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湖南省衡阳八中、永州四中、郴州一中湘南三校高一数学下学期入学分班考试试题(文科班)

衡阳八中、永州四中、郴州一中湘南三校联盟 2015-2016 年度高一年级理科分班联考综合检测文科数学(试题卷)
注意事项: 1.本卷共 22 题,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.考生领取到试卷后, 应检查试卷是否有缺页漏页, 重影模糊等妨碍答题现象, 如有请立即向监考老师通报。 3.考区填写:衡阳八中 A1 永州四中 A2 郴州一中 A3 4.分数线通告:经过三校命题组联合商议,三校的分数线分别如下: A 衡阳八中 郴州一中 永州四中 132 119 127 B 109 92 103 C 78 66 75 控制线 58 42 55 8.已知函数 f(x)= A.0 或2 9.已知 m,n 是两条直线,α ,β 是两个平面,有以下命题: ①m,n 相交且都在平面α ,β 外,m∥α ,m∥β ,n∥α ,n∥β ,则α ∥β ; ②若 m∥α ,m∥β ,则α ∥β ; ③若 m∥α ,n∥β ,m∥n,则α ∥β . 其中正确命题的个数是 A.0
2 2

15.已知球面上有 A、B、C 三点,如果 AB=AC=BC=2 ,若 f[f(0)]=a +4,则实数 a= B.2 C.﹣2 D.0
2

,球心到面 ABC 的距离为

1,那么球的体积

. .

16.已知圆 C 的圆心是直线 x+y+1=0 与直线 x﹣y﹣1=0 的交点, 直线 3x+4y﹣11=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为

三.解答题(共 6 题,共 70 分) C.2 B. (x﹣6) +(y+5) =10 D.(x﹣5) +(y+6) =10
2 2 2 2

B.1

D.3

17. (本题满分 10 分) 已知 A={x|x ≥9}, B={x|﹣1<x≤7}, C={x||x﹣2|<4}. (1)求 A∩B 及 A∪C; (2)若 U=R,求(A∩?)U(B∩C)

2

10.圆心为 C(6,5),且过点 B(3,6)的圆的方程为 A. (x﹣6) +(y﹣5) =10 C.(x﹣5) +(y﹣6) =10
2 2 2 2

一.选择题(每题 5 分,共 60 分。在每题后面所给的四个选项中,只有一个是 正确的。) 1.设集合 元素的个数是 A. 3 递增的是 A. y=﹣x ﹣2
x 2

11.已知圆的方程为 x +y ﹣6x﹣8y=0,设圆内过点(2,5)的最长弦与最短弦 为分别为 AB、CD,则直线 AB 与 CD 的斜率之和为 A.0 B.﹣1 C.1 D.﹣2 12.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)=2f(x)﹣2,当 x∈(0,2]时,f

, B. 4

, C. 5

,则

中 D. 6

2.下列函数在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上既是偶函数,又在(0,+∞)上单调 B. y=x
﹣1

(x)=

,若 x∈(0,4]时,t ﹣ ) C.

2

≤f(x)≤3﹣t 恒成

立,则实数 t 的取值范围是( C. y=log2|x| D. y= A.[2,+∞) y﹣1=0 的斜率为 13.已知函数 ,那么 = . B.

D.[1,2]

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 3.直线 x+

A.

B.
2

C.﹣
2

D.﹣

14.在四棱柱 ABCD﹣A′B′C′D′中,AA′⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为梯形, 4.过直线 x+y=0 上一点 P 作圆 C:(x+1) +(y﹣5) =2 的两条切线 l1,l2,A, B 为切点,当 CP 与直线 y=﹣x 垂直时,∠APB= A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5.平行线 3x+4y﹣9=0 和 6x+my+2=0 的距离是 A. B.2 C. D. AD∥BC 且 AD=AA′=2BC.过 A′,C,D 三点的平面与 BB′交于点 E,F,G 分别 为 CC′,A′D′的中点(如图所示)给出以下判断: ①E 为 BB′的中点; ②直线 A′E 和直线 FG 是异面直线; ③直线 FG∥平面 A′CD; ④若 AD⊥CD,则平面 ABF⊥平面 A′CD; ⑤几何体 EBC﹣A′AD 是棱台. 其中正确的结论是 A. 2 R
3

18.(本题满分 10 分)已知平面内两点 A(8,﹣6),A(2,2). (Ⅰ)求 AB 的中垂线方程; (Ⅱ)求过 P(2,﹣3)点且与直线 AB 平行的直线 l 的方程.

6.一个正方体内接于半径为 R 的球,则该正方体的体积是 R
3

.(将正确的结论的序号全填上)

B. π R

3

C.

R

3

D.

7.三棱锥 P﹣ABC 的侧棱 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=2,则三棱锥 P﹣ABC 的外接球的体积是 A. 2 π π B. 4 π C. π D. 8

1

21.(本题满分 13 分)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 19.(本题满分 11 分)如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M 为 CE 的中点. (I)求证:BM∥平面 ADEF; (Ⅱ)求证:平面 BDE⊥平面 BEC. 面对角线的交点. (Ⅰ)求证:B1D1∥平面 BC1D; (Ⅱ)求证:A1O⊥平面 BC1D; (Ⅲ)求三棱锥 A1﹣DBC1 的体积.

