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福建省仙游第一中学2018-2019学年高二上学期暑假返校(开学)考试数学试题+Word版含答案

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2018-2019 学年仙游一中 返校考数学试卷
一.选择题 1 .已知集合 A ? { x | l o g
A B ?
2

x?

4} | ,集合 B ? { x | | x ?

2} ,则



) B. [ 0 , 2 ] D. ( ? 2 , 2 )

A. ( 0 , 2 ] C. [ ? 2 , 2 ]

2.如右图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 的值为 20,则输出 的值为( ) A. 4 B. 3 C. 2
a
x

D. 1 始终满足 0 ? )
f ( x ) ? 1 ,则函

3. 若当 x ? R 时,函数 f ( x ) ? 数y
? lo g a 1 x

的图象大致为(

4.在△ABC 中,已知 a= A.
2 5

5 5

,b=

15

,A=30°,则 c 等于(
5

)

B.

2

5



C.

D. 以上都不对

5. 如图, 为测量山高 MN, 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 M 点 测 得 A 点 的 俯 角 ? N M A ? 30 , C 点 的 仰 角 ? C AB
?

? 45

?

以及
?

? M AC ? 75

?

;从 C 点测得 ? M C A = 6 0 ;已知山高 B C
?

? 200m

,则山高 M N



) B. 2 0 0
2m

A. 3 0 0 m

C. 2 0 0

3m

D. 3 0 0

2m

6.在等差数列 { a } 中, a
n

5

? 3, a 6 ? ? 2

,则 a C.4

3

? a4 ?

? a8

等于( D.3



A.2

B.1

7 . ? A B C 的内角 A , B , C 的对边分别为 a ,
b co s A ? a co s B ? 2

b



c

,若 c o s C

?

2 3

2



,则 ? A B C 的外接圆的面积为( )
8?

A.

4?

B.

C.

9?

D.

3 6?
*

8.若数列

满足 a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N ),它的前 n 项 )
n-1

和为 Sn,则 Sn=( A. 2-2
1-n

B. 2 -1

C. 2 -1

n

D. 2-2

n-1

9 .对于定义在 R 上的函数 f ? x ? ,有关下列命题:①若 f ? x ? 满足
f f

? 2 0 1 8? ? ? ?2 ? ?
f

f

?

2017 ?

,则 f ?x? 在 R 上不是减函数;②若 f ?x? 满足

? 2 ? ,则函数 f ? x ? 不是奇函数;③若 f ? x ? 满足在区间 ? ? ? , 0 ? 上

是减函数,在区间 ? 0 . ? ? ? 也是减函数,则 f ? x ? 在 R 上也是减函数;④ 若 f ? x ? 满足 f ? ? 2 0 1 8 ? ? f ? 2 0 1 8 ? ,则函数 f ? x ? 不是偶函数.其中正确的 命题序号是( A.①④ ) C. ②③ D. ②④
1

B.①②

10.如图,在同一平面内,点 P 位于两平行直线 l 的距离分别为 1, 3 .点 M , N 分别在 l 最大值为( )
1

, l 2 同侧,且 P

到l
PN ·

1

, l2

, l 2 上,

PM ? PN ? 8

,则 PM



A.9

B. 12

C. 10

D. 15

11 . 若
4?
3

? ? ?0, ?

? ,

? ? ?

? ? ?

?
4

,

? ?
4 ? ?



??R

,且

? ? ? ?? ? ? ? c o s? ? 2 ? ?

3

2??

0 ,

?

1 2

s in 2 ? ? ? ? 0

,则 c o s ?
1 2

??

? ? ? ? ? 2 ?

的值为( C.
2 2

) D.
3 2

A. 0

B.

