供参 考

,

在椭 圆 上知 的 轨迹方 程为
已 知 圆

式0

一 活 用 定义
侈 ,
!



9

矿 了 2 矿少 一 留

在椭 圆

某 菩
‘刁 沙
、 ,

2



!

上求一点


使得

三 妙用 平 面几 何知 识 例
< %一
,



3尸 凡 3 一

%只 凡 分 别 是左 右焦 点 3尸 凡 】

,

了 2
,

犷 一 ! :
,

;

上 一 点
< 尸

!

,

分析

若设
%‘
&

尸 %/

,

,

列 方程组

尸 9



为 圆 上 相异 两 点 若 直线
尸9


4

,


,

” 2 少 一 了%
!
,



&

2

,

,


=


< 9

的 倾斜 角 互 补 求 直 线

的 斜率

分析

=
,

若设直线


< 尸



< 9

的 斜率分 别 为
5

飞 条2 答一


由 直线 < 尸 < 9 的 方程 分别 与 圆 的 方程



求 解 虽然 思路 清晰 但 运算量 大 解 设
尸 %,
,

,

联立 解得 解

9

,

然后用
,

=

表示直 线

9

的 斜率

,


7

,

由 椭 圆 的 第一 定义知 3尸 6
.
,

最后 消 去 参数
,

=

计算 过 程 冗 长
3

35 又 (尸 ) +,

6

82
尸)

7

3一

!
# 一 白 & &! 一 % 卫 刀 划
。 人

如 图 作2
3
,

土4
,

‘ 一

轴交 圆于点
0


,

3

1一 5

尸) ( 故 】
,

.

(一




椭 圆 的 离心率

一 告右 准 线

匕 一 口

>

连 接
2 尸

%3

由 直 线



2 6

的倾 斜 角 互
0

由椭 圆 的 第 二 定 义 知
0




/



/

& 一 解

补知 得
3

2 3

平 分 匕 尸2 6
尸6










所以



1

,


9




由平面几何 知 为弧



识可
, ,

的 中 点 从 而 % 3 土尸 6
一7

二 设 而不求 例




,

2 一

、、
’ 、

2 一

十 为椭圆 共 其一 “
, ”
’ ‘

1。





<





: 一
2

;

:
2
9

故 ,



7 8





,

一一一
‘明

5 拼



巧 用 曲 线 系 方程 求与 双曲线 尹 一 少一 有公共渐
0

= 的 长 轴 的两个 端 点
的任 一 点
2

,




为 椭 圆 上 异于
,




,

Α


6

2

,

6

土2

2

9

6



2
0

9



,

求 直线
,

近线 且 过点 分析

Β1
,

,



的 双 曲 线方程
,

6 和 2

.

的 交点 6 的 轨迹 方程 若 采 用通 法 设

.

按 常 规方 法 需要 对 双 曲 线 方程 的
4

分析 件 线
2
.

尸14
,

1 〕 ,

>





依据条 表示直
2

类 型 进 行 讨论 分 焦 点 在
0

轴上 和 焦点 在
0

>



峨 凉 耳 沙

2 2 6

,

6 土2
?



2

.

6

土2
,

.







>



上 两种 情况进 行 求解
系 方程
,

巧用 共渐 近 线 的 双 曲 线 有 公共 渐 近 线
0

6



2
,

9

6

的 斜 率 进 而写 出 直线
6
,

6


,

则 可 避 免 分 类 讨论 与 双曲 线 了 一 犷 一
,

的 方程 然 后 联 立 方 程 组 求 点
0

的 坐标



最后 利 用 消 元 法可求 得 6 的 轨迹 方 程 此 运算 方法 比 较繁琐 解 考虑 整 体 法 设
,

的 双 曲 线 系 方程为 了 一 少 一 7 1 7 笋= 将点 Β1


代 人方程 可得
Α
,

7

0

一一

Α



昏 壑 曝

尸1二



,

>



,

6 1二

,

>

,

故 了 一 犷一 一 一 少

Α 尹 一

即 所求双 曲 线方 程为

由 题设 垂直 条件得
>



1

> “







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