,AB=BC=2,O 是底

22.(本题满分 14 分)已知函数 f(x)=log3 (Ⅰ)求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)判断函数 f(x)的奇偶性;



(Ⅲ)当 x∈[﹣ , ]时,函数 g(x)=f(x),求函数 g(x)的值域.

20.(本题满分 12 分)已知⊙O:x +y =1 和定点 A(2,1),由⊙O 外一点 P(a, b)向⊙O 引切线 PQ,切点为 Q,且满足|PQ|=|PA|. (1)求实数 a,b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 长的最小值; (3)若以 P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点,试求半径最小值时⊙P 的方程.

2

2

2

2015-2016 年度湘南三校联盟文科入学联考数学参考答案 一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 C 5 B 6 C 7 B 8 B

在△BCD 中,BD=BC=2 ∴BC⊥BD 9 ∴BC⊥平面 10 BDE 11 B 又∵BCA A ? 平面 BEC ∴平面 BDE⊥平面 BEC 20.

,CD=4

(Ⅲ)解:∵A1O⊥平面 BC1D ∴所求体积 (10 分) (13 分)

12 D =

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.3.5 14.①③④⑤ 15. 16.x +(y+1) =18
2 2

(1)连接 OQ,∵切点为 Q,PQ⊥OQ,由勾股定理可得 PQ =OP ﹣OQ . 由已知 PQ=PA,可得 PQ =PA ,即 (a +b )﹣1=(a﹣2) +(b﹣1) . 化简可得 2a+b﹣3=0. (2)∵PQ= = = 22.(I)要使函数 f(x)=log3 = , 自变量 x 须满足: 故当 a= 时,线段 PQ 取得最小值为 PO≤R+1. . (3)若以 P 为圆心所作的⊙P 的半径为 R,由于⊙O 的半径为 1,∴|R﹣1|≤ 解得 x∈(﹣1,1), 故函数 f(x)的定义域为(﹣1,1), (II)由(I)得函数的定义域关于原点对称, = , ﹣1. = ,故当 a= 时,PO 取 >0, 的解析式有意义,
2 2 2 2 2 2

2

2

2

三.解答题(共 70 分) 17.(1)集合 A 中的不等式解得:x≥3 或 x≤﹣3,即 A={x|x≥3 或 x≤﹣3}; 集合 C 中的不等式解得:﹣2<x<6,即 C={x|﹣2<x<6}, ∴A∩B={x|3≤x≤7},A∪C={x|x≤﹣3 或 x>﹣2}; (2)∵B∩C={x|﹣1<x<6},全集 U=R, ∴?U(B∩C)={x|x≤﹣1 或 x≥6},

18.(I)线段 AB 的中点为

即(5,﹣2),

∵kAB=

=﹣ ,

∴线段 AB 的中垂线的斜率 k= , ∴AB 的中垂线方程为 y+2= (x﹣5),化为 3x﹣4y﹣23=0. (II)过 P(2,﹣3)点且与直线 AB 平行的直线 l 的斜率为﹣ . 其方程为:y+3= (x﹣2),化为 4x+3y+1=0.

而 OP= 得最小值为

且 f(﹣x)=log3

=log3(

) =﹣log3

﹣1

=﹣f(x).

故函数 f(x)为奇函数, (III)当 x∈[﹣ , ]时,

此时,b=﹣2a+3= ,R 取得最小值为

19.(I)取 DE 中点 N,连接 MN,AN 在△EDC 中,M,N 分别为 EC,ED 的中点 ∴MN∥CD,且 MN= CD, 由已知中 AB∥CD,AB=AD=2,CD=4, ∴MN∥AB,且 MN=AB ∴四边形 ABMN 为平行四边形 ∴BM∥AN 又∵AN? 平面 ADEF BM?平面 ADEF ∴BM∥平面 ADEF (II)∵ADEF 为正方形 ∴ED⊥AD 又∵正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,且 ED? 平面 ADEF ∴ED⊥平面 ABCD ∴ED⊥BC 在直角梯形 ABCD 中,AB=AD=2,CD=4,可得 BC=2

故半径最小时⊙P 的方程为

+

=



令 u=

,则 u′=﹣

<0,

21.(Ⅰ) 证明:依题意:B1D1∥BD,且 B1D1 在平面 BC1D 外.(2 分) ∴B1D1∥平面 BC1D(3 分) (Ⅱ) 证明:连接 OC1 ∵BD⊥AC,AA1⊥BD ∴BD⊥平面 ACC1A1(4 分) 又∵O 在 AC 上,∴A1O 在平面 ACC1A1 上 ∴A1O⊥BD(5 分) ∵AB=BC=2∴ ∴ ∴Rt△AA1O 中, 同理:OC1=2 ∵△A1OC1 中,A1O +OC1 =A1C1 ∴A1O⊥OC1(7 分) ∴A1O⊥平面 BC1D(8 分)
3
2 2 2

故 u=

在[﹣ , ]上为减函数,

则 u∈[ ,3], 又∵g(x)=f(x)=log3u 为增函数, 故 g(x)∈[﹣1,1], 故函数 g(x)的值域为[﹣1,1].

(6 分)


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