12 . 在 直 角 坐 标 系

xoy

中,全集

U ? {( x , y ) | x , y ? R }

,集合
U

A ? {( x , y ) | x c o ? s ? ( y ? 4) s i ? n ? 1, 0 ? ? ? 2 ? } ,已知集合 A

的补集 C

A

所对

应区域的对称中心为 M ,点 P 是线段 x ?
Q

y ? 8( x ? 0, y ? 0)

上的动点,点

是 x 轴上的动点,则 ? MPQ 周长的最小值为(
4 B. 10

) D. 8? 4
2

24 A.

14 C.

二.填空题 13.设向量 a =(1, 2), b 则 x=_______ 14.已知 c o s ?
sin ( ? ? ? ) ?
?

?

? ( x , 1)

,当向量 a +

?

?

2b

与 2 a ? b 平行时,

?

?

??

3 ? ?? ? ? 5 ? 4 ?

, s in ?

? 5?

12 ? ? ? ? ? ? 13 ? 4 ?

,?

? ? 3? ? ?? , ? 4 ? ? 4

,?

? ? ? ? ? 0, ? 4 ? ?

,则

________. 15.如图所示,墙上挂有一块边长为 的正六边形木板,它的六个角 的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心,半径为 的扇形面,某人 向此板投镖一次,假设一定能击中木板,且击中木板上每个点的可能 性都一样,则他击中阴影部分的概率是__________.

16 . 若 圆
x ? y ? b ? 0

x

2

? y

2

? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0

上至少有三个不同点到直线 l : .

的距离为 2

2

,则 b 的取值范围是

三、解答题 17.长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康,某校为了解 A, B 两班学生手机上网的时长,分别从这两个班中随机抽取 5 名同学进 行调查,将他们平均每周手机上网的时长作为样本,绘制 成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位 数字).

(1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值, 并据此估计,哪个班的学生平均上网时间较长; (2)从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 21 的数据记为 a,从 B 班的样本数据中随机抽取一个不超过 21 的数据记为 b,求 a>b 的 概率.

18. 已知向量 a

? x 1 ? ? ? ? s in , ? , b ? ( 2 2 ? ?

3 cos

x 2

? sin

x 2

,1 )

, 函数 f ( x ) ?

? ? a ?b

,? A B C

三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c . (1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若 f ( B ? C ) ? 1,
a ? 3,b ? 1

,求 ? ABC 的面积 S .

19 . 如 图 , 三 棱 锥
P A ? 1, A B ? 1, A C ? 2 , ? B A C ? 6 0

P-ABC .

中 , PA

?

平 面

ABC ,

(1)求三棱锥 P-ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC ? BM,并求
PM MC

的值.

20. 已知函数 .若 时, (1)求 (2)当 或 的值; 时,不等式 是 的最小值为 .

,角 的终边经过点 的图象上任意两点 ,且当

恒成立,求 的最大值.

21.已知圆 O : x 于点 B .

2

? y

2

? 1与x

轴负半轴相交于点 A ,与 y 轴正半轴相交

, (1)若过点 C ? ? 2 ?

? 1

3 ? ? 的直线 l 2 ? ?

被圆 O 截得的弦长为

3

,求直线 l 的方

程; (2) 若在以 B 为圆心半径为 r 的圆上存在点 P , 使得 P A ? 坐标原点),求 r 的取值范围; (3)设 M ? x
1

2PO

(O 为

1

, y 1 ? , Q ?x 2 , y 2

? 是圆 O 上的两个动点,点 M 关于原点的对称
2 1

点为 M ,点 M 关于 x 轴的对称点为 M ,如果直线 Q M

、 QM

2

与 y 轴分

别交于 ? 0 , m ? 和 ? 0 , n ? ,问 m ? n 是否为定值?若是求出该定值;若不是, 请说明理由.

22.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x ) ?
? f ( x )( x ? 0 ), F (x) ? ? ? ? f ( x )( x ? 0 ).

ax

2

? bx ? 1 ( a , b 为实数

), x ? R ,

(1)若不等式 f ( x ) ? 4 的解集为 { x | x ? (2) 在 (1) 的条件下, 当 x ? [ ? 1, 实数 k 的取值范围; (3)设 m ? n ? 0 , 否大于零?
m ? n ? 0, a ? 0 1]

?3

或 x ? 1} ,求 F ( x ) 的表达式; 是单调函数, 求

时,

g ( x ) ? f ( x ) ? kx



f (x)

为偶函数, 判断 F ( m ) + F ( n ) 能

参考答案 1.A 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.C 8.C 9.A 10.D 11.C 12.B 13.
1 2

14.

