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龙泉中学2013届高三周练理科数学试卷(25)

龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷( )
班级: 姓名: 一、选择题: (本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。请将正确的答案填在答题卡上。 ) 1、投掷两颗骰子,其向上的点数分别为 m 和 n ,则复数 (m ? ni) 2 为纯虚数的概率为( A. A. B. C. D.
1 3

4 3 3 2 3 B. C. D. 3 3 3 3 10、 a, b, m 为整数 (m ? 0) , a 和 b 被 m 除得的余数相同, 设 若 则称 a 和 b 对 m 同余记为 a ? b(mod m) ,
A.
1 2 3 2 20 19 已知 a ? 1 ? C20 ? C20 2 ? C20 2 ? ? ? C20 2 , b ? a(mod10), 则 b 的值可以是(



A.2009

B.2010

C.2011

D.2012

) 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、校田径队有男运动员 56 人,女运动员 42 人,用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,则抽出的男运动员比女远动员多 人。 12、若 ( x 2 ?
a 1 9 21 ) ( a ? R ) 展开式中 x 9 的系数是 ? ,则 ?0 sin xdx ? ax 2

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 12

2、某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条棱的长度中,最大的是( )

2 2 2 4

5 6 7 2
)



13、已知数列

?a ?满足 a
n

1

? 3a2 ? 32 a3 ? ? ? ? ? 3n?1 an ?

n ,则 a n ? 2

3、已知直线 l1 : 4x ? 3y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1,抛物线 y2 ? 4x 上一 动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是(

14. 设 a、b∈{0,1,2,3},则方程 ax+by=0 所能表示的不同直线的条数是 __ 15、已知集合 M ? {1, 2,3} , N ? {1, 2,3, 4,5} ,定义函数 f : M ? N .若点 A (1, f (1)) 、B (2, f (2)) 、 C (3, f (3)) ,ΔABC 的外接圆圆心为 O1 ,且 O1 A ? O1C ? ? O1 B(? ? R) ,则满足条件的函数 f (x ) 有 个。 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? (1)求 ? 的值;

3 5 A. 5

B.

2

C.

4、若 A ? B ?

2? ) ,则cos2 A ? cos2 B 的最小值和最大值分别为 ( 3 3 3 3 3 1 2 1 3 A. 1 ? B. , ??? C. 1 ? D. ,1 ? ?, ? ,1 ? ?? 2 2 2 2 2 2 2 2

11 5

D.

3

1 1 π 1 ?? ? . sin 2 x sin ? ? cos2 x cos ? ? sin ? ? ? ? ? 0<?<? ? ,其图象过点( , ) 2 ?2 2 6 2 ?

5、 18 个参加青少年科技创新大赛的名额分配给 3 所学校, 要求每校至少有一个名额且各校分配的名额 将 互不相等, 则不同的分配方法种数为( ) A.114 B.128 C.136 D.96 6、 若函数 f ( x) ? sin x ( x ? 0) 的图象与过原点的直线有且只有三个交点, 交点中横坐标的最大值为 ? ,

(2) 将函数 y ? f ? x ? 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 求函数 g ? x ? 在[0,

1 , 纵坐标不变, 得到函数 y ? g ? x ? 的图象, 2

? 1 1 A. ? B. C. ?2 D.2 2 2 7、若 x 是三角形的最小内角,则函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的最大值是( 1 1 A. ? 1 B. 2 C. ? ? 2 D. ? 2 2 2 2 2 8.由曲线 y ? x 和直线 x ? 0, x ? 1, y ? t , t ? (0,1) 所围成的图形(阴影部分)
的面积的最小值为 ( A. ) C.



