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2018-2019北师大版高中数学选修2-2同步课件3.1 函数的单调性与极值3.1.2.2

第2课时 函数极值的应用 -1- M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练 UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI UITANGYANLIAN 1.巩固求函数极值的方法. 2.利用极值判断函数零点的个数或方程解的个数. 3.根据方程解的个数求参数的取值范围. 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 HISHISHULI IANLITOUXI S随堂演练 UITANGYANLIAN 若f'(x0)=0,且函数f(x)在x0的左侧是增加(减少)的,在x0的右侧是减少 (增加)的,则函数f(x)在x=x0处取得极大(小)值. 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 HISHISHULI IANLITOUXI S随堂演练 UITANGYANLIAN 题型一 题型二 题型一 判断函数零点的个数或方程解的个数 【例 1】 判断方程 x3-4x+4=0 的解的个数. 分析 :利用函数的导数 ,求出函数的单调区间,并求出极值 ,结合 函数图像判断出函数零点的个数,即方程解的个数 . 解 :令 1 3 f(x)= x -4x+4,则 3 1 3 f'(x)=x2-4. 解方程 x2-4=0,得 x1=-2,x2= 2. 由 f'(x)>0,得 x<-2 或 x>2; 由 f'(x)<0,得 -2<x<2. 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 HISHISHULI IANLITOUXI S随堂演练 UITANGYANLIAN 题型一 题型二 由表可知 ,当 x=-2 时 ,f(x)有极大值 f(-2)= ; 当 x=2 时 ,f(x)有极小值 f(2)=- . 又当 x→+∞时 ,f(x)→+∞;当 x→-∞ 时 ,f(x)→-∞. 所以其大致图像如图所示 . 由图像知 ,函数 f(x)有 3 个零点 .故方程 1 3 x -4x+4= 0 有 3 4 3 28 3 3 个解 . 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 HISHISHULI IANLITOUXI S随堂演练 UITANGYANLIAN 题型一 题型二 反思用求导的方法确定方程解的个数,是一种很有效的方法.它通 过函数的变化情况,运用数形结合思想来确定函数图像与x轴的交 点个数,从而判断方程解的个数. 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 HISHISHULI IANLITOUXI S随堂演练 UITANGYANLIAN 题型一 题型二 【变式训练 1】 判断函数 f (x)=ln(2x+3)+x2 的零点个数. 3 2 2 42 +6 +2 2( 2+1)(+1) f'(x)=2+3+2x= 2 +3 = . 2+3 3 1 1 当- <x<-1 时, f'(x)>0;当-1<x<- 时, f'(x)<0;当 x>- 时, f'(x)>0, 从 2 2 2 3 1 1 f (x)在区间 - 2 ,-1 , - 2 , + ∞ 上是增加的, 在区间 -1,- 2 上是减 解:f (x)的定义域为 - , + ∞ . 而 少的. f (-1)=ln(-2+3)+(-1)2 =1, f - 2 =ln 2+4, 且当 3 x→- 时,f (x)→-∞;当 2 1 1 x→+∞时,f (x)→+∞. 所以函数 f (x)的大致图像如图所示. 由图知, 函数 f (x)只有一个零点. 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 HISHISHULI IANLITOUXI S随堂演练 UITANGYANLIAN 题型一 题型二 题型二 根据函数的零点个数或方程解的个数求参数的取值范围 【例2】 已知函数f(x)=x3-x2-x+a, (1)求函数f(x)的极值; (2)若函数f(x)的图像与x轴有且仅有一个交点,求实数a的取值范 围. 分析:第(1)小题考查函数极值的概念及求法,注意说明函数的极 值为极大值还是极小值.第(2)小题主要考查函数的极值、单调性及 图像与x轴交点的情况,可用数形结合的方法分析得出. 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 HISHISHULI IANLITOUXI S随堂演练 UITANGYANLIAN 题型一 题型二 解 :(1)由函数 f(x)=x3-x2-x+a,得 f'(x)=3x2-2x-1. 令 f'(x)=0,则 1 x=- 或 3 x=1. 1 - ,1 3 ↘ 1 3 当 x 变化时 ,f'(x),f(x)的变化情况如下表 : x f'(x) f(x) + ↗ -∞,1 3 1 3 1 0 极小值 (1,+∞ ) + ↗ 0 极大值 由表可知 ,函数 f(x)的极大值是 f = 5 +a,极小值是 f(1)=a-1. 27 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 HISHISHULI IANLITOUXI S随堂演练 UITANGYANLIAN 题型一 题型二 (2)结合函数 f (x)的单调性及极值可知, 当函数 f(x)的极大值 5 +a<0, 即 a∈ 27 -∞,- 27 时, 它的极小值也小于 0, 因此 y=f(x)的图像与 5 x 轴仅有一个交点, 且交点在(1, +∞)上; 当函数 f (x)的极小值 a-1>0 时, 即 a∈(1,+∞)时, 它的极大值也大 于 0, 因此 y=f (x)的图像与 x 轴仅有一个交点,且交点在 -∞,- 3 上. 综上所述, 若函数 f (x)的图像与 x 轴有且仅有一个交点,则 a 的取 值范围是 -∞,- 27 ∪(1, +∞). 反思注意求极值的步骤及数形结合方法的应用. 5 1 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 HISHISHULI IANLITOUXI S随堂演练 UITANGYANLIAN 题型一 题型二 【变式训练 2】 已知函数 f

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