56 65

15.

16. ? 2 ? b ? 2
1 5 ( 9 ? 1 1 ? 1 4 ? 2 0 ? 3 1) ? 1 7

17.解析:(Ⅰ)A 班样本数据的平均值为 B 班样本数据的平均值为
1 5



(1 1 ? 1 2 ? 2 1 ? 2 5 ? 2 6 ) ? 1 9

, 5分

据此估计 B 班学生平均每周上网时间较长.

(Ⅱ)依题意,从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 21 的数据 记为 a,从 B 班的样本数据中随机抽取一个不超过 21 的数据记为 b 的取法共有 12 种,分别为: (9,11),(9,12),(9,21),(11,11),(11,12),(11,21), (14,11), (14,12), (14,21), (20,11), (20,12), (20,21).

其中满足条件“a>b”的共有 4 种,分别为:(14,11),(14,12), (20,11),(20,12). 设“a>b”为事件 D, 则 P(D ) ?
4 12 ? 1 3



答:a>b 的概率为 .
3

1

18.解析:(1)由题意得
f ( x ) ? a ? b ? s in ? 3 s in x 2 cos x 2 x 2 ( 3 cos
2

x 2 1 2
3 2

? s in

x 2

)?

1 2

? s in

x 2
1 2

?

=

3 2

s in x ?

1 ? cos x 2

?

=

s in x ?

1 2

c o s x ? s in ( x ?

π 6

)



3分

令 2 kπ ?

π 2

? x? 2π 3

π 6

? 2 kπ ?

π 2 π 3

(k ? Z ) (k ? Z )
2π π? ? 2 kπ ? , 2 kπ ? ? 3 3? ? ?

解得 2 k π ?

? x ? 2 kπ ?

所 以 函 数 6分

f (x)

的 单 调 增 区 间 为

(k ? Z )

.

(2) 解法一:因为 f ( B ? C ) ? 1, 所以 s in ( B ? C 又 B ? C ? (0, π) , B ? C 所 8分 由 正 弦 定 理 10 分 得B
? a s in A ? b s in B ? π 6 ?( π 7π , ) 6 6 2 ?

?

π 6

) ?1,

,
π B ?C , 3



B ?

π π C ? , 6

所?



A ?

2π 3

,



a ?

3,b ? 1

代 入 , 得 到

s in B ?

1 2

?
6 ?

或者 B
π 6

?

5? 6 ? π 6

,因为 A ? . 的 面

2? 3

为钝角,所以 B

?

5? 6

舍去

所以 B 所

,得 C ,



?ABC



S ?

1 2

s a

ib

n?

1 2

C

?

1 3? 2

1? .

3 4

?

12 分 解法二:同上(略) A ? 由余弦定理, a 10 分 所 以 ,
?ABC
2 2 2

2π 3

, ,得 3 ? 1 ? c
2

8分
?c

? b ? c ? 2bc cos A

, c ? 1 或 ? 3 (舍去)







S ?

1 2

sb

ic

n?

1 2

A ?

1?

3 2

1?

.

3 4

?

12 分 19.【解析】(Ⅰ)解:由题设 可得 由 可知 面 是三棱锥 的高,又 的体积 内, 过点 B 作 . , 垂足为 , 过 作 . =1,

所以三棱锥 (Ⅱ) 证: 在平面 交 于 ,连接



面 ,又

知 面

, 所以 ,所以

.由于 .

, 故



在直角 ,得 20.(1)

中, . 角 的终边经过点

,从而

.由

. ,

角 的终边在第四象限,且 可以取 点 时, , 是

的图象上任意两点,且当

的最小值为 .

