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上海市名校数学真题之复旦附中高一期中考(2015.11)

复旦附中 2015 学年第一学期高一数学期中试卷 2015.11 一. 填空题 x ?1 的定义域为 ; 2? x 2 2 2. 已知 a, b ? R ,写出命题“若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 0 ”的否命题 1. 函数 y ? 3. 已知 x, y ? R ? 且 xy ? 2 ,则当 x ? 4. 已知集合 A ? {x | 时, x 2 ? 4 y 2 取得最小值; 个; ; 3 ? 1, x ? Z } ,则集合 A 的子集个数为 x ?1 5. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 为奇函数, 且 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 , 则当 x ? 0 时, f ( x) ? ; 6. 若函数 f ( x) ? kx ? 5 的定义域是 R ,则实数 k 的取值范围是 kx ? 4kx ? 3 2 ; 7. 若 a , b 为非零实数,则不等式① a ? 3 ? 2a ;② a ? b ? a b ? ab ;③ | a ? b | ? 2 4 4 3 3 b a | a ? b | ;④ ? ? 2 中恒成立的序号是 a b ; 8. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 与偶函数 g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) ? 若 f ( x ) ? ? ,则 a ? 2 1 (a ? 0) , x ?x?a 2 1 3 ; 2 9. 关于 x 的方程 x ? a | x | ?a ? 9 ? 0 (a ? R) 有唯一的实数根,则 a ? ; 10. 对于任意集合 X 与 Y ,定义:① X ? Y ? {x | x ? X 且 x ? Y } ;② X ?Y ? ( X ? Y ) (Y ? X ) , X ? Y 称为 X 与 Y 的对称差;已知 A ? { y | y ? x2 ? 2x, x ? R} ,B ? { y | ?3 ? y ? 3} ,则 A?B ? 2 ; 11. 已知集合 A ? {x | x ? (m ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R} ,且 A 是 ; 2 2 2 2 R? ? ? ,则实数 m 的取值范围 12. 若 a, b ? R ,且 4 ? a ? b ? 9 ,则 a ? ab ? b 的最大值与最小值之和是 ; 二. 选择题 13. 已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为 [0,1] ,则 f ( x ? 1) 的定义域为( A. [?2, ?1] B. [?1, 0] 2 2 ) C. [0,1] D. [2,3] 14. 给出三个条件: ① ac ? bc ; ② 的充分条件的个数为( A. 0 B. 1 ) a b ? ; ③a ? |b|; ④ a ? b ?1; 其中能分别成为 a ? b c c D. 3 C. 2 15. 已知 A ? {x | 2 ? x ? x} , B ? {x | x( x ? 3)( x ? 3) ? 0} ,则 A A. (?2,1) B. (?3, 0) C. (?2, 0) D. (0,1) B?( ) 16. 非空集合 G 关于运算 ? 满足:①对任意 a, b ? G ,都有 a ? b ? G ;②存在 e ? G 使对 一切 a ? G 都有 a ? e ? e ? a ? a ,则称 G 是关于运算 ? 的融洽集;现有下列集合及运算: ① G 是非负整数集, ? :实数的加法; ② G 是偶数集, ? :实数的乘法; ③ G 是所有二次三项式组成的集合, ? :多项式的乘法; ④ G ? {x | x ? a ? b 2, a, b ? Q} , ? :实数的乘法; 其中为融洽集的个数是( A. 1 三. 解答题 17. 已知集合 A ? {?1,1} , B ? {x | x2 ? ax ? b ? 0, x ? R} ,若 B ? ? ,且 A 实数 a , b 的值; B. 2 ) C. 3 D. 4 B ? A ,求 18. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 对任意 x ? R 均有 f ( x) ? f (?2 ? x) 成立, 且函数的图像 过点 A(1, ) (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)若不等式 f ( x ? 1) ? x 的解集为 [4, m] ,求实数 l 、 m 的值; 3 2 19. 已知 a ? R , 设集合 A ? {x | x2 ? (6a ? 1) x ? 9a2 ? 3a ? 2 ? 0} ,B ? {x |1? | x ? a | ? 0} (1)当 a ? 1 时,求集合 B ; (2)问: a ? 1 是 A B ? ? 的什么条件?并证明你的结论; 2 20. 设函数 f ( x ) ? a2 ? x2 ,a?R 且a ? 0; |x?a|? a (1)分别判断当 a ? 1 及 a ? ?2 时函数的奇偶性; (2)在 a ? R 且 a ? 0 的条件下,将(1)的结论加以推广,使命题(1)成为推广后命题的 特例,并对推广的结论加以证明; 21. 已知关于 x 的不等式 (4kx ? k ?12k ? 9)(2 x ? 11) ? 0 ,其中 k ? R ; 2 (1)试求不等式的解集 A ; (2)对于不等式的解集 A ,若满足 A Z ? B (其中 Z 为整数集) ,试探究集合 B 能否为 有限集?若能,求出使得集合 B 中元素个数最少时 k 的取值范围,并用列举法表示集合 B ; 若不能,请说明理由;

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