(1 ? ? ) sin 2?
2

的值为(



π ]上的最大值和最小值. 4



17、 (本小题满分 12 分) 如图 1, Rt ?ABC 中, C ? 90? , 在 D E 且 ? BC ? 3,AC ? 6 . 、 分别是 AC、AB 上的点, DE / / BC , 将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A DE 的位置,使 A D ? CD ,如图 2. 1 1 A1 (1)求证: BC ? 平面 A1DC ; (2)若 CD ? 2 ,求 BE 与平面 A BC 所成角的正弦值; 1 (3) 当 D 点在何处时, A1 B 的长度最小,并求出最小值. 第8题 A D C D E B 图1 E B 图2 C

2 3

B.

1 3

1 2

D.

1 4

9、抛物线 y2 ? 4x 的焦点为 F, A,B 在抛物线上且 ?AFB ? 点 则

2? , AB 中点 M 在准线 l 上的射影为 M 1 , 弦 3

MM1 AB

的最大值为(



18. (本小题满分 12 分) 某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调査,右 表是在某单位得到的数据(人数): (1 ) 能否有 90% 以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关? (2) 从赞同“男女同龄退休” 16 人中选出 3 人进行陈述发言,求事 件 A:“男士和女士各至少有 1 人发言”的概率; 附表:

20、 (本小题满分 13 分)已知椭圆 C: (1)若椭圆的长轴长为 4,离心率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

3 ,求椭圆的标准方程; 2

(2)在(1)的条件下,设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角(其 中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围;

21、 (本小题满分 14 分) 已知曲线 C : y ? 2 x( y? 0), A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ? ? ?, An ( xn , yn ), ? ? ? 是曲线 C 上的点,且满足
2

19、 (本小题满分 12 分)

0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn ? ? ? ? ,一列点 Bi (ai ,0)(i ? 1, 2, ? ? ?) 在 x 轴上,且 ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是坐标原点) 是以 Ai 为直角顶点的等腰直角三角形.
(1)求 A1 , B1 的坐标; (2)求数列 { yn } 的通项公式;

2 ? a ln x ? 2(a ? 0). x (1)若曲线 y ? f ( x ) 在点 P (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; (2)若对 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立,试求实数 a 的取值范围;
已知函数 f ( x) ? (3)记 g ( x) ? f ( x) ? x ? b(b ? R ) ,当 a=1 时,函数 g ( x) 在区间 [e , e] 上有两个零点,求实数 b 的 取值范围
?1

? 2? 1 (3)令 b ? , c ?
i

? yi

ai

i

2

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有

? bi ? ? ci ,若存在,写出 N 的
i ?1 i ?1

n

n

最小值并证明;若不存在,说明理由.

龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(
命题:张建军 一、选择题(50 分) 1 序号 C 答案 二、填空题:11. 4 三、解答题: 16. 解(Ⅰ)因为已知函数图象过点( 2 C 3 B 13. 4 B 5 A 14. 9 审核:李祖安 6 D 15. 7 D 20

)参考答案
8 D 9 B 10 C

当 x=3 时, A1 B 的最小值是 3 3 . 即 D 为 AC 中点时, A1 B 的长度最小,最小值为 3 3 .
2 2

???????12 分

12. 1 ? cos 2

1 2 ? 3n?1

25×(5×3-6×11) 18.解: (Ⅰ)K = ≈2.932>2.706, 16×9×11×14 由此可知,有 90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关. 1 2 2 1 C5C11+C5C11 11 (Ⅱ)记题设事件为 A,则所求概率为 P(A)= = . 3 C16 16

???6 分 ???12 分

π 1 1 1 ? ? , ) ,所以有 ? sin 2 ? sin ? ? cos2 cos ? 6 2 2 2 6 6 3 3 1 ?? ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? 0<?<? ? = sin (? + ) , ? sin ? ? ? ? ? 0<?<? ? ,即有 1 ? 2 2 2 ?2 6 ?

19.解: (1) 直线 y ? x ? 2 的斜率为 1.函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ? 所以 f ?(1) ? ?

2 a ? , x2 x

所以 ? +

?

6

?

?

2

,解得 ? ?

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? =

?
3

3



,所以 f ? x ? ?

1 ? ? 1 ?? ? ? sin 2 x sin ? cos 2 x cos ? sin ? ? ? ? 0<?<? ? 2 3 3 2 ?2 3?

3 1 1 3 1 1+cos 2x 1 1 ? sin2x+ ? - = sin (2x+ ) , sin2x+ cos2 x- = 2 2 4 2 4 2 4 4 6 1 ? π ? ? 7? 所以 g ? x ? = sin (4x+ ) ,因为 x ? [0, ],所以 4x+ ? [ , ], 2 6 4 6 6 6 ? ? 1 ? 7? 1 所以当 4x+ ? 时, g ? x ? 取最大值 ;当 4x+ ? 时, g ? x ? 取最小值 ? 。 6 2 2 6 6 4 17(Ⅰ)证明: 在△ ABC 中, ?C ? 90?, DE // BC,?AD ? DE ? A D ? DE .又 AD ? CD, CD ? DE ? D,? AD ? 面BCDE . 1 1 1 A1 由 BC ? 面BCDE,? A D ? BC. 1 BC ? CD, CD ? BC ? C,?BC ? 面ADC . ??????????4 分 1 (Ⅱ)如图,以 C 为原点,建立空间直角坐标系. D(2,0,0), E(2,2,0), B(0,3,0), A (2,0,4) . 1 x 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 A BC 的一个法向量, D ???? 1 ??? ? 因为 CB ? (0,3,0), CA1 ? (2,0,4)
E ?3 y ? 0 , 令 x ? 2 ,得 y =0, z = ? 1 . y ?2 x ? 4 z ? 0 所以 n ? (2,0, ? 1) 为平面 A BC 的一个法向量. ????????7 分 1 ??? ? 4 4 ? . 设 BE 与平面 A BC 所成角为 ? .则 sin ? = cos ? BE ? n ? ? 1 5? 5 5 4 所以 BE 与平面 A BC 所成角的正弦值为 . ???????8 分 1 5 (Ⅲ)设 D ( x, 0, 0) ,则 A ( x,0,6 ? x), 1 所以 ? B

z

C

2 a ………2 分 ? ? ?1 ,解得 a ? 1 12 1 2 x?2 由f ?( x) ? 0 ,得 x>2; 由f ?( x) ? 0 得 0<x<2 所以 f ( x) ? ? ln x ? 2 , f ?( x) ? x x2 所以 f(x)的单调递增区间是(2,+ ? ),单调递减区间(0,2) ………4 分 2 a ax ? 2 (2) f ?(x) = ? 2 ? = ,? a ? 0 , x x x2 2 2 由f ?( x) ? 0 得 x ? ,由f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? a a 2 2 所以 f(x)的单调递增区间是( ,+ ? ),单调递减区间(0, ) a a 2 2 当 x= 时, f (x ) 取极小值,也就是最小值 f (x) min = f ( ) ………6 分 a a ? 对 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立, 2 2 2 ∴ f ( ) >2( (a ? 1) 即 ? a ln ? 2 >2( (a ? 1) , 2 a a a 2 2 2 2 ∴a ln ? a , ln ? 1 , 0 ? a ? .实数 a 的取值范围(0, ) ………8 分 e a a e 2 (3) 当 a =1 时, g (x) = ? ln x ? x ? 2 ? b ,(x>0) x 2 x ? x?2 g ?( x ) = ,由 g ?( x ) >0 得 x>1, 由 g ?( x ) <0 得 0<x<1. x2 所以 g (x) 的单调递增区间是(1,+ ? ),单调递减区间(0, 1) x=1 时 g (x) 取得极小值 g (1) . ………10 分

? g ( e ?1 ) ? 0 ? 因为函数 g ( x) 在区间 [e?1 , e] 上有两个零点,所以 ? g (e) ? 0 ? g (1) ? 0 ?
解得 1 ? b ≤

AB ? ( x-0)2 ? (0-3)2 ? (6-x-0)2 ? 2 x 2 -12 x ? 45 1

2 2 ? e ? 1 .所以 b 的取值范围是 (1, ? e ? 1] . e e

…………12 分

???????10 分

20. 解: (1)椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 ???6 分 4

? ? bi ?

1 1 1 ? ??? 2 ( 1 2 ) 2? 2 3 ) n n ? ( ? ( 2 1) i ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 ? ? ? ? ? ? ? ) = (1 ? ) .….……………..…………10 分 2 2 2 3 n n ?1 2 n ?1 1 1 (1 ? n ) n 1 1 1 1 1 2 ? ci ? 22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ? 4 1 ? 2 (1 ? 2n ) . ……………………….11 分 i ?1 1? 2 n n 1 1 1 1 1 1 1 n ? 1 ? 2n (方法一) ? bi - ? ci = (1 ? . )- (1 ? n ) ? ( n ? )? 2 n ?1 2 2 2 2 n ? 1 2n?1 (n ? 1) i ?1 i ?1 当 n=1 时 b1 ? c1 不符合题意,
当 n=2 时 b2 ? c2 ,符合题意, 猜想对于一切大于或等于 2 的自然数,都有 ( ? bi ? ? ci . ? )
i ?1 i ?1 n n

n

21.解: (Ⅰ)? ?B0A1B1 是以 A1 为直角顶点的等腰直角三角形, ? 直线 B0A1 的方程为 y=x.

观察知,欲证( ? )式,只需证明当 n≥2 时,n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下: (1)当 n=2 时,左边=3,右边=4,左边<右边; (2)假设 n=k(k≥2)时,(k+1)<2k, 当 n=k+1 时,左边=(k+1)+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,

?y ? x ? 由 ? y 2 ? 2 x 得 x1 ? y1 ? 2 ,即点 A1 的坐标为(2,2) ,进而得 B1 (4,0) .…..3 分 ?y ? 0 ?
(Ⅱ)根据 ?Bn ?1 An Bn 和 ?Bn An ?1 Bn ?1 分别是以 An 和 An ?1 为直角顶点的等腰直角三角形可得

? 对于一切大于或等于 2 的正整数,都有 n+1<2n ,即 ? bi < ? ci 成立.
i ?1 i ?1

n

n

综上,满足题意的 n 的最小值为 2. ……………………………………………..14 分 (方法二)欲证

? b ? ? c 成立,只需证明当 n≥2 时,n+1<2 .
n
i ?1 i i ?1 i

n

n

?an ? xn ? yn ,即 xn ? yn ? xn?1 ? yn?1 . (*) …………………………..5 分 ? an ? xn ?1 ? yn ?1 ? 2 2 ? An 和 An ?1 均在曲线 C : y 2 ? 2x( y ? 0) 上,? yn ? 2xn , yn?1 ? 2xn?1 ,
2 yn y2 2 2 , xn ?1 ? n ?1 ,代入(*)式得 yn?1 ? yn ? 2( yn?1 ? yn ) , 2 2 ? yn?1 ? yn ? 2 ( ? N * ) , ………………………………………………………..7 分 n

0 1 2 3 n 2 3 n ?2n ? ?1?1? ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ? 1? n ? Cn ? Cn ? ... ? Cn , n
2 3 n 并且 Cn ? Cn ... ? Cn ? 0 ,

? 当 n ? 2 时, 2n ? n ? 1 .

? xn ?

? 数列 { yn } 是以 y1 ? 2 为首项,2 为公差的等差数列, ? 其通项公式为 yn ? 2n ( n ? N * ). ……………………………………………....8 分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, xn ?
2 yn ? 2n 2 , 2 ? an ? xn ? yn ? n n? , ……………………………………………………9 分 2 ( 1)

? bi ?

1 2i ( ? 1 ) i

? 2? ,c ?
i

? yi

2

?

1 . 2i ?1


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