则函数的图象的相邻的 2 条对称轴间的距离等于 ,故函数的周期为 , 故 (2) 由 不 等 式 , 解得 , ,解得 ,则 . , 可 得 , 则 有

的最大值为 . 21.解析: (1) 1 ? 若直线 l 的斜率不存在,则 l 的方程为:
x ? 1 2

,符合题意.

2?

若直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为:
3 ? 0

y?

1 ? ? ? k?x? ? 2 2? ? 3

,即

2k x? 2 y? k ?

∴点 O 到直线 l 的距离 d

?k ? ?

3
2

?2k ?

2

? ??2 ?

∵直线 l 被圆 O 截得的弦长为 ∴k
3 3

3

,∴ d
x ?

2

? 3 ? ?? ?1 ? 2 ? ? ? ?

2

?

,此时 l 的方程为:
1 2

3y ?1? 0

∴所求直线 l 的方程为 x ?

或x ?

3y ?1? 0

(2)设点 P 的坐标为 ? x , y ? ,由题得点 A 的坐标为 ? ? 1, 0 ? ,点 B 的坐标 为 ? 0 ,1 ? 由 PA ?
2PO

可得 ? x ? 1 ?

2

? y
2 ?

2

?

2

x ? y
2

2

2

,化简可得 ? x ? 1 ?
2

2

? y

2

? 2

∵点 P 在圆 B 上,∴ r ?

?1 ? 0 ?
2

? ? 0 ? 1?

? r ?

2

,∴ 0 ?

r ? 2

2

∴所求 r 的取值范围是 0 ? (3)∵ M ? x
1

r ? 2

.
2

1

, y 1 ? ,则 M 1 ? ? x1 , ? y1 ? , M
y 2 ? y1 x 2 ? x1

? x1 , ? y 1 ?
x1 ?

∴直线 Q M 的方程为 y ? 令 x ? 0 ,则 m ∴mn
?
? x1 y 2 ? x 2 y 1 x1 ? x 2

y1 ?

?x ?

同理可得 n
?

?

x1 y 2 ? x 2 y 1 x1 ? x 2
2

x1 y 2 ? x 2 y 1 x1 ? x 2

?

x1 y 2 ? x 2 y 1 x1 ? x 2

? x1 y 2 ?

2

? ? x 2 y1 ?
2

x1 ? x 2

2

?

x1

2

?1 ? x ? ? x ?1 ? x ?
2 2 2 2 2 1

x1 ? x 2

2

2

?1

∴ m ? n 为定值 1. 【答案】(1)由已知不等式 a x
2

? bx ? 3 ? 0

的解集为 { x | x ?

?3

或 x ? 1} ,

? ? ?? 故 a ? 0 , 且方程 a x 2 ? b x ? 3 ? 0 的两根为 ? 3, 1 , 由韦达定理, 得? ? ?? ?

a ? 0, b a 3 a ? ?2, ? ?3.



得a

? 1, b ? 2 .
2

因此,
(x ? 0) (x ? 0)

? ? ( x ? 1) F (x) ? ? 2 ? ? ? ( x ? 1)

(2) 则 g ( x ) ?
? (x ? 2 ? k 2 )
2

f ( x ) ? kx ? x
(2 ? k ) 4
? ?1
2

2

? 2 x ? 1 ? kx ? x

2

? (2 ? k ) x ? 1

?1?

, 时, 即 k
? 4



k ? 2 2

?1或

k ? 2 2

或k
2

? 0

时,

g(x )
? ? ax
2

是单调函数.
( x ? 0)

(3) ∵ ∵m ? n
F (m )

f (x)

是偶函数∴
? n,则n ? 0

f ( x ) ? ax

? 1, F ( x ) ? ?

?1
2

? ? ? ax

? 1 (x ? 0)

,
| ? | ?n |

? 0,

设m

.又 m
2

? n ? 0, m ? ? n ? 0,

∴| m
? n ) ? 0
2

+ F (n)

? f ( m ) ? f ( n ) ? ( am

? 1 ) ? an

2

? 1 ? a (m

2

,

∴ F ( m ) + F ( n ) 能